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文档简介
第四章图形变换之轴对称
中考压轴大题如何解?对称帮你攻克压轴难题.
一、考情分析
“轴对称”是历年中考的热点,主要考查轴对称、轴对称图形的定义、性质,以及图形
翻折后线段和角的计算,难点是运用轴对称的知识作图求最值,通过对近几年北京及全国各
地中考题的分析,不难发现与轴对称相关的题型多以填空题、选择题、计算题、作图题的形
式出现.涉及“线段和最小”的探究题、方案设计题和几何代数综合题,预计此类问题是中
考的重点题型.
二、名师讲堂
知识点睛
轴对称与轴对称图形
1.线段的的垂直平分线
(1)定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线;
(2)定理:线段垂直平分线上的点与线段两端点距离相等.
(3)判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
2.轴对称
(1)轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么
这个图形叫作轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.
(2)轴对称:把图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两
个图形关于这条直线对称,两个图形中的对应点叫作关于这条直线的对称点,这条直线叫作
对称轴.两个图形关于直线对称也叫作轴对称.
3.轴对称和轴对称图形的性质
(1)轴对称图形(或关于某条直线对称的两个图形),它的对应线段相等,对应角相等.
(2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分
线.
4.在直角坐标系中,点P的坐标是(x,y).
(1)点P关于x轴对称的点P'的横坐标不变,纵坐标变为相反数,即P'(x,-y);
(2)点P关于y轴对称的点P"的纵坐标不变,横坐标变为相反数,即P"(-X,y).
5.折叠问题
(1)折叠后的图形与原图形全等,利用全等可以得到对应角相等和对应边相等;
(2)折痕是折叠后图形与原图形对应点连线的垂直平分线;
(3)结合勾股定理(或相似三角形)的有关知识解决问题.
技巧提炼
1.图形的折叠是指某个图形或其部分沿某直线翻折,这条直线为对称轴.在近年来全国各
地的中考试题中,图形折叠问题渐渐成了考查的热点题型.
思路:图形的折叠问题分为两类题型
一是考查图形折叠的不变性:只需抓住不变量,即对应边相等,对应角相等;
二是考查图形折叠的折痕:只需抓住折痕垂直平分对应点所连的线段且平分对应边所成的夹
角.
2.轴对称变换是作点、线、图形关于某一直线的对称图形,从而使图形中隐藏条件凸显出
来或将分散条件集中起来,从而达到解题目的.那么,我们在什么情况下应该想到用或作轴
对称呢?下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形.
(1)线段或角度存在2倍关系的,可考虑对称.
(2)有互余、互补关系的图形,可考虑对称.
(3)角度和或差存在特殊角度的,可考虑对称.
(4)路径最短问题,基本上运用轴对称,将分散的线段集中到两点之间,从而运用两点之
间线段最短,来实现最短路径的求解.所以最短路径问题,需考虑轴对称.几何最值问题的
几种中考题型及解题作图方法如下表所示.
问题作法图形原理
•B连接ABPA+PB
最小值为
AB,两点
---------------------1/,
之间,线
A*/P/段最短
在1上找一点P,使PA+PB最A
小
•B作A关BAP+BP
A于1的对=A'B,
•称点两点之
---------------------------------/A',连间,线段
在直线1上求一点P,使AP+接A'最短
BP最小B,与1■
f
的交点A
即为点P
分别作PM+MN
Z
点P关于+PN=
两直线P'P",
的对称两点之
点P'间,线段
z-------------------hP",与最短
两直线
在直线h,12上分别求点M、N,交点即
使apNiN周长最小为M、N♦p,,
分别作PQ+PM
点P、Qp:A+MN+
于直线用NQ=P'
h、b的对Q',两点
称点之间,线
P'、2段最短
Q',连”:
在直线li、12上分别求点M、N,接P'•2
使四边形PMNQ周长最小Q',与
直线的
交点即
为M、N
将A向BAM+MN
A右平移a几好NB
■个单位=a+A"
-------------------------------/到A,,B,两点之
在直线1上求两点M、N(M作A'关间,线段
1
在左),使得MN=a,并使AM于1的对M\/N最短
+MN+NB最小称点
A”,连
接A"
B,与1
交点即
为点N,
将点N
向左平
移a个单
位即为
M
•B连接BAB|AP-BP|
A并延长=AB,三
•
与直线1角形任意
---------------------/的交点两边之差
在直线1上求点P,使|AP—BP|即为点P小于第三
最大遍
A作点B|AP-BP|
■关于直=AB',
---------------------1线1的对三角形任
称点意两边之
B',作[1差小于第
•B直线三遍
1
在直线1上求点P,使|AP—B0|AB'与1
最大的交点
即为点P
连接\|PA-PB|
•B\
AAB,作\/B=0,垂直
•AB中垂平分线上
---------------------/
线与1的.1的点与线
在直线1上求点P,使|PA-PB|交点即\p段两端点
最小为点P%距离相等
作点P关PD+CD
/A
于直线的最小值
OB的对为P,C
称点长度.点P
P',过到直线
---------------B
向直的距
P'BOA
点P在锐角NAOB内部,在线OA作离,垂线
OB边上求作一点D,在OA边垂线与*段最短
上求作一点C,使PD+CD最OB的交
小点为所
求点D,
垂足即
为点C
3.轴对称的基本模型
例题精讲
例1
【11000059]如图所示,在AABC中,NB=22.5°,边AB的垂直平分线交BC于点D,
DFJ_AC于点F,交BC边上的高AE于点G,求证:EG=EC.
