初中数学教案：整数的加减

第二课时

一、教学目标

1.理解多项式及多项式的项、次数以及整式的概念.

2.会准确判断多项式的项、次数，能正确区分单项式及多项式，会用多项式表示数量关系.

3.培养学生的观察、分析、归纳、抽象概括以及用式子表示数量关系的意识和能力.

二、教学重难点

重点：多项式以及多项式的项、次数的概念，整式的概念；用式子表示数量关系.

难点：多项式次数概念的理解.

教学过程(教学案)

一、情境引入

问题1：鸡兔同笼，有鸡a只，兔子6只，那么笼子里共有几只脚？

学生合作探究：小组讨论鸡、兔各有几只脚，用式子表示这个数量，然后相加即得到结果.

教师总结：笼子里所有鸡共有2a只脚，所有兔子共有46只脚.那么笼子里共有(2a+46)只脚.

这里的式子2a+48是我们之前学过的单项式吗？

这个式子出现和的形式，显然不是单项式，因为单项式是数字或字母积的形式.这种式子是我们今天

要学的新知识点.

二、互动新授

问题2：上节课的例2中得到的式子：v+2.5,v—2.5,3x+5y+2z,1-ab—nr,x+2x+18,这些

式子有什么特点呢？

学生活动：小组合作探究.

教师总结：我们发现每个式子都有的特点如下：上面的式子v+2.5,7—2.5,3x+5y+2z,n

r,f+2x+18,它们显然不是单项式，v+2.5可看作单项式-与2.5的和；r-2.5可看作单项式1/与一

2.5的和；3x+5y+2z可以看作单项式3x、5y与2z的和；同样;ab一口封看作与一n产的和，x+2x

+18可以看作V、2x与18的和.

像这样，几个单项式的和叫做多项式；其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.

例如，多项式「一2.5的项是r和一2.5,其中一2.5是常数项；在多项式V+2x+18中，V、2x.18

就是它的项，其中18是它的常数项.

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.例如，2.5中次数最高的项是一次项％这

个多项式的次数就是1;多项式V+2x+18中次数最高的项是二次项这个多项式的次数就是2.

单项式和多项式统称为整式，例如：1006,0.80,mn,ah,~n,以及多项式v+2.5,r-2.5,3x+

5y+2z,nf+2x+18等都是整式.

问题3：填表：

整式2.5x+56a2—1-2x3y2+x2-35a-3x2y

项

次数

系数

学生活动：利用多项式以及单项式概念独立完成，然后小组讨论答案.

师生合作探究：上面的表格第一行表示的是什么类型的式子，这些式子还可以细分为什么概念的式子

呢？它们都有项数、次数、系数吗？如果没有，表格中就可以不用填.

教师总结：表格中左边三列是多项式，有项数和次数；右边两列是单项式，有次数和系数；所以表格

里要填：

整式2.5x+56a-1-2x3y2+x2-35a—3x"y

项2.5x、56a)-1—2xV、x\—3

次数12513

系数5-3

通过表格形式的练习，有针对性地对比单项式、多项式、整式的有关概念，及时掌握单项式与多项式

概念之间的联系与区别.

三、例题精讲

例4：如图，用式子表示圆环的面积.当7?=15cm,r=10cm时，求圆环的面积（”取3.14）.

学生活动：先独立完成，再小组交流讨论./IWx

师生合作探究:用式子表示数量关系,我们上节课学习单项式时，可以用单项式来

表示数量关系，回顾一下，用式子表示数量关系，先分析什么？用什1（产照么方法来解决？

观察图形用式子表示圆环面积.

教师总结:先找出问题中的已知量和未知量之间存在着哪种运算飞囹多/关系，可以先把字

母看作数字，利用特殊到一般的方法解决问题.圆环面积等于大圆面积减去小圆面积，因此圆环面积为“

代一Jir.

当y?=15cm,r=10cm时，圆环的面积是加外一ny=3.14X152—3.14X102=392.5.

这个圆环的面积是392.5cm2

四、课堂小结

1.谈谈本节课的收获.

2.本节课主要学习了用多项式表示数量关系、多项式概念、多项式的项、次数概念、整式概念.

五、板书设计

2•1整式

第二课时

1.多项式概念2•多项式的项

3•常数项4•多项式次数

5■整式概念

六、教学反思

兴趣是最好的学习动力，本节设计生动、有趣的实际问题情境，激发学生的学习兴趣.整个教学过程，

安排了多道以多项式来表示数量关系的问题，意在让学生知道，多项式的知识是离不开实际生活的，实际

生活也需要多项式，在学生对问题的小组交流合作中，建立符号感，也培养学生分析问题的能力、列式的

能力，并为后面的一元一次方程的学习打好基础.

