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文档简介
双曲型方程的差分解法
一阶线性双曲型方程最简单的形式为(10.4.1)当给定初始条件(10.4.2)以后,容易验证,双曲型方程(10.4.1)的解为:(10.4.3)也就是说,在平面
xt上,沿着(k
是常数)
这样的直线,u的值保持不变。这种直线叫做特征线。0xta>00xta<0这是个单向的传播波,a>0时,波形
(x)沿x轴方向传播,为右传播波,a<0时,为左传播波,在传播过程中,波形均不发生变化。在物理上常见的双曲型偏微分方程最简单模型是波动方程其中,如果引进变量则得到与波动方程等价的方程组(10.4.4)(10.4.6)(10.4.5)10.4.1矩形网格用两组平行直线族xj=jh,
tn=n
(j=0,
1,…,n=0,1,2…)构成的矩形网覆盖了xt平面,网格点(xj,tn)称为结点,简记为(j,n),h、
为常数,分别称为空间步长及时间步长,或称h为沿x方向的步长,称
为沿t方向的步长,,N为正整数。在t=0上的结点称为边界结点,其余所有属于
内的结点称为内部结点。txoh
(xj,tn)a)迎风格式
ut(xj,tn)用向前差商代替,ux(xj,tn)用向前或向后差商代替,得10.4.2一阶双曲方程的差分法或令r=
/h,得截断误差均为节点分布图:
*
***
(j,n)(10.4.7)(10.4.8)稳定性的讨论:令代入(10.4.7)得传播因子当a>0时,恒有,格式(10.4.7)不稳定;当a<0且ar
1时,,格式(10.4.7)稳定。
格式(10.4.8)在a<0时不稳定,在a>0且ar
1时稳定。
将迎风格式写为统一形式:稳定性条件为:(10.4.9)b)Lax-Friedrichs格式该格式构造于1954年,用到
的技巧,截断误差为:节点分布图:
*
***
(j,n)(10.4.10)传播因子时稳定。当
时,,即格式(10.4.10)在c)Lax-Wendroff格式截断误差为节点分布图:
*
***
(j,n)传播因子当时有,即格式在条件下稳定。d)古典隐式格式ut用向后差商代替,ux用中心差商代替得截断误差为:传播因子:对任意的网格比,均有,故古典隐格式绝对稳定。e)Grank-Nicholson格式在()处展开,由及中心差商以式而得到:截断误差为:绝对稳定10.4.3二阶双曲型方程的差分格式直接构造方程的差分格式utt,uxx均用中心差商代替之,得其中网格比:截断误差b)隐格式利用关系可得三层隐式格式:截断误差:绝对稳定期末考试上机实习:1.
列主元高斯消元法解方程组Ax=b2.
平方根法解方程组Ax=b3.
雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解方程组Ax=b4.
乘幂法求矩阵A的最大特征值和特征向量
6.
样条函数方法8.
龙贝格积分7.
最小二乘法(Excel)9.
龙格-库塔方法5.
雅可比方法求矩阵A的全部特征值和特征向量
(可用软件做)期末考试笔试题:2.第二章非线性方程求根:二分法、迭代法、牛顿法和弦截法要求:根的存在,公式,收敛性定理,收敛条件的判别3.第三章解线性方程组的直接法:掌握Gauss消元法进行到底的条件,矩阵三角分解定理的条件和结论,向量和矩阵的范数,方程组的条件数与病态方程组的求解4.第四章解线性方程组的迭代法:雅可比迭代法,高斯-赛德尔迭代法;要求:求解公式,收敛条件。1.概念题和思考题5.函数插值:拉格朗日插值,牛顿插值,埃米尔特插值要求:插值公式,余项公式6.数值积分:插值型求积公式(矩形、梯形、辛普生、龙贝格)。公式和误差,代数精确度的概念。7.
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