初中数学几何辅助线秘籍4

第四章图形变换之轴对称

中考压轴大题如何解？对称帮你攻克压轴难题.

一、考情分析

“轴对称”是历年中考的热点，主要考查轴对称、轴对称图形的定义、性质，以及图形

翻折后线段和角的计算，难点是运用轴对称的知识作图求最值，通过对近几年北京及全国各

地中考题的分析，不难发现与轴对称相关的题型多以填空题、选择题、计算题、作图题的形

式出现.涉及“线段和最小”的探究题、方案设计题和几何代数综合题，预计此类问题是中

考的重点题型.

二、名师讲堂

知识点睛

轴对称与轴对称图形

1.线段的的垂直平分线

（1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线；

（2）定理：线段垂直平分线上的点与线段两端点距离相等.

（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

2.轴对称

（1）轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么

这个图形叫作轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.

（2）轴对称：把图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两

个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫作关于这条直线的对称点，这条直线叫作

对称轴.两个图形关于直线对称也叫作轴对称.

3.轴对称和轴对称图形的性质

（1）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形），它的对应线段相等，对应角相等.

（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分

线.

4.在直角坐标系中，点P的坐标是（x,y）.

（1）点P关于x轴对称的点P'的横坐标不变，纵坐标变为相反数，即P'（x,-y）；

（2）点P关于y轴对称的点P"的纵坐标不变，横坐标变为相反数，即P"（-X,y）.

5.折叠问题

（1）折叠后的图形与原图形全等，利用全等可以得到对应角相等和对应边相等；

（2）折痕是折叠后图形与原图形对应点连线的垂直平分线；

（3）结合勾股定理（或相似三角形）的有关知识解决问题.

技巧提炼

1.图形的折叠是指某个图形或其部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴.在近年来全国各

地的中考试题中，图形折叠问题渐渐成了考查的热点题型.

思路：图形的折叠问题分为两类题型

一是考查图形折叠的不变性：只需抓住不变量，即对应边相等，对应角相等；

二是考查图形折叠的折痕：只需抓住折痕垂直平分对应点所连的线段且平分对应边所成的夹

角.

2.轴对称变换是作点、线、图形关于某一直线的对称图形，从而使图形中隐藏条件凸显出

来或将分散条件集中起来，从而达到解题目的.那么，我们在什么情况下应该想到用或作轴

对称呢？下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形.

（1）线段或角度存在2倍关系的，可考虑对称.

（2）有互余、互补关系的图形，可考虑对称.

（3）角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称.

（4）路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之

间线段最短，来实现最短路径的求解.所以最短路径问题，需考虑轴对称.几何最值问题的

几种中考题型及解题作图方法如下表所示.

问题作法图形原理

•B连接ABPA+PB

最小值为

AB,两点

---------------------1/,

之间，线

A*/P/段最短

在1上找一点P,使PA+PB最A

小

•B作A关BAP+BP

A于1的对=A'B,

•称点两点之

---------------------------------/A',连间，线段

在直线1上求一点P,使AP+接A'最短

BP最小B,与1■

f

的交点A

即为点P

分别作PM+MN

Z

点P关于+PN=

两直线P'P",

的对称两点之

点P'间，线段

z-------------------hP",与最短

两直线

在直线h，12上分别求点M、N,交点即

使apNiN周长最小为M、N♦p，，

分别作PQ+PM

点P、Qp:A+MN+

于直线用NQ=P'

h、b的对Q',两点

称点之间，线

P'、2段最短

Q',连”：

在直线li、12上分别求点M、N,接P'•2

使四边形PMNQ周长最小Q',与

直线的

交点即

为M、N

将A向BAM+MN

A右平移a几好NB

■个单位=a+A"

-------------------------------/到A，,B,两点之

在直线1上求两点M、N（M作A'关间，线段

1

在左），使得MN=a,并使AM于1的对M\/N最短

+MN+NB最小称点

A”,连

接A"

