高中数学选择性必修一课件：2 5 1 第一课时 直线与圆的位置关系(人教A版)

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系课标要求素养要求1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.通过直线与圆的位置关系的判断，进一步提升数学抽象及数学运算素养.新知探究早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程，你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种位置关系，你发现了吗？问题日出升起的过程体现的是直线与圆的哪三种位置关系？提示体现的是相交、相切、相离三种不同的位置关系.直线与圆的位置关系要搞清直线与圆的位置关系关键是搞清直线与圆的公共点的个数间的等价关系及判断

(直线：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2)位置关系相交相切相离公共点个数_______个_____个_____个210<＝>>＝<图形拓展深化[微判断]1.若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.()

提示直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切.2.直线l：x＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交且过圆心.()3.若直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝a(a>0)相切，则a等于4.(

)×√×[微训练]1.已知直线x＝a(a>0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是(

) A.5 B.4 C.3 D.2解析由题意知圆心(1，0)到直线x＝a的距离为2，即|a－1|＝2(a>0)，解之得a＝3.答案

C[微思考]1.若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？

提示一定.由直线与圆的位置关系可得.2.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？

提示当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径.题型一直线与圆位置关系的判定【例1】已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？有两组不同实数解；有一组实数解；无实数解的问题.②代入①，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0，③方程③的根的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2).当－2<b<2时，Δ>0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离.综上，当－2<b<2时，直线与圆相交；当b＝－2或b＝2时，直线与圆相切；当b>2或b<－2时，直线与圆相离.综上当－2<b<2时，直线与圆相交；当b＝－2或b＝2时，直线与圆相切；当b>2或b<－2时，直线与圆相离.规律方法判断直线与圆的位置关系应注意的问题(1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系.(2)在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算.特别提醒利用几何法来判定直线与圆的位置关系时，一定要明确圆心的坐标.规律方法判断直线与圆的位置关系应注意的问题(1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系.(2)在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算.特别提醒利用几何法来判定直线与圆的位置关系时，一定要明确圆心的坐标.【训练1】

a为何值时，直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100分别有如下关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离？解法一(代数法)消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90000.(1)当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a2＋90000＞0，得－50＜a＜50；(2)当直线和圆相切时，Δ＝0，即a＝50或a＝－50；(3)当直线和圆相离时，Δ＜0，即a＜－50或a＞50.法二(几何法)圆x2＋y2＝100的圆心为(0，0)，半径r＝10，题型二直线与圆相切的有关问题【例2】过点M(2，4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程.解由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50>1，故点M在圆外.当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，所以切线方程为24x－7y－20＝0.又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切.综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.【迁移1】若将例2中的点M的坐标改为(1，－2)，其他条件不变，又如何求其切线方程？解由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，故点M在圆上，设圆的圆心为C，则C(1，－3)，显然CM的斜率不存在.∵圆的切线垂直于经过切点的半径，∴所求切线的斜率k＝0，∴切线方程为y＝－2.【迁移2】若例2中的条件不变，如何求其切线长？规律方法

1.过圆外一点求圆的切线方程的两种求解方法(1)几何法：设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径，求出未知量的值.此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出其切线方程.(2)代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用Δ＝0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出其切线的方程.2.过一点求圆的切线方程时，若点在圆上，则切线只有一条；若点在圆外，则切线有两条.(2)点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________.∴点P在圆上.∴P为切点.(2)如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA，又OA⊥AP，答案(1)C

(2)8为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，题型三直线与圆相交的有关问题规律方法求直线与圆相交时弦长的两种方法：图1(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，图2解析(1)设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，(2)设圆的半径为r，由条件，∴r2＝2＋2＝4，得r＝2.∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.二、素养训练1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(

) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离答案B2.对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(

) A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心法二直线kx－y＋1＝0恒过定点(0，1)，而该点在圆内，故直线与圆相交，且圆心不在该直线上.答案C答案ADA.0° B.45°C45° D60°4.过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________.解析由x2＋y2－2x－4y＋4＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝1，故圆心为(1，2)，半径r＝1.∵弦长为2，故弦为直径，即弦所在直线过圆心(1，2)，又直线过原点，因此所求直线方程是2x－y＝0.答案2x－y＝0(2)容易判断点Q(3，0)在圆外.设切线的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，备用工具&资料答案ADA.0° B.45°C45° D60°图形[微训练]1.已知直线x＝a(a>0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是(

) A.5 B.4 C.3 D.2解析由题意知圆心(1，0)到直线x＝a的距离为2，即|a