2023上海高考数学名师模拟卷八（学生版+解析版）

2023年上海高考数学名师模拟卷（8）

—.填空题（共12小题）

1.若复数z满足z-（l+i）=2（i为虚数单位），则2=.

2.设集合4=（-1,3）,B=[0,4）,则4|JB=.

22

3.已知耳，K是椭圆C：5+[=l的左、右焦点，点P在C上，则工的周长为.

4.已知一组数据4,a,3+a,5,7的平均数为5,则这组数据的方差为.

426

行列式354中，第2行第1列元素的代数余子式的值为

-11-2

3a”+为奇数

已知正整数数列｛〃"｝满足。用

7.某一大型购物广场有“喜茶”和“沪上阿姨”两家奶茶店，某人第一天随机地选择一家

奶茶店购买奶茶.如果第一天去“喜茶”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.7；如果

第一天去“沪上阿姨”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为06则某人第二天去“喜茶”

店购买奶茶的概率为—.

8.已知（x+2）"的二项展开式中，所有二项式系数的和为256,则展开式中的常数项为

（结果用数值表示）.

9.已知函数f（x）=sinx-2cosX,当x=a时f（x）取得最大值，则cosa=.

10.在AABC中，AB=2,BC=3,Z4BC=60。，AO为8c边上的高，。为4）的中点,

^AO=A.AB+nBC,则彳+〃=.

II.在四棱锥S-AfiCZ）中，四边形/WCD是边长为2的正方形，ASM＞是正三角形，且侧

面&⑦，底面ABCD.若点S,A,B,C,。都在同一个球面上，则该球的表面积为一.

12.已知11-ql领）1-/1|1-八别|1-^5|,q为非零实数，则q的取值范围是.

选择题（共4小题）

13.设”为正整数,则“数列｛4｝为等比数列”是"数列｛凡｝满足4•4+3=%+/4+2”的（

)

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

14.“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞

内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的

泉水越高.已知听到的声强，"与标准声调肛)(为约为KT2单位：卬//)之比的常用对数

称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即乙=起色，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，

简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系

式y=2x,现知4同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大

约相当于10个3同学同时大喝一声的声强，则8同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为(

)米.

A.5B.10C.45D.48

15.对于定义域为R的函数y=g(x),设关于x的方程g(x)=f,对任意的实数/总有有限个

根，记根的个数为人⑺，给出下列两个命题：

①设〃(x)=|g(x)|,若左⑺=&⑴,则g(x)..O；

②若£()=1,则y=g(x)为单调函数；

则下列说法正确的是()

A.①正确②正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①错误②错误

/X

16.关于x的方程|--j---1-|---pl=0有四个不同的实数根，且不|<工2〈七〈七，则

x4---4tH—

xt

(x&-X])+(%-三)的取值范围()

A.Q瓜4后B.(276,4+2V2)C.(4+20,4白)D.[2>/6,4^]

三.解答题(共5小题)

17.如图，四棱锥P-A8CE)的底面ABCD内接于半径为2的圆O,/归为圆。的直径，

AB//CD,2DC=AB,E为AB上一点，PE_L平面ABCD,EDA.AB,PE=EB.求:

(1)四棱锥P—A88的体积；

(2)锐二面角C-PB-£)的余弦值.

18.如图，已知平面四边形ABC。，ZA=45°,ZABC=15°,ZBDC=30°,BD=2,CD=g.

⑴求Z.CBD；

(2)求9的值.

19.业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投

入资金为4A为常数)元，之后每年会投入一笔研发资金，〃年后总投入资金记为/(〃),

94二

经计算发现当噫必10时，/(〃)近似地满足/其中。=23,P，4为常数,

p+qa

f(0)=A.已知3年后总投入资金为研发启动时投入资金的3倍.问

(1)研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；

(2)研发启动后第几年的投入资金的最多.

20.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(l,2),A(xf,yt),B(x2,

%)均在抛物线上.

(1)求抛物线的方程及其准线方程；

(2)当P4,PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线A8的斜率为定值.

21.已知数列{%}(““cN),记=/+%+…+4，首项4=〃0>0,若对任意整数a..2,

有喷虬k-\,且S,是左的正整数倍.

(1)若4=21,写出数列｛4｝的前写项;

(H)证明：对任意”..2,数列他“｝的第〃项a“由q唯一确定；

(III)证明：对任意正整数为,数列｛S“｝从某一项起为等差数列.