B,与1

交点即

为点N,

将点N

向左平

移a个单

位即为

M

•B连接BAB|AP-BP|

A并延长=AB,三

•

与直线1角形任意

---------------------/的交点两边之差

在直线1上求点P,使|AP—BP|即为点P小于第三

最大遍

A作点B|AP-BP|

■关于直=AB',

---------------------1线1的对三角形任

称点意两边之

B',作[1差小于第

•B直线三遍

1

在直线1上求点P,使|AP—B0|AB'与1

最大的交点

即为点P

连接\|PA-PB|

•B\

AAB,作\/B=0,垂直

•AB中垂平分线上

---------------------/

线与1的.1的点与线

在直线1上求点P,使|PA-PB|交点即\p段两端点

最小为点P%距离相等

作点P关PD+CD

/A

于直线的最小值

OB的对为P，C

称点长度.点P

P',过到直线

---------------B

向直的距

P'BOA

点P在锐角NAOB内部，在线OA作离，垂线

OB边上求作一点D,在OA边垂线与*段最短

上求作一点C,使PD+CD最OB的交

小点为所

求点D,

垂足即

为点C

3.轴对称的基本模型

例题精讲

例1

【11000059］如图所示，在AABC中，NB=22.5°,边AB的垂直平分线交BC于点D,

DFJ_AC于点F,交BC边上的高AE于点G,求证：EG=EC.

【思路点拨】题目中出现线段AB的垂直平分线，可以考虑连接AD,进而可证DE=AE,

再证aAEC丝Z\DEG即可.

例2

【11000060】（1）如图（a）所示，把矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'

处，点A落在点A'处.若AE=a、AB=b、BF=c,请写出a、b、c之间的一个等量关系

(2)如图(b)所示，RtAABC中，ZACB=90°,ZA=50°,将其折叠，使点A落在

边CB上A'处，折痕为CD,则/A'DB=()

A.40°

B.30°

C.20°

D.10°

(3)如图(c)所示，等边AABC的边长为1cm,D、E分别是AB、AC上的点，WAADE

沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在AABC外部，则阴影部分图形的周长为

(4)如图(d)所示，正方形纸片ABCD的边长为1,M,N分别是AD、BC边上的点，

将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使点A落在MN上，落点记为A',折痕交AD于点

E.若M、N分别是AD、BC边的中点，则A'N=:若M、N分别是AD、BC

边上距DC最近的n等分点(n22,且n为整数)，则A'N=(用含有n的式子

表示).

【思路点拨】

(4)轴对称求线段长通常考虑用勾股定理求解，所以只需在RlAA'BN利用勾股定理即可.

例3

【11000061］如图所示，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E

处，点A落在F处，折痕为MN,求折痕MN的长度.

AD

H

【思路点拨】方法一：题目中折痕MN垂直平分对应点D,E所连线段DE,所以连接DE,

过点M作MH_LCD于点H,构造正方形的经典模型

方法二：题目中折痕MN平分对应边所夹角/DNE,所以延长NE,AB相交于点H,利用

“角平分线十平行线”构造等腰三角形，可得MH=NH,过点N作NKLAB,利用勾股定

理即可求出MN的长度.

例4

【11000062］如图所示，在四边形ABCD中，AB=30,AD=48,BC=14,CD=40,ZABD

+/BDC=90°,求四边形ABCD的面积.

A

【思路点拨】四边形ABCD是不规则的四边形，由于/ABD+NBDC=90°,可以考虑利

用轴对称变换构造90°,作BD的中垂线1,作4ABD关于直线1的轴对称图形4A'DB,

连接A'C,可得NA'DC=90°,然后利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明aBCA'是

直角三角形，即可求出四边形ABCD的面积.

例5

【11000063］如图所示，在四边形ABCD中，连接AC,BC=CD,ZBCA-ZACD=60°,

求证：AD+CD^AB.

【思路点拨】题目中出现BC=CD,ZBCA-ZACD=60°,可以考虑做轴对称变换构造

/BCD'=60°,进而得到ABCD'是等边三角形，再利用“三角形的三边关系定理”即

可.

例6

【11000064】问题：如图所示，已知AABC中，ZBAC=2ZACB,点D是AABC内的一

点，且AD=CD,BD=BA.探究/DBC与/ABC度数的比值.

B

请你完成下列探究过程：

将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.

(1)当NBAC=90°时，依问题中的条件补全下图.

观察图形，AB与AC的数量关系为；

当推出NDAC=15°时，可进一步推出NDBC的度数为；

可得到NDBC与/ABC度数的比值为.