【思路点拨】题目中出现线段AB的垂直平分线,可以考虑连接AD,进而可证DE=AE,
再证aAEC丝Z\DEG即可.
例2
【11000060】(1)如图(a)所示,把矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B'
处,点A落在点A'处.若AE=a、AB=b、BF=c,请写出a、b、c之间的一个等量关系
(2)如图(b)所示,RtAABC中,ZACB=90°,ZA=50°,将其折叠,使点A落在
边CB上A'处,折痕为CD,则/A'DB=()
A.40°
B.30°
C.20°
D.10°
(3)如图(c)所示,等边AABC的边长为1cm,D、E分别是AB、AC上的点,WAADE
沿直线DE折叠,点A落在点A'处,且点A'在AABC外部,则阴影部分图形的周长为
(4)如图(d)所示,正方形纸片ABCD的边长为1,M,N分别是AD、BC边上的点,
将纸片的一角沿过点B的直线折叠,使点A落在MN上,落点记为A',折痕交AD于点
E.若M、N分别是AD、BC边的中点,则A'N=:若M、N分别是AD、BC
边上距DC最近的n等分点(n22,且n为整数),则A'N=(用含有n的式子
表示).
【思路点拨】
(4)轴对称求线段长通常考虑用勾股定理求解,所以只需在RlAA'BN利用勾股定理即可.
例3
【11000061]如图所示,将边长为8cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E
处,点A落在F处,折痕为MN,求折痕MN的长度.
AD
H
【思路点拨】方法一:题目中折痕MN垂直平分对应点D,E所连线段DE,所以连接DE,
过点M作MH_LCD于点H,构造正方形的经典模型
方法二:题目中折痕MN平分对应边所夹角/DNE,所以延长NE,AB相交于点H,利用
“角平分线十平行线”构造等腰三角形,可得MH=NH,过点N作NKLAB,利用勾股定
理即可求出MN的长度.
例4
【11000062]如图所示,在四边形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40,ZABD
+/BDC=90°,求四边形ABCD的面积.
A
【思路点拨】四边形ABCD是不规则的四边形,由于/ABD+NBDC=90°,可以考虑利
用轴对称变换构造90°,作BD的中垂线1,作4ABD关于直线1的轴对称图形4A'DB,
连接A'C,可得NA'DC=90°,然后利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明aBCA'是
直角三角形,即可求出四边形ABCD的面积.
例5
【11000063]如图所示,在四边形ABCD中,连接AC,BC=CD,ZBCA-ZACD=60°,
求证:AD+CD^AB.
【思路点拨】题目中出现BC=CD,ZBCA-ZACD=60°,可以考虑做轴对称变换构造
/BCD'=60°,进而得到ABCD'是等边三角形,再利用“三角形的三边关系定理”即
可.
例6
【11000064】问题:如图所示,已知AABC中,ZBAC=2ZACB,点D是AABC内的一
点,且AD=CD,BD=BA.探究/DBC与/ABC度数的比值.
B
请你完成下列探究过程:
将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.
(1)当NBAC=90°时,依问题中的条件补全下图.
观察图形,AB与AC的数量关系为;
当推出NDAC=15°时,可进一步推出NDBC的度数为;
可得到NDBC与/ABC度数的比值为.