2023年上海高考数学名师模拟卷(8)

—.填空题(共12小题)

1.若复数z满足z-(l+i)=2(i为虚数单位)，则z=_l-i

【解答】解：因为z{l+i)=2,

所以“力瑞

故答案为：1—i.

2.设集合A=(—1,3),B=[0,4),则A|j8=_(—1,4)

【解答】解：•.•A=(—1,3),B=[0,4),

故答案为：(-1,4).

22

3.已知耳，尸2是椭圆C：]+q=l的左、右焦点，点P在C上，则△PEE的周长为10

【解答】解：由题意知：椭圆C:2+)-=1中a=3,b=\[5,c=2,

95

.■.△?/;；6周长=2<2+20=6+4=10.

故答案为：10.

4.已知一组数据4,a,3+a,5,7的平均数为5,则这组数据的方差为2.

【解答】解：因为这组数据的平均数为5,

所以4+。+3+。+5+7=25,解得。=3,

则这组数为3,4,5,6,7,

故方差『=([(3-5)2+(4-5)2+仁一+(6-5)2+(7-5)2]=2.

故答案为：2.

426

5.行列式354中，第2行第1列元素的代数余子式的值为10.

-11-2

426

【解答】解：行列式354中，

-1I-2

第2行第1列元素的代数余子式的值为(-1)326=_(y_6)=10.

1—2

故答案为：10.

3(1"+1,。”为奇数

6.已知正整数数列伍,｝满足。用=/*_伸物，则当4=8时，

”为偶数

【解答】解：•.4=8是偶数，

.•.3=乌=号=4是偶数，

-22

.•.%=9=9=2是偶数，

支22

「.%=幺=2=1是奇数，

422

a5=34+1=3x1+1=4足偶数，

，4=2是偶数，

=1是奇数，

••,,

从第二项开始，正整数数列｛%｝是以3为周期的周期数列，

•.•2021=1+673x3+1,

•■%(>2]==4，

故答案为:4.

7.某一大型购物广场有“喜茶”和“沪上阿姨”两家奶茶店，某人第一天随机地选择一家

奶茶店购买奶茶.如果第一天去“喜茶"店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.7；如果

第一天去“沪上阿姨”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.6.则某人第二天去“喜茶”

店购买奶茶的概率为0.65.

【解答】解：某人第二天去“喜茶”店购买奶茶有两种情况：

①第一天选择去“喜茶”店，第二天选择去“喜茶”，其概率为‘X0.7=0.35；

2

②第一天选择去“沪上阿姨”店，第二天选择去“喜茶”，其概率为1x0.6=0.3，

2

所以某人第二天去“喜茶”店购买奶茶的概率为0.35+0.3=0.65.

故答案为：0.65.

8.已知(x+2)"的二项展开式中，所有二项式系数的和为256,则展开式中的常数项为_LL2n

(结果用数值表示).

【解答】解：•.•已知(x+2)"的二项展开式中，所有二项式系数的和为2"=256,，〃=8.

X

则展开式中的通项公式为=品2•产”，令8—2/■=(),求得r=4,

可得展开式的常数项为C<24=1120,

故答案为：H20.

2/s

9.已知函数/(x)=sinx-2cosx,当x=a时/(x)取得最大值，则cosa=_———_.

【解答】解：f(x)=sinx—2cosx=\[5((sinx-cosx)=>/5sin(x-0)

•.・x=a时，函数/(x)取得最大值，

sin(a-，)=1,即sina-2cosa=右，

又sir^a+cos2a=1，

9尺

联立得(2cosa+6)2+cos2a=1,解得cosa=———.

故答案为：-巫.

5

10.在AABC中，43=2,BC=3,Z4BC=60°,AZ)为BC边上的高，O为4)的中点,

______,

^AO=AAB+^BC,则2+〃=_:一

【解答】解：因为。为AD的中点，则而=2而=22而+2〃册，

又AD上BC,所以而•阮=(22耳力+•前=2X4月+

则九=3〃，因为B,D,C三点共线，则设8方=加8e，

在三角形MC中，AO=^AD=-(AB+BD)=-AB+-mBC=AAB+juBC,

所以4=1,则〃=1,

26

所以2+〃='+工=2>

263

故答案为：—.