(2)当NBACW90。时，请你画出图形，研究NDBC与NABC度数的比值是否与(1)中

的结论相同，写出你的猜想并加以证明.

【思路点拨】(1)由题目中条件证明AB=AC,求出NABC与NABD的度数即可.

(2)题目中己知2倍角关系，且AD=CD,BD=BA,图形具有轴对称特征，所以作4ABD

关于线段AC垂直平分线的对称图形，再根据等腰梯形、等边三角形和三角形内角和定理即

可求出NABC与/DBC的度数比.

例7

【11000065】问题背景：

如图(a)所示，点A、B在直线1的同侧，要在直线1上找一点C,使AC与BC的距离之

和最小，我们可以作出点B关于1的对称点B',连接AB'与直线1交于点C,则点C即

为所求.

(1)实践运用

如图(b)所示，已知，的直径CD为4,点A在OO上，ZACD=30°,B为弧AD

的中点，P为直径CD上一动点，则BP_LAP的最小值为.

(2)知识拓展

如图(c)所示，在RtZiABC中，AB=10,ZBAC=45°,NBAC的平分线交BC于点D,

E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BELEF的最小值，并写出解答过程.

(3)如图(d)所示，点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB,BC上作出点M,N,

使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法.

(a)(b)(c)(d)

【思路点拨】(1)作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P,连接AO,EO,根

据题意先求出/AOE=90°,再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值；

(2)在斜边AC上截取AB'=AB,连接BB',再过点B'作B'FLAB,垂足为F,交

AD于点E,连接BE,则线段B'F的长即为所求.

(3)只需作点P关于AB和BC的对称点，连接两对称点与AB,BC的交点即为所求.

例8

[]请阅读下列材料：

问题：如图所示，在四边形ABCD中，M是BC边的中点，且/AMD=90°,试判断AB

+CD与AD之间的大小关系.

小雪同学的思路是：作B点关于AM的对称点E,连接AE、ME、DE,构造全等三角形，

经过推理使问题得到解决.

请你参考小雪同学的思路，探究并解决下列问题：

(1)写出上面问题中AB+CD与AD之间的大小关系；

(2)如图(b)所示，若将NAMD的度数改为120°,原问题中的其他条件不变，证明：

AB+^BC+CD2AD；

2

(3)如图(c)所示，若/AMD=135°,AB=1,BC=272,CD=2,求AD的最大值.

【思路点拨】根据题目中的已知条件和提示思路，需作B,C两点关于AM,DM的对称点

E,F,连接AE,EF,DF,ME,MF,证明AABM丝Z\AEM,ACDM^AFDM,第(2)

小题证明AMEF是等边三角形，第(3)小题证明aMEF是等腰直角三角形，即可解决问

题.

变式

【11000066】若将NAMD的度数改为150°,其余条件不变，猜想AB、BC、CD与AD间

的关系.

【思路点拨】解题思路同例8.

三、牛刀小试

小试1

【11000067】（1）如图所示，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，若再将

方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形（阴影部分），其中不是轴对称图形的是

B.

B.正方形

C.等腰三角形

D.线段

小试2

【11000069】如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB=2cm,点E在BC上，且AE=CE.若

将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点日重合，则AC=cm.

小试3

【11000070］如图所示，矩形ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,将它折叠，使点D与

点B重合，求折叠后BE的长和折痕EF的长分别是（）

C'

A.5cm,V10cm

B.5cm,3cm

C.6cm,y/10cm

D.5cm,4cm

小试4

【11000071】如图所示，在AABC中，AB=2BC,ZB=2ZA,求NC.

小试5

【11000072］如图所示，D为BC中点，DELBC交NBAC的平分线于点E,EFLAB于点

F,EG_LAC于点G.求证：BF=CG.

A

E

小试6

[11000073]已知：如图所示，在/POQ内部有两点M、N,ZMOP=ZNOQ,

(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A,使点A到点M和点N的距离和最小:

在射线OQ上取一点B,使点B到点M和点N的距离和最小.

(2)直接写出AM+AN与BM+BN的大小关系.

小试7

[11000074](1)如图(a)所示，在x轴上找一点C,使AABC的周长最短，求最短周长

的值.

41，3)