(2)当NBACW90。时,请你画出图形,研究NDBC与NABC度数的比值是否与(1)中
的结论相同,写出你的猜想并加以证明.
【思路点拨】(1)由题目中条件证明AB=AC,求出NABC与NABD的度数即可.
(2)题目中己知2倍角关系,且AD=CD,BD=BA,图形具有轴对称特征,所以作4ABD
关于线段AC垂直平分线的对称图形,再根据等腰梯形、等边三角形和三角形内角和定理即
可求出NABC与/DBC的度数比.
例7
【11000065】问题背景:
如图(a)所示,点A、B在直线1的同侧,要在直线1上找一点C,使AC与BC的距离之
和最小,我们可以作出点B关于1的对称点B',连接AB'与直线1交于点C,则点C即
为所求.
(1)实践运用
如图(b)所示,已知,的直径CD为4,点A在OO上,ZACD=30°,B为弧AD
的中点,P为直径CD上一动点,则BP_LAP的最小值为.
(2)知识拓展
如图(c)所示,在RtZiABC中,AB=10,ZBAC=45°,NBAC的平分线交BC于点D,
E、F分别是线段AD和AB上的动点,求BELEF的最小值,并写出解答过程.
(3)如图(d)所示,点P是四边形ABCD内一点,分别在边AB,BC上作出点M,N,
使PM+PN+MN的值最小,保留作图痕迹,不写作法.
(a)(b)(c)(d)
【思路点拨】(1)作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P,连接AO,EO,根
据题意先求出/AOE=90°,再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值;
(2)在斜边AC上截取AB'=AB,连接BB',再过点B'作B'FLAB,垂足为F,交
AD于点E,连接BE,则线段B'F的长即为所求.
(3)只需作点P关于AB和BC的对称点,连接两对称点与AB,BC的交点即为所求.
例8
[]请阅读下列材料:
问题:如图所示,在四边形ABCD中,M是BC边的中点,且/AMD=90°,试判断AB
+CD与AD之间的大小关系.
小雪同学的思路是:作B点关于AM的对称点E,连接AE、ME、DE,构造全等三角形,
经过推理使问题得到解决.
请你参考小雪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)写出上面问题中AB+CD与AD之间的大小关系;
(2)如图(b)所示,若将NAMD的度数改为120°,原问题中的其他条件不变,证明:
AB+^BC+CD2AD;
2
(3)如图(c)所示,若/AMD=135°,AB=1,BC=272,CD=2,求AD的最大值.
【思路点拨】根据题目中的已知条件和提示思路,需作B,C两点关于AM,DM的对称点
E,F,连接AE,EF,DF,ME,MF,证明AABM丝Z\AEM,ACDM^AFDM,第(2)
小题证明AMEF是等边三角形,第(3)小题证明aMEF是等腰直角三角形,即可解决问
题.
变式
【11000066】若将NAMD的度数改为150°,其余条件不变,猜想AB、BC、CD与AD间
的关系.
【思路点拨】解题思路同例8.
三、牛刀小试
小试1
【11000067】(1)如图所示,阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形,若再将
方格内空白的两个小正方形涂黑,得到新的图形(阴影部分),其中不是轴对称图形的是
B.
B.正方形
C.等腰三角形
D.线段
小试2
【11000069】如图所示,在矩形纸片ABCD中,AB=2cm,点E在BC上,且AE=CE.若
将纸片沿AE折叠,点B恰好与AC上的点日重合,则AC=cm.
小试3
【11000070]如图所示,矩形ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,将它折叠,使点D与
点B重合,求折叠后BE的长和折痕EF的长分别是()
C'
A.5cm,V10cm
B.5cm,3cm
C.6cm,y/10cm
D.5cm,4cm
小试4
【11000071】如图所示,在AABC中,AB=2BC,ZB=2ZA,求NC.
小试5
【11000072]如图所示,D为BC中点,DELBC交NBAC的平分线于点E,EFLAB于点
F,EG_LAC于点G.求证:BF=CG.
A
E
小试6
[11000073]已知:如图所示,在/POQ内部有两点M、N,ZMOP=ZNOQ,
(1)画图并简要说明画法:在射线OP上取一点A,使点A到点M和点N的距离和最小:
在射线OQ上取一点B,使点B到点M和点N的距离和最小.
(2)直接写出AM+AN与BM+BN的大小关系.
小试7
[11000074](1)如图(a)所示,在x轴上找一点C,使AABC的周长最短,求最短周长
的值.
41,3)
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