3

11.在四棱锥S-MCD中，四边形45co是边长为2的正方形，是正三角形，且侧

面底面ABC。.若点S,A,B,C,。都在同一个球面上，则该球的表面积为

【解答】解：由题意，几何体的图形如图，底面正方体的中心为G,的中点为了，连

接SF,A5AD是正三角形，E为中心，作EOL平面8£>,OG_L平面A8CD,

可得OD=OA=OB=OC=OS=R，

口J矢口FG=1fEk=—x—x2=—，SE=---，

3233

所以R==j+(竿『=A.

所以该球的表面积为：4"x/?2=.

3

故答案为：—7T.

3

AB

12.已知|1一4网1一/||1-二阚1一力4为非零实数，则夕的取值范围是

(-82_-2］U(O,+8)_.

【解答】解：根据题意，分情况讨论：

①当0<夕<1时，有1>q>q2>q'>q'>q'>0,

此时有0<l-q<l-g2<l-/<l_q4<i_g5<］,满足

|l-q|别|1一力|口―/阚］一/|符合题意，

②当4=1时,也能满足ll-q偿能-口_/阚I_g4||1一月，符合题意,

③当q>1时，\<q<q2<qy<qi<qs,

此时有>］一/>］一/"一如，满足

\\-q\^\-q2\|1一/|剥1-/|口一力,符合题意,

④当—l,，4<0时，|l-q|>|l-二|,不满足H-q阚1一/||1-/|蒯1一二|

⑤当—2<q<—1时，H-4l>|l-q"l，不满足|1一《1„|1-/।,

⑥当%—2时，42-i-（i-43）=g2a+q）-2<o恒成立，即夕2一1<1-«3,

同理可证得l-«3<44-l<l-q5,符合题意，

综上所述，q的取值范围为（V,-2]|J（0,+oo）,

故答案为：（-00,-2]|J（0,+oo）.

二.选择题（共4小题）

13.设〃为正整数，则”数列伍”｝为等比数列”是“数列｛叫满足a“q+3=a“My+2”的（

）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【解答】解：①若数列｛«„｝为等比数歹IJ，则④■=如=q,%a,.=an+t-an+2,

a„%+2

②若%=0，满足限=a„+l-a„+2,但数列｛%｝不为等比数列，

故选：A.

14.“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞

内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的

泉水越高.已知听到的声强m与标准声调人（外约为10",单位：卬/加2）之比的常用对数

称作声强的声强级，记作L（贝尔），即乙=/g上，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，

恤

简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满足关系

式y=2x,现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大

约相当于10个5同学同时大喝一声的声强，则3同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（

）米.

A.5B.10C.45D.48

【解答】解：设8同学的声强为山，喷出泉水高度为x,则A同学的声强为10m,喷出泉

水高度为50,

由10/g—=2x,得Igm—=0.2x,①

砥)

10/72

10/g---=2x50,1+Igm—lgmn=10.②

①一②得：-l=0.2x-10,

解得x=45,

.•.8同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为45米.

故选：C.

15.对于定义域为R的函数y=g(x),设关于x的方程g(x)=f,对任意的实数f总有有限个

根，记根的个数为,⑺，给出下列两个命题：

①设〃(x)=|g(x)|,若力")=£,«)，则g(x)..O；

②若力⑺=1，则y=g(x)为单调函数；

则下列说法正确的是()

A.①正确②正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①错误②错误

【解答】解：•.•/?(x)=|g(x)|..o,对任意的f＞0,都有水£)=0,

则，⑺=力”)=0,则g(x)..O，故①正确；

1xwO

取g(x)=X，则力⑺=1，但g(x)不是单调函数，故②错误；

0,x=0

故选：B.

tx

16.关于X的方程|--j---HI---p|=0有四个不同的实数根，且不＜出＜“3＜、4，则

Xd---4td—

Xt

(匕-n)+(鼻-X?)的取值范围()

A.(2后,48)B.(2代,4+2应)C.(4+2&,46)D.[26,4白]

【解答】解：依题意可知，|X2-4X+1|=*+1,由方程有四个根，所以函数y=r+i与

＞=|x2-4x+i|的图象有四个交点,

2

由图可知，%,+x4=4,毛+/=4,1„z+1<3,解得/e(0,2),

由x?—4x+1=*+1解得匕=2—y/t2+4；

由一（x?—4x+1）=厂+1解得x2=2—，2—/；

所以（x4—&）+（W—x,）=8-2（玉+X,）=2（y/t~4-4+，2-1~）

设m=t2e（0,2）,n=-Jm+4+q2—m，

n2-m+4+2-m+2\l—nr-2m+8=6+2^/-（/n+1）2+9e（6,6+4>/2）>

即me（6，2+尤），所以（匕-巧）+（鼻-々）的取值范围是（2#，4+2立）.

