(人教A版2019选择性必修第一册)重难点题型精讲专题1.8空间向量及其运算的坐标表示(原卷版+解析)

专题1.8空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型检测【人教A版2019选择性必修第一册】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2023秋•西昌市期末）空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为（）A．（﹣1，﹣2，﹣3） B．（1，2，﹣3） C．（1，﹣2，﹣3） D．（1，2，3）2．（3分）（2023秋•钦州期末）已知a→=（1，2，1），b→=（2，﹣4，1A．（4，﹣2，0） B．（4，0，3） C．（﹣4，0，3） D．（4，0，﹣3）3．（3分）（2023秋•张家界期末）已知直线l的一个方向向量m→=（2，﹣1，3），且直线l过A（0，y，3）和B（﹣1，2，z）两点，则y﹣A．0 B．1 C．32 D．4．（3分）(2023春•成都期中）已知a→=(cosα，−1，sinα)，A．90° B．60° C．30° D．0°5．（3分）(2023•西湖区校级模拟）已知a→=（1﹣t，2t﹣1，0），b→=（3，t，t），则A．63 B．423 C．143 6．（3分）（2023秋•吉林期中）已知M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，﹣3），若|PQ→|=3|MN→A．（2，5，0） B．（﹣4，﹣1，﹣6）或（2，5，0） C．（3，4，1） D．（3，4，1）或（﹣3，﹣2，﹣5）7．（3分）（2023•宝山区二模）设向量u→=(a，b，0)，v→=(c，d，1)，其中A．向量v→与z轴正方向的夹角为定值（与c，d之值无关）B．u→⋅vC．u→与v→的夹角的最大值为D．ad+bc的最大值为18．（3分）（2023秋•宁波期末）在空间直角坐标系中，OA→=(2a，2b，0)，OB→=(c−1，d，1)，O为坐标原点，满足a2+bA．OA→⋅OB→的最小值为﹣6 B．C．|AB|最大值为26 D．|AB|最小值为1二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2023秋•三明期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（）A．点B1的坐标为（4，5，3） B．点C1关于点B对称的点为（5，8，﹣3） C．点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3） D．点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）10．（4分）(2023春•安溪县期末）若a→=(−1，λ，−2)，b→=(2，A．17 B．﹣17 C．﹣1 D．111．（4分）（2023秋•海珠区期末）已知直线l1、l2的方向向量分别是AB→=（2，4，x），CD→=（2，y，2），若|AB→|＝6且l1⊥l2A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．312．（4分）（2023秋•凤城市校级月考）已知空间四点O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），则下列说法正确的是（）A．OA→⋅OB→=−2C．点O到直线BC的距离为5 D．O，A，B，C四点共面三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）(2023春•宁德期末）已知A（1，2，3），B（4，5，9），AC→=13AB→，则AC14．（4分）(2023春•南岗区校级期末）动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，记D1PD1B=λ，当∠APC为钝角时，λ15．（4分）（2023秋•辽宁期中）已知向量a→=（1，﹣3，2），b→=（﹣2，1，1），点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．则|2a→+3b→|＝；在直线AB上存在一点E，使得OE→⊥b16．（4分）（2023秋•遵化市期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，给出以下结论：①点A（﹣2，1，3）关于z轴的对称点的坐标是（2，﹣1，3）；②点B（4，﹣2，5）关于yOz平面对称的点的坐标是（4，2，﹣5）；③若AB→=(0，−1，2)其中所有正确结论的序号是．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2023秋•青铜峡市校级月考）已知点A，B关于点P（1，2，3）的对称点分别为A′，B′，若A（﹣1，3，﹣3），A'B'→=（3，118．（6分）（2023秋•辽源期末）已知：a→=（x，4，1），b→=（﹣2，y，﹣1），c→=（3，﹣2，z），a→（1）a→，b→，（2）a→+c19．（8分）（2023秋•天河区校级期中）如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为（32，12，0），点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝（1）求向量CD→（2）求AD→与BC20．（8分）（2023秋•福田区校级期中）已知a→=（1，1，0），b→=（﹣1，（1）求|2a→−（2）若ka→+b→与221．（8分）(2023春•乌苏市校级期中）已知空间向量a→=（2，4，﹣2），b→=（﹣1，0，2），c→=（（Ⅰ）若a→∥c→，求（Ⅱ）若b→⊥c→，求cos＜a22．（8分）（2023春•江门期末）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．（1）求△ABC的面积；（2）若向量CD→∥AB→，且专题1.8空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2023秋•西昌市期末）空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为（）A．（﹣1，﹣2，﹣3） B．（1，2，﹣3） C．（1，﹣2，﹣3） D．（1，2，3）【解题思路】直接利用点关于面的对称的应用求出结果．【解答过程】解：空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为B（1，2，﹣3）．故选：B．