多项式的概念，决定了与单项式的关系密不可分，所以在教学中，应把多项式以及多项式有关概念,

与单项式进行对比教学，分析它们之间的相同点和不同点，设计有代表性的练习，让学生通过自主观察、

小组讨论、交流，发现概念中的易错点，加深了对概念的理解，发展学生探究能力.教师在整个过程中主

要是起着引导者的作用，通过设计逐步深入知识的问题，启发学生如何自主学习，让学生成为课堂的主人，

教师对每一个问题做好概括、总结.学生在学习多项式中，常常在多项式的项的符号、多项式的次数出现

失误.而本节课没有安排适当的练习，让学生巩固所学知识，熟悉本课相关的概念，是本节课最大的不足，

以后要改进.

导学方案

一、学法点津

多项式的概念就是几个单项式的和，因此学习多项式时应该紧密结合单项式概念，通过对比两者之间

的相同点和不同点，单项式有系数，但多项式由于还含有常数项，而常数项不说系数，因此多项式也没有

系数概念.多项式的每一项都有次数，但多项式的次数却是要选择所有包含的项中次数最高的单项式的次

数，作为多项式的次数.学习中要注意根据概念来判断是否是多项式，正确写出多项式的项，多项式的次

4

数,如:判断5x+--5是多项式吗？因为它里面包含的项有的不是单项式，所以整个式子就不是多项式.如:

x

写出5/-7x+4的项和次数，要注意项要包括前面的性质符号，项应该是5夕、—7x、4,次数是2,而不

是2+1=3.

二、学点归纳总结

（一）知识要点总结

1.几个单项式的和叫做多项式；其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.

注意写出项的时候，要包括项前面的符号.

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.

一个多项式的最高次项可以不唯一，其他次项也可以不唯一.

单项式和多项式统称为整式.

2.用多项式表示数量关系.要认真观察、分析题目中各个数量之间的运算关系.

（二）规律方法总结

1.多项式、项、次数等概念，可以通过与单项式有关概念进行对比的方法来理解.

2.用多项式表示数量关系，可以结合问题中各数量之间的运算关系，利用从特殊到一般的方法来理

解.

第二课时作业设计

1.多项式一f+gx—1的各项分别是（）.

11

A.—X2,5M1B.-X2,一天一1

C.x,-x,1D.—~x,—1

2.多项式a%+a—5是（）.

A.二次二项式B.三次二项式C.一次二项式D.三次三项式

3.多项式一5一丁一了中，二次项的系数是（）.

22

A.2B.-2C.--D.-

4.如果一个多项式的次数是4,那么这个多项式的任何一项的次数（）.

A.都小于4B.都等于4C.都不大于4D.都不小于4

5.某商店经销一批衬衣，每件进价为a元，零售价比进价高必，后因市场变化，该商店把零售价调

整为原来零售价的成出售，那么调整后每件衬衣的零售价是（）.

A.（1一/;%）元B.a磁（1一成）元C.a（l+破）或元D.a（l+砒•加元

6.如右图用整式表示阴影部分面积是

7.下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第〃

幅图中菱形的数量是多少？当〃=8,11时菱形的数量又是多少？

<3€><3O€>3...<3C>.

。2

5•C6•a2—^na2

【参考答案】1•D2.D3.C4.C

7,依题意，第n幅图中菱形的数量为2n—1，n=8时12n—1=15；n=11时＞2n—1=21.解析：观

察第一个图形，有一个菱形，第二个图形中有3个菱形，第三个图形中有5个菱形仔细观察这些

数的特点，恰好是奇数构成的数列，由此，就清楚了变化的规律了.所以，第n个图形中有2n—1个菱形.

2.1整式

第一课时

一、教学目标

1.理解单项式及单项式系数、次数的概念.

2.会用单项式表示数量关系，能正确地确定一个单项式的系数和次数.

3.初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识.

二、教学重难点

重点：单项式及单项式的系数、次数的概念，确定一个单项式的系数和次数，用单项式表示数量关系.

难点：单项式概念的理解.

教学过程（教学案）

一、情境引入

问题1：(图片展示)举世瞩目的青藏铁路于2006年7月1日建成通车，实现了几代中国人梦寐以求

的愿望.青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路.下面我们来看一道与青藏铁路有关的数学问

题：青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段，列车在冻土地段的行驶速度是100km/h,

在非冻土地段的行驶速度可以达到120kni/h.

根据以上这些数据回答问题：列车在冻土地段行驶时，2h能行驶多少km?3h呢？小呢？

学生合作探究：找出题目中的已知量和未知量，并分析两者之间的关系.

