2024-2025学年度北师版七上数学-第三章-整式及其加减-问题解决策略归纳【课件】

第三章整式及其加减☆问题解决策略归纳数学七年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学七年级上册BS版课前预习01通过题目给出的有限个数、式或图形等，从这些简单的、

局部的、特殊的情形出发，经过观察、对比、提炼，寻找共同

点，发现隐藏的规律，并归纳得到数学结论，从而解决问题.因

此，归纳是发现数规律与结论，解决数学问题的一种重要策略.数学七年级上册BS版典例讲练02观察如图所示的几种简单的棱柱模型：三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱根据上面的棱柱模型，完成下表：棱柱顶点数（

V

）面数（

F

）棱数（

E

）三棱柱

⁠

⁠

⁠四棱柱

⁠

⁠

⁠五棱柱

⁠

⁠

⁠六棱柱

⁠

⁠

⁠则归纳得到顶点数

V

、面数

F

、棱数

E

之间存在的关系式是

⁠

⁠.6

5

9

8

6

12

10

7

15

12

8

18

V

＋

F

－

E

＝2

三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱【思路导航】观察题目给出的棱柱的特征得到相应的数据，并从中发现规律，归纳得到数学结论.【解析】三棱柱：6，5，9→6＋5－9＝2；四棱柱：8，6，

12→8＋6－12＝2；五棱柱：10，7，15→10＋7－15＝2；六棱

柱：12，8，18→12＋8－18＝2.对比、分析得到的数据，发现

顶点数加上面数减去棱数等于定值2这一规律，于是归纳得到数

学结论为

V

＋

F

－

E

＝2，故答案为6，5，9；8，6，12；10，

7，15；12，8，18；

V

＋

F

－

E

＝2.【点拨】通过观察三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱几个特殊

图形的特征得到相关数据，再对比、分析，从中发现具有一般

性的规律：顶点数＋面数－棱数＝2.本例充分体现了数学中的

归纳思想和方法，使我们认识了这一数学问题的本质，总结出

数学公式.因为

n

（

n

≥3）棱柱有2

n

个顶点，3

n

条棱，（

n

＋

2）个面，所以2

n

＋（

n

＋2）－3

n

＝3

n

－2－3

n

＝2，即顶点数

＋面数－棱数＝2.

若用大小相同的小三角形摆成如图所示的图形，按照这样的规

律摆放，则第

n

（

n

为正整数）个图形中所有小三角形的个数

是

⁠.3

n

＋4

【解析】当

n

＝1时，图中小三角形的个数为3×2－3＋4＝7；

当

n

＝2时，图中小三角形的个数为3×3－3＋4＝10；当

n

＝3

时，图中小三角形的个数为3×4－3＋4＝13；当

n

＝4时，图中

小三角形的个数为3×5－3＋4＝16；因此，第

n

个图形中所有

小三角形的个数为3（

n

＋1）－3＋4＝3

n

＋3－3＋4＝3

n

＋4.

故答案为3

n

＋4.

观察下列等式：

……利用归纳策略，解答下列问题：（1）按照以上规律写出第5个等式：

（3）求

a1＋

a2＋

a3＋…＋

a20的值.【思路导航】观察给出的4个等式的特征，通过对比、分析、提

炼，从中发现这些等式的共同点和变化规律，归纳总结得到数

学结论，并利用数学结论，就能顺利地解决问题.

【点拨】从本例的解答过程看出，利用归纳策略解答问题的一

般过程：（1）观察题目给出简单的、局部的、特殊的有限个

数、式或图形等的特性；（2）通过对比、分析、提炼寻找它们

之间的共同点，发现隐藏其中的变化规律；（3）根据掌握的变

化规律，进行大胆的猜想，归纳得到数学结论；（4）验证归纳

得到的数学结论的正确性，并利用它去解决数学问题.

观察下列由连续的正整数组成的宝塔形等式：1＋2＝3；4＋5＋6＝7＋8；9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；……（1）第6层等号右侧的第一个数是

，第

n

层等号右侧的

第一个数是

（用含

n

的式子表示，

n

是正整数）；（1）【解析】观察发现：第6层等号左侧的第一个数是62＝

36，第

n

层等号左侧的第一个数是

n2；第6层等号右侧的第一个

数是36＋6＋1＝43，第

n

层等号右侧的第一个数是

n2＋

n

＋1.故

答案为43，

n2＋

n

＋1.43

n2＋

n

＋1

（2）求第19层等号右侧最后三个数的和.（2）解：由题意知，第19层等号右侧最后三个数分别为202－

1，202－2，202－3，所以第19层等号右侧最后三个数的和为

（202－1）＋（202－2）＋（202－3）＝3×400－6＝1194.

毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合作了如下研究：（1）请在表格中写出第6层各个图形的几何点数，并归纳出第

n

层各个图形的几何点数；【思路导航】（1）观察题目给出的四幅图形，找出对应的每一

层的几何点数，寻找数字间的变化规律，便能写出第6层各个图

形的几何点数，并以此归纳出一般情况，即得到第

n

层各个图

形的几何点数；名称及图形三角形数正方形数五边形数六边形数

第1层几何点数1111第2层几何点数2345名称及图形三角形数正方形数五边形数六边形数

第3层几何点数3579……………第6层几何点数

⁠

⁠

⁠

⁠……………第

n

层几何点数

⁠

⁠

⁠

⁠6

11

16

21

n

2

n

－1

3

n

－2

4

n

－3

（1）【解析】因为前3层三角形数的几何点数分别是1，2，3，所以第6层的几何点数是6，第

n

层的几何点数是

n

.因为前3层正方形的几何点数分别是1＝2×1－1，3＝2×2－1，

5＝2×3－1，所以第6层的几何点数是2×6－1＝11，第

n

层的几何点数是2

n

－1.因为前3层五边形的几何点数分别是1＝3×1－2，4＝3×2－2，

7＝3×3－2，所以第6层的几何点数是3×6－2＝16，第

n

层的几何点数是3

n

－2.因为前3层六边形的几何点数分别是1＝4×1－3，5＝4×2－3，

9＝4×3－3，所以第6层的几何点数是4×6－3＝21，第

n

层的几何点数是4

n

－3.故答案为6，11，16，21，

n

，2

n

－1，3

n

－2，4

n

－3.（2）求第100层各个图形的几何点数的总和.【思路导航】（2）利用得到的数学结论，就能求出第100层

各个图形的几何点数的总和.（2）解：当

n

＝100时，则第100层各个图形的几何点数的总和为

n

＋（2

n

－1）＋（3

n

－2）＋（4

n

－3）＝10

n

－6＝10×100－6＝994.【点拨】利用归纳得到数学结论这类问题，常常都与自然数

n

有关联.在对题目给出的有限个数、式或图形等进行观察、对

比、分析时，要密切注意与自然数

n

的联系，并要重点关注自

然数

n

引起其余部分的变化，从中寻找共同点，发现隐藏的规

律，揭示问题的本质，归纳得到数学结论.

某类碳氢化合物中前6种化合物的分子结构模型如图所示，其中

灰球代表碳原子，白球代表氢原子.按照这一规律，请利用归纳

策略解答下列问题：（1）第

n

（

n

为正整数）种化合物的分子结构模型中有

⁠

个氢原子；（2

n

＋2）

（1）【解析】由图可知，第1种化合物中氢原子的个数为4＝

2×1＋2；第2种化合物中氢原子的个数为6＝2×2＋2；第3种化合物中氢原子的个数为8＝2×3＋2；第4种化合物中氢原子的个数为10＝2×4＋2；第5种化合物中氢原子的个数为12＝2