故选：B.

三.解答题(共5小题)

17.如图，四棱锥P-43co的底面43co内接于半径为2的圆O,43为圆O的直径，

AB//CD,2DC=AB,E为AB上一点、,PE_L平面/IBC。，EDYAB,PE=EB.求:

(1)四棱锥尸―ABCD的体积；

(2)锐二面角C—P8—。的余弦值.

【解答】解：（1）连接OQ，OC,易得△8C是正三角形,

•.­AB//CD,:.ZAOD=ZODC=60°,

.EDYAB.:.ED=6EO=l,：.PE=EB=3,

S/U3CO=gx(2+4)x5/3=3G,

VP-ABCD=1x3>/3x3=3>/3»

四棱锥尸-ABCD的体积为3G.

如图建立空间直角坐标系E-孙z,

则8(0,3,0),C(6,2,0),D(X/3,0,0),P(0,0,3),

.1B方=(G,-3,0),方=(0,3,-3),BC=(^,-l,0),

设平面PBD的法向量为或=（占,y,4）,

，取乂=1，则%=百，Z]=1,得%=(-73,1,1),

PB^=O3y,-3=0

设平面PBC的法向量为n2=(x2,y2,z2),

由[”.勺=0,即=0,取为=1,则X=走，Z2=l,得区=(£』),

PBn2=0[3y2-3z2=0-'3-3

设锐:面角C-PB-0的大小为。，

.•.锐二面角C-PB-。的余弦值为更叵.

35

18.如图，已知平面四边形ABCD,Z4=45°,ZABC=15°,ZBDC=30°,BD=2,CD=».

(1)求NCBD；

(2)求AB的值.

【解答】解：(I)在ABC。中，由余弦定理8c2=3D2+CZ)2_28DC£)cosN8r>C,

得：BC2=4+3-473--1解得：BC=1,故BC?+CD2=BD?,

2

故ABC。是RTZX,故NCBD=60。.

(2)由(1)得：ZCBD=60°,又ZABC=75°,则/£>8c=15°,

而Z4=45°,则NA£>B=120°,

由正弦定理=>解得：AB=\/6.

sinZADBsinA石&

TF

19.业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投

入资金为4A为常数)元，之后每年会投入一笔研发资金，〃年后总投入资金记为了(〃)，

经计算发现当滕吠10时，/(〃)近似地满足/(〃)=*■£,其中a=23,p,q为常数，

p+qa

f(0)=4.已知3年后总投入资金为研发启动时投入资金的3倍.问

(1)研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍;

(2)研发启动后第儿年的投入资金的最多.

【解答】解：(1)由题意知f(O)=A,f(3)=3A.

94.

----=A

p+q

所以9A解得.所以私)=备

I=3A

p十二q

4

QA

令f(“)=84,得-------=8A,解得a"=64,

1+8%”

2n

即2~=64,所以〃=9.

所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍.

(2)由(1)知/(〃)=——

1+8-

第n年的投入金

GA9A9Aa・9A724。”(1一。)72A(1—a)

=/(-/(-l)=^

w)wT7l+8.a"-'1+8/a+8/(1+8«a")(a+8d)

+8(1+々)+64/

72A(1-a)72A(1-/)9A(1-向

2Kx64a"+8(1+a)8(1+拈0+&)

2(2H-1)I

当且仅当64/=2，即23=」-等号，此时〃=5.

a"64

所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多.

20.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点尸(1,2),《占，y),B(X2,

必)均在抛物线上.

(1)求抛物线的方程及其准线方程;

(2)当R4,P8的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线4?的斜率为定值.

【解答】(1)解.：由题意可设抛物线的方程为y2=2px(〃>0),

则由点P(l,2)在抛物线上,得22=2pxl,解得p=2,

故所求抛物线的方程是V=4x,准线方程是x=-L

(2)证明：因为Q4与的斜率存在且倾斜角互补，

所以即专=一分・

再一1x2-1