教师总结：根据速度、时间和路程之间的关系：路程=速度X时间.

列车在冻土地段行驶2小时的路程是100X2=200(km).

列车在冻土地段行驶3小时的路程是100X3=300(km).

列车在冻土地段行驶t小时的路程是100义t=100f(km).

在上面的式子中，我们用字母t表示时间，用含有字母力的式子100t表示路程.在含有字母的式子

中如果出现乘号，通常将乘号写作“•”，或省略不写.例如，100乘以x可以写成100•x或100x.

上面这种用含有字母的式子来表示量，就是我们今天要学习的新知识.

二、互动新授

小学时我们也学过用字母来表示数，首先我们可以将题目中的字母看成数字，然后分析问题中的数量

关系，列出含有字母的式子表示这些数量关系.最后式子的格式，参照引入问题所总结的形式来写.得出

式子后，观察各个式子是什么运算，它们有何共同点？

问题：2：学生思考，教师多媒体出示教材P54例1：

例1：(1)苹果原价是每千克o元，按8折优惠出售，用式子表示现价；

(2)某产品前年的产量是〃件，去年的产量是前年产量的加倍，用式子表示去年的产量；

(3)一个长方体包装盒的长和宽都是acm,高是加m,用式子表示它的体积；

(4)用式子表示数"的相反数.

学生活动：小组合作探究，得出问题答案.

观察例1中得到的式子：0.8p,mn,a2h,-n,这些式子有什么特点？

学生活动：小组合作探究.

师生合作探究：观察每个式子的数与字母的运算关系，你能发现什么呢？

教师总结：我们发现每个式子都有的特点如下：0.8p是0.8和p的乘积；mn是m和n的乘积；a'h是

a，和h的乘积；一n可以看成是(-1)和n的乘积.上面所列出的式子：0.8p,mn,a2h,—n,它们都是

数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫

做这个单项式的系数，例如：mn的系数是1,—n的系数是一1.单项式表示数字与字母相乘时，通常把数

字写在字母的前面，当一个单项式的系数是1或一1时，通常将1和一1省略不写.

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.例如：100t中，字母t的指数是1,100t

是一次单项式；vt中，字母v和t的指数的和是2,vt是二次单项式；-n的指数是1,所以是一次单项

式.

问题3：

填表：

34Vt

单项式2.5x6a22xV-y

系数

次数III___________

学生活动：根据概念先独立完成，再小组合作讨论.

师生合作探究：找出积当中的数字因数为系数，注意系数是有理数范围内的数，写系数时要包括前面

的符号.次数仅仅是所有字母指数的和.注意什么时候省略了“1”.

教师总结：

23234Vt

单项式2.5x6a2xy-y

_4

系数2.562-1-5

次数12532

三、例题精讲

例2：(1)一条河的水流速度是2.5km/h,船在静水中的速度是rkm/h,用式子表示船在这条河中顺水

行驶和逆水行驶时的速度.

(2)买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要z元，用式子表示买3个篮球、5个

排球、2个足球共需要的钱数.

(3)如图I,(图中长度单位：cm)用式子表示三角尺的面积.

(4)如图2是一所住宅的建筑平面图(图中单位长度：m),用式子表示这所住宅的建筑面积.

学生活动：小组合作探究.

师生合作探究：(1)船在河流中行驶时，船的速度需要分两种情况讨论：

顺水行驶时，船的速度=船在静水中的速度+水流速度；

逆水行驶时，船的速度=船在静水中的速度一水流速度.

(2)一个篮球几元？2个呢？x个呢？

(3)三角形面积是多少？圆的面积是多少？三角尺面积是什么图形面积的差？

教师总结：(1)船在这条河中顺水行驶的速度是(/+2.5)km/h,逆水行驶的速度是(〃-2.5)km/h.

(2)一个篮球x元，3个篮球为3x元；一个排球y元，5个排球要5y元；一个足球z元，2个足球要

2z元，因此一共需(3x+5y+2z)元；

(3)三角尺的面积等于三角形的面积减去空心圆的面积，三角形的面积为^勖，圆面积为“了,因此三

角尺的面积(单位：n*

(4)四个小房间都是长方形，根据长方形面积公式，面积分别为f平方米，2”平方米，6平方米，12

平方米，因此这所住宅的建筑面积(单位：m2)/+2x+18.

例3：用单项式填空，并指出它们的系数和次数.

(D每包书有12册，"包书有册；

(2)底边长为a,高为力的三角形的面积是；

(3)棱长为acm的正方体的体积是cm3；

⑷一台电视机原价8元，现按原价的9折出售，这台电视机现在的售价为元;

（5）一个长方形的长是0.9m,宽是方m,这个长方形的面积是m2.

学生活动：小组合作探究，得出问题答案.

师生合作探究：可以将题目中的字母看成数字，然后分析问题中已知量与未知量间的关系，列出含有

字母的单项式表示这些数量关系.

注意：：例3中的（4）、（5）两题的结果一样都是0.9b,它们的含义一样吗？你能举出也用0.9b表示的

其他例子吗？

学生活动：小组合作探究.

师生合作探究：参照上面两题，例子中要有几个量，未知量与已知量要是什么运算关系？

教师总结：（4）题含义是电视机的售价；（5）题含义是长方形的面积，显然两题含义不同.两题中未知

量都是两个已知量的积，举例：一支铅笔0.9元，那么b支铅笔多少元？

四、课堂小结

1.谈谈本节课的收获.

2.本节课学习的主要内容有：用单项式表示数量关系，请概括出单项式、单项式系数和单项式次数

的概念.以及从单项式中找出系数和次数.

五、板书设计

21整式

第一课时

1.数字与字母相乘表示法

2-单项式概念

六、教学反思

本节课是研究整式的第一课，它是进一步学习多项式及整式加减的基础，因此对单项式有关概念的理

解和掌握情况，将直接影响到后续的学习.为了加强直观性，在教学中设计了学生熟悉的又蕴含着数量关

系且比较简单的实际问题，给学生以足够的感知材料，丰富学生的感性认识，帮助学生认识单项式的有关

概念.

问题导入过程，让学生经历了由数字到用字母表示数字的过程，起着承上启下的作用，一方面回顾了

小学学过的用字母表示数，另一方面也为接下去用式子表示数量关系做好方法上的引导.在这个过程中，

设计逐步探究环节，学生在观察、合作、讨论、探究的过程中发现式子表示数量关系是实际问题的需要，

学生通过这种生生互动、师生合作、主动的学习方式，加深了对单项式有关概念的理解.教师在这个过程

中，主要是把问题由繁化简逐步细化，引导学生由浅入深，用化归的思想方法来处理，总结单项式的有关

概念，然后教师概括出单项式系数、次数的易错点，再配以适当的练习来及时巩固.学习中学生常常对于

单个字母的系数、次数以及单个数字的归属常常出现错误，此时应安排一些同类型的练习来进一步加深对

概念的理解与掌握.

导学方案

一、学法点津

结合小学学过的字母表示数的知识，解决实际问题时，先认真观察，找出问题中的已知量、未知量，

弄清各个量之间存在的运算关系，把问题中的字母看成数字，利用从特殊到一般的数学思想方法来解决问

题.式子表示数量后，通过对比各个式子的共同点，发现了单项式的概念，以及系数、次数等概念，注意

抓住概念中的关键点，如：系数是数字因数，单个字母可以看做1与之相乘，次数仅仅是所有字母的指数

和，与系数无关.及时通过相关的练习巩固概念.

二、学点归纳总结

(-)知识要点总结

1.像loot,6a2,才，2.5x,vt,一〃它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一

个数或一个字母也是单项式.例如：6,a也是属于单项式，a可以看做1•a.单项式表示数字与字母相乘

时，通常把数字写在字母的前面，当一个单项式的系数是1或一1时，通常省略不写.如：一la写成一

a.在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“或省略不写.例如，100乘以x可以写成100

或100x

2.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：100C的系数是100,声的系数是1,一〃的系

数是一1.

当单项式只有字母因数出现时，要懂得它省略了因数1或一1,注意系数包括前面的符号，如一9x的

系数是一9,而不是9.

3.一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.例如：100t中，字母t的指数是1,

100t是一次单项式；建中，字母P和t的指数和是2,这是二次单项式，一〃的指数是1,所以是一次

单项式.

注意，单项式的次数仅仅是所有字母的指数和，与单项式的系数无关.

3.用含有字母的式子表示问题的数量.要分析问题中的己知量与未知量的关系，找出两个量之间存

在的某种运算关系，采用从特殊到一般的方法来解决问题.

(二)规律方法总结

1.单项式的概念，可以利用具有共同特点的式子，通过观察、抽象概括而得.

2.单项式系数和次数的理解，可以抓住概念的关键：数字因数、所有字母的指数和.

3.用适当的式子来表示数量，可以借用把字母看作数字，从特殊到一般的方法来理解.

第一课时作业设计

1.下列式子是单项式的有

v6

(1)^+1;(2)aZ?c;(3)-；(4)(5)y；(6)-；(7)—5.

Jy

2.下列说法正确的是().

A.-3炉y2的系数是3B.系是五次单项式

D.4不是单项式

C.加产是三次单项式

a

3.如果(2—加)了3是关于x,y的五次单项式，则加，〃满足的条件是().

A.0=2,n=lB.m42,n=\C.勿K2,n=5D.m=2,〃=5

4.填空：

⑴单项式一3x的系数是.，次数是_；(2)单项式a%的系数是次数是

(3)单项式〒的系数是,次数是；(4)单项式一5n#的系数是,次数

是一―

5.填空：

(1)一次七年级数学测试中，已知全年段学生总数是%其中成绩优秀学生占总数78%,则这次数学成

绩优秀学生人数是.

(2)一辆长途汽车从甲村出发,4小时后到达相距S千米的乙镇,这辆长途汽车的平均速度是.

(3)国民生产总值由x亿元增长10%,就达到了亿元.

6.(1)写出一个系数是一2,只含有字母a、6的四次单项式；

(2)写出一个系数是/含有字母a、b、c,的五次单项式.

【参考答案】

1•⑵(3)(4)⑸⑺

2-D

3-B

4-(1)-31(2)14(3)12(4)一5兀2

5-(l)O.78x(2)|千米/时(3)1.lx

6•(1)—2ab3；(2)2abe3.

第二课时

一、教学目标

1.理解去括号法则.

2.会利用去括号法则将整式化简.

3.经历类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化的规律，归纳出去括号法则，培养

学生观察、分析、归纳能力.

二、教学重难点

重点：去括号法则，准确应用法则将整式化简.

难点：去括号法则的理解；括号前面是负号时，去括号后各项符号的变化.

教学过程(教学案)

一、情境引入

问题1：(小黑板或多媒体展示)青藏铁路线上，列车在冻土地段的行驶速度是100km/h,在非冻土地

段的行驶速度可以达到120km/h,在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要th,且通过冻土地段的

时间比非冻土地段多用0.5h,那么(1)它通过非冻土地段的时间为h,非冻土地段的路程为km；

(2)冻土地段的路程为km；(3)这段铁路全长为km；(4)冻土地段与非冻土地段的路程

相差____________km.以上空格你能用适当的数或式子表示吗？

学生合作探究：关键是找出问题中数量存在着什么样的运算关系.

教师总结：本题主要数量关系是路程=速度X时间，(l)f-0.5,120(t-0.5)；(2)100t；(3)100r+

120(t-0.5)；(4)100t-120(t-0.5).上面的(3)、(4)两题都出现了括号,那么如何继续化简呢？显然

要先去掉括号.下面我们来学习今天的新知识一一去括号法则.

二、互动新授

问题2：(1)运用有理数的运算律计算:

75+120X^1-0.5)=,75-120X(j-0.5)=；

(2)根据(1)中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理：100t+120(t-0.5)=,

100t-120(t-0.5)=.

学生活动：在独立完成的基础上，小组合作探究.

师生合作探究：前面我们学习过用从特殊到一般的方法解决问题，本题(2)可看作，100t+120(t-0.5)

和100t-120(t-0.5)中当t取多少时的算式?类比它们的关系，100t+120(t-0.5)和100t-120(t-0.5)

也能用运算律来化简吗？

利用类比方法，推导出运算律同样适用于含字母因数的式子，为下面的去括号法则的引入做准备.

问题3：我们从上面取出带括号部分：+120(t-0.5)=+120t+120X(-0.5)=120t-60,-120(t

-0.5)=-120t+(-120)X(-0.5)=-120t+60.

你能发现去括号前后，括号内各项符号的变化规律吗？

学生活动：小组合作探究.

教师总结：去括号前，括号内有两项，去括号后结果也是两项；当括号前是正因数120时，去括号后

项的符号不变；当括号前是负因数一120时，去掉括号和括号前面的负号后，括号内的项都改变符号.如：

t变为一t再乘以120得一120t,-0.5变为0.5再乘以120得60.

三、精讲例题

例4：化简下列各式：

(1)8a+2b+(5a—b)(2)(5a—3b)—3(a2—2b).

学生活动：在独立完成的前提下，小组交流讨论结果.

师生合作探究：首先判断括号前的因数是正或负，然后用相应的符号法则处理.(5a—b)前因数是什

么符号？括号内各项符号分别是什么？去括号后，各项符号又是什么？(az—2b)呢？注意去掉括号之前，

先把括号前的因数取绝对值(因数前的符号保留在括号外)，用分配律乘到括号内的每一个项中去.

教师总结：

(l)8a+2b+(5a-b)(2)(5a-3b)-3(a2-2b).

=8a+2b+5a-b=5a-3b-(3a2-6b)(先把3乘到括号内，注意每项都要乘)

=8a+5a+2b—b=5a—3b—3a'+6b(去掉括号和前面的负号，原括号内各项改变符号)

=13a+b=-3a"+5a+3b(合并同类项)

完成课本67页练习1.

例5：两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50励?/方，

水流速度是akm/h.

(1)2Z;后两船相距多远？

(2)22后甲船比乙船多航行多少千米？

学生活动：小组合作交流，探索数量之间存在怎样的运算关系.

师生合作探究：本题的关键词有哪些？有顺水、逆水、静水、水流、速度、时间、路程.它们之间的

数量关系我们在前两节课中己经学习过，关系式是什么？请用整式表示它们.

教师总结：顺水航速=船速+水速=50+a,逆水航速=船速一水速=50—a.

(1)2h后两船相距2(50+a)+2(50-a)=100+2a+100—2a=200(千米)；

(2)2方后甲船比乙船多航行2(50+2)—2(50—2)=100+22—100+22=42(千米).

四、课堂小结

1.谈谈本节课的收获.

2.去括号时注意括号前的符号，请同学们概括去括号步骤的两种可能，导致两种符号结果是什么.

五、板书设计

2-2整式的加减

第二课时

1.去括号法则：

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相

同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相

反.

2•顺水航速=船速+水速，逆水航速=船速一水速

八、；工bzX心

去括号是本章的难点，它是整式加减的基础，也是今后学习因式分解、分式运算及解方程的基础.通

过本节的学习，应使学生掌握去括号时的符号变化规律，为学习整式的加减运算作好准备.本节引入开章

引言部分的第3个问题，从解决实际问题当中，遇到必须去掉括号，才能继续化简.从而自然引出去括号

学习的必要性.

设计与引入问题中的整式，具有相同结构的有理数运算，让学生小组交流合作，把整式的去括号与有

理数运算进行类比，把字母看成数，利用从特殊到一般的方法理解运算过程，并引导学生认真观察，括号

前后不同符号时，去括号前后项符号的变化，探索它们的变化规律，尝试让学生总结去括号法则，教师再

进行针对性的纠正、补充、概括总结法则.教学中安排的应用题，综合使用了列整式表示数量关系，去括

号和合并同类项等知识，也使学生明白数学学习始终是为生活服务.本节课中学生在去括号时，常常出现

失误，说明学生对去括号的依据没有很好的理解，或者粗心导致错误，建议教师可以安排相关的类型题来

提高学生的运算能力，避免类似错误的发生.

导学方案

一、学法点津

首先，得熟练有理数乘法分配律的运算，如：-6*□+,一：)的计算过程，并考察在数的运算中，遇

到括号时是怎样去掉括号的，去掉括号的理由是什么，搞清数的运算中去括号的算理，然后把整式去括号

的化简与之进行比较，如：-a{b+c-d),这里可以利用特殊到一般的方法把字母用数字代替，如把a

看作6,6看作;，以此类推进行整个过程的代换，观察得出，数的运算中去括号的方法在式的去括号中仍

然成立，这样就可以归纳得出去括号时符号的变化规律了.

二、学点归纳总结

(-)知识要点总结

1.把相同结构的整式去括号与有理数运算进行比较，如：

3(3、3

100X-+120XI--0.5l=75+120X-+120X(-0.5)=75+90-60=105.

3,3、3

100X--120XI--0.51=75+(-120)X-+(-120)X(-0.5)=75—90+60=45.

3

这里可以把W用£代换，则题目就转化为整式的去括号运算题：

100r+120(t-o.5)=100f+1201+120X(-0.5)=100f+120-60=220i-60,

1001-120(t-0.5)=1001+(-120)•i+(-120)X(-0.5)=1001201+60=-201+60.

2.去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果

括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.

特别地，+(*—3)与一(*一3)可以分别看作1与一1分别乘(x—3).

去括号规律要准确理解，去括号应对括号的每一项的符号都予考虑，做到要变都变；要不变，则谁也

不变；另外，括号内原有几项去掉括号后仍有几项.

在实际计算过程中，可以先把括号前的数取绝对值乘到括号内，避免去括号时，漏乘括号内的某一项，

如x—2(X，—3x+1)=x—(2x?—6x+2)=x—2x'+6x-"2=-2x?+7x-'2,这里先把2乘到括号内，然后再

考虑去括号.

(二)规律方法总结

1.整式去括号与有理数运算的类比，可以把字母看成数，用从特殊到一般的化归思想方法来理解.

2.去括号法则其实就是乘法分配律的结果，理解了它的算理，当忘记法则时，就能通过类比有理数

的乘法分配律来计算.

第二课时作业设计

1.化简(l)a+6+(a—/>)—；(2)a—b—2(a—6+3)=

2.已知a—6=-5,c+d—6,则(。+c)—(a—o)的值为

3.下列去括号中，正确的是().

A.a2-(2a-l)=a-2a-\B.a2+(—2c?—3)a—2a+3

C.3a—[56—(2c—1)]=3a—5b+2c—1D.—(a+Z>)+(c—d)-a—b—c+d

4.下列去括号中，错误的是().

A.a~—(3a—26+4c)=a2—3a+2/?—4cB.4a+(-3a+2A)^4a+3a~2b

C.2x2—3(x-1)=2f-3x+3D.—(2x—y)—(—x+y)=—2x+y+x—y

5.当x=3时，则(3f—x)—(3f—2x+l)的值为().

A.-8B.8C.2D.-2

6.(1)(—3f+x—9)+(5%—7x+l)；(2)(5m—3m〃+6)—2(2/w+mn—3).

7.某地通讯公司有两种通话方案48供选择，力方案是月租10元，来电显示6元，每分钟通话费

0.2元；6方案是无月租，来电显示6元，每分钟通话费0.35元.(1)若一个月通话x分钟，那么46两

种方案一个月各需话费多少元？力、8两种方案一个月话费相差多少元？(结果用含x的整式表示)(2)小明

的爷爷每个月通话约90分钟，那么选择哪种方案合适？小明的奶奶一个月通话约50分钟，选择哪个方案

合算.

8.当x=l时，代数式的值为2005,求x=—1时，代数式px'+gx+l的值.

【参考答案】

1•(l)2a(2)-a+b-62-11

3-C4-B5-C

6♦(l)2f—6/一8；(2)加一5”?〃+12.

7•(1)A方案每个月需话费：(10+6+0.2x)元；B方案每个月需话费：(6+0.35x)元；A、B两个方案

话费相差10+6+0.2x—(6+0.35x)=10—0.15x(元).

(2)当x=90时＞10-0.15X小于0＞则说明选择A方案合适；

当x=50时，10—0.15x大于0，则说明选择B方案合适.

8•—2003解析：当x=l时，px3+qx+l=p+q+l=

2005，则p+q=2004，当x=-l时，，px3+qx+1=-p-q+1=-(p+q)+1=-2004+1=-2003.

第三课时

一、教学目标

1.让学生从实际问题背景中去体会进行整式加减的必要性，掌握并能灵活运用整式加减的运算法则.

2.培养学生的观察、分析、归纳、总结以及概括能力.

3.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.

二、教学重难点

重点：整式加减的运算法则.

难点：概括整式加减的运算法则并灵活、准确地运用法则.

教学过程(教学案)

一、情境引入

问题1：同学们的课桌的桌面是长方形，假设宽为x厘米，长比宽的2倍多10厘米，那么长是多少厘

米？你能用整式来表示吗？长比宽多了多少厘米？结果请用化简后的整式表示.

学生合作探究：观察题目数量之间的关系，列出整式表示.

教师总结：长是2x+10(厘米)，长一宽=(2x+10)—x=2x+10—*=x+10(厘米).即长比宽多了(x

+10)厘米，以上过程是长、宽所表示整式的减法运算.从中你能看出整式加减需要做的步骤是什么吗？

下面我们就来学习整式加减运算法则及应用.

二、互动新授

问题2：列出整式表示：多项式8a—7b与4a—5b的差，不用化简.

学生活动：在独立完成的前提下，小组合作探究.

师生合作探究：只列出式子，无需化简，检查一下你列出的式子，会产生歧义吗？

教师总结：(8a—7b)—(4a—5b),注意是两个多项式的差，所以要添加括号.若不加括号会误写成：

8a-7b-4a-5b,运算含义就变为8a-7b与4a及5b的差了.

本题不但引出了整式加减常见的结构，也列出了学生在整式加减列式中常见的错误，为下面的整式列

式及整式加减法则的学习打好基础.

例6：(1)(2x-3y)+(5x+4y)；(2)(8a-7b)-(4a-5b).

学生活动：独立完成计算，小组合作探究、总结整式加减的一般步骤.

师生合作探究：你能用语言表达上面两题各是什么之间的和差计算吗？计算完毕请你总结这两题运算

的主要步骤是什么？

教师总结：上面两题分别是计算整式的加法和整式的减法.步骤是先去括号，再合并同类项.

教师多媒体出示解答过程，布置学生完成课本69页练习1.

三、精讲例题

例7：笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元.小红买3本笔记本，2支圆珠笔；小明买4本笔

记本，3支圆珠笔.买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？

学生活动：小组合作探究，找出数量之间的运算关系.

师生合作探究：小红和小明共花费的钱可以由哪些费用组成？你能从不同角度考虑，总费用的组成吗？

用不同的式子表示相同的总费用.

教师总结：总费用可以从两个角度来考虑，一种是由小红的花费加上小明的花费，另一种是小红和小

明笔记本的花费加上他们圆珠笔的花费.

解法一：小红买笔记本和圆珠笔共花费(3x+2y)元，小明买笔记本和圆珠笔共花费(4x+3y)元，则小

红和小明一共花费为(3x+2y)+(4x+3y)=3x+2y+4x+3y=7x+5y(元).

解法二：小红和小明买笔记本共花费(3x+4x)元，买圆珠笔共花费(2y+3y)元，则小红和小明一共花

费为(3x+4x)+(2y+3y)=7x+5y(元).

通过上面的学习，我们可以得到整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去

括号，然后再合并同类项.

学生尝试完成课本68页例8和69页练习2.

例9：求多项式%—2(矛一»)+卜|%+$)的值，其中x=-2,y=|.

学生活动：小组合作交流是解决问题的主要途径，派代表回答，然后再独立完成计算过程.

师生合作探究：本题是先把x、y的值带入多项式计算吗？显然，应该先把多项式化简，再把x、y的

值带入化简后的式子计算.

=-3x+/.

9,2、44

当x=-2,尸可时，原式=(—3)X(—2)+,2=6+3=63.

先化简，再求值学生前面已经有所接触，本题主要目的是让学生熟悉整式加减运算的法则.并体会整

式加减运算对解决问题的重要性.

四、课堂小结

1.谈谈本节课的收获.

2.本节课主要学习了整式加减的运算法则，通过不同的数学角度来解决实际问题.

五、板书设计

2•2整式的加减

第三课时

1.几个整式加减，需对每个整式添加括号;

2•整式的加减运算法则.

六、教学反思

本节内容是以合并同类项和去括号为基础的整式加减运算.前面的学习已经分散了整式运算的难

点.因此本节重点在于：如何引导学生从相关的整式计算过程，归纳、总结出整式加减运算的法则，这里

安排例6来体现这个过程.例7的问题可以通过不同的角度来考虑，让学生体会解决问题的不同方法，扩

大学生的解题思维.例7、例8的问题背景和数量关系都比较简单，主要目的是使学生熟悉另一整式加减

运算解决实际问题的过程和应该注意的问题，提高学生解决实际问题的能力.例9主要是让学生及时熟悉

整式运算法则而设计的，也使学生体会到通过整式加减，能使式子的求值更简便.

整节课所安排的问题，都是先让学生小组合作探究完成，并对问题归纳、总结，然后教师再进行概括.这

种过程能充分调动学生的学习积极性、主动性，让学生成为课堂的主人，锻炼学生的想象力、创造力.但

在进行多项式相加减计算时，学生常常会忘记对多项式添加括号，导致两个多项式相减时出现错误，可以

安排一些类似的练习加以巩固，让学生熟悉此类运算，避免错误的发生.

导学方案

一、学法点津

先熟练合并同类项和去括号的有关计算.在列出整式的加减表示问题中的数量关系时，注意每个量表

示的式子必须添加括号如：整式2x+4与5%-1的差，需写成(2x+4)—(5*一1),然后根据整式加减法则，

先去括号，再合并同类项.在解决实际问题时，应尝试考虑解决问题的不同方法.利用数学建模思想，从

数学的角度，把实际问题转化为数学问题，提高自己解决实际问题的能力.

二、学点归纳总结

(-)知识要点总结

1.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.

进行整式加减运算的一般步骤是：

(1)根据去括号法则去掉括号；

(2)准确找出同类项，按照合并同类项法则合并同类项.求多项式的值时，一般先合并同类项，即先

化简，再求值.

2.求整式的和差，需把整式添加括号，然后再进行加减.

3.从不同的角度考虑问题，从而列出不同的式子表示相同的数量关系.

(二)规律方法总结

1.整式加减运算法则，可以通过观察、比较相似结构的运算概括出来.

2.解决实际问题时，可以通过不同角度来考虑问题，拓宽解题思路.

第三课时作业设计

1.灯与一2灯的差是.

2.一个多项式减去2x等于2f+7x—4,这个多项式是.

3.列式表示：

(Da的平方与b的3倍的差是；(2)a,6两数差的平方是.一

4.一个学生由于粗心，在计算2x+G—2)时误将“+”看成“一”，结果得32,则2x+(x—2)的值

应为.

5.一［一金去括号化简得().

A.-m-nB.-m-\-nC.m-nD.加+〃

6.一个两位数，个位数字是6,十位数字是a,求这两位数是().

A.abB.baC.106+aI).10a+6

7.己知代数式x+2y的值是4,则代数式2x+4y+l的值是().

A.17B.5C.