2．（3分）（2023秋•钦州期末）已知a→=（1，2，1），b→=（2，﹣4，1A．（4，﹣2，0） B．（4，0，3） C．（﹣4，0，3） D．（4，0，﹣3）【解题思路】利用向量坐标运算性质即可得出．【解答过程】解：2a→+b→=2（1，2，1）+（2，﹣4，1）＝（4故选：B．3．（3分）（2023秋•张家界期末）已知直线l的一个方向向量m→=（2，﹣1，3），且直线l过A（0，y，3）和B（﹣1，2，z）两点，则y﹣A．0 B．1 C．32 D．【解题思路】根据AB→=k【解答过程】解：AB→=（﹣1，2﹣y，z﹣∴AB→=k∴﹣1＝2k，2﹣y＝﹣k，z﹣3＝3k．解得k=−12，y∴y﹣z＝0．故选：A．4．（3分）(2023春•成都期中）已知a→=(cosα，−1，sinα)，A．90° B．60° C．30° D．0°【解题思路】根据题意，求出a→+b→和a→−b【解答过程】解：根据题意，a→=(cosα，则a→+b→=（cosα+sinα，﹣2，sinα+cosα），a→−b→=（cosα﹣sin则（a→+b→）•（a→−b→）＝（cos2α﹣sin2α）+（sin2故向量a→+b→与a→−b故选：A．5．（3分）(2023•西湖区校级模拟）已知a→=（1﹣t，2t﹣1，0），b→=（3，t，t），则A．63 B．423 C．143 【解题思路】根据空间向量的坐标表示与数量积定义，利用二次函数的性质求出|b→−【解答过程】解：a→=（1﹣t，2t﹣1，0），b→=（3，则b→−a→=（2+t，1∴(b→−a→)2=（2+t）2+（1﹣t）2+t2＝3t∴t=−13时|b→故选：B．6．（3分）（2023秋•吉林期中）已知M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，﹣3），若|PQ→|=3|MN→A．（2，5，0） B．（﹣4，﹣1，﹣6）或（2，5，0） C．（3，4，1） D．（3，4，1）或（﹣3，﹣2，﹣5）【解题思路】设Q（x，y，z），则PQ→=（x+1，y﹣2，z+3），MN→=（1，1，1），由|PQ【解答过程】解：∵M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，﹣3），∵|PQ→|=3|MN→|，且PQ→∥MN∴PQ→=（x+1，y﹣2，z+3），MN→=（1，∴(x+1)解得x＝﹣4，y＝﹣1，z＝﹣6或x＝2，y＝5，z＝0，∴Q点的坐标为（﹣4，﹣1，﹣6）或（2，5，0）．故选：B．7．（3分）（2023•宝山区二模）设向量u→=(a，b，0)，v→=(c，d，1)，其中A．向量v→与z轴正方向的夹角为定值（与c，d之值无关）B．u→⋅vC．u→与v→的夹角的最大值为D．ad+bc的最大值为1【解题思路】在A中，取z轴的正方向向量t→=（0，0，t），求出n→与t→的夹角即可判断命题正确；在B中，计算u→⋅v→=ac+bd【解答过程】解：由向量u→=(a，b，0)，v→=(c，d，1)，其中在A中，设z轴正方向的方向向量z→=（0，0，向量v→与zcosα=z→⋅v→∴向量v→与z轴正方向的夹角为定值45°（与c，d之值无关），故A在B中，u→⋅v→=ac且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此u→⋅v→的最大值为在C中，由B可得：|u→⋅v→|≤1，∴﹣∴cos＜u∴u→与v→的夹角的最大值为3π4在D中，ad+bc≤a2∴ad+bc的最大值为1．故D正确．故选：B．8．（3分）（2023秋•宁波期末）在空间直角坐标系中，OA→=(2a，2b，0)，OB→=(c−1，d，1)，O为坐标原点，满足a2+bA．OA→⋅OB→的最小值为﹣6 B．C．|AB|最大值为26 D．|AB|最小值为1【解题思路】设a＝cosα，b＝sinα，c＝2sinβ，d＝2cosβ，则OA→⋅OB→=2a（c﹣1）+2bd＝2ac+2bd﹣2a＝4sinβcosα+4cosβsinα﹣2cosα＝4sin（α+β）﹣2cosα，从而OA→⋅OB→的最小值为﹣6，OA→⋅OB→的最大值为6；AB→=（c﹣2a﹣1，d﹣2b，1）＝（2sinβ﹣2cosα﹣1，2cosβ﹣2sinα，【解答过程】解：在空间直角坐标系中，OA→=(2a，2b，0)，OB→=(c−1，d，1)，O为坐标原点，满足a2+b设a＝cosα，b＝sinα，c＝2sinβ，d＝2cosβ，在A中，OA→⋅OB→=2a（c﹣1）+2bd＝2ac＝4sinβcosα+4cosβsinα﹣2cosα＝4sin（α+β）﹣2cosα，∴当α＝0，β=−π2，OA→⋅在B中，OA→⋅OB→=2a（c﹣1）+2bd＝2ac＝4sinβcosα+4cosβsinα﹣2cosα＝4sin（α+β）﹣2cosα，∴α＝π，β＝π+π2时，OA→⋅OB在C中，AB→=（c﹣2a﹣1，d﹣2b，1）＝（2sinβ﹣2cosα﹣1，2cosβ﹣2sinα，∴|AB→|=∴α=0，β=3π2时，|AB→|在C中，|AB→|=10−8sin(α+β)−4sinβ+4cosα=10+4cosα−4[(2cosα+1)sinβ+2sinαcosβ]≥10+4cosα−4=10+4cosα−4令4cosα+5=t则|AB→|=10+4cosα−4当cosα=−故|AB→|取最小值1．故D故选：B．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2023秋•三明期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（）A．点B1的坐标为（4，5，3） B．点C1关于点B对称的点为（5，8，﹣3） C．点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3） D．点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）【解题思路】利用空间点的对称性即可得出．【解答过程】解：由图形及其已知可得：点B1的坐标为（4，5，3），点C1（0，5，3）关于点B对称的点为（8，5，﹣3），点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），点C（0，5，0）关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）．因此ACD正确．故选：ACD．10．（4分）(2023春•安溪县期末）若a→=(−1，λ，−2)，b→=(2，A．17 B．﹣17 C．﹣1 D．1【解题思路】利用向量夹角公式直接求解．【解答过程】解：∵a→=(−1，λ，−2)，b→∴cos120°=a解得λ＝﹣1或λ＝17．故选：AC．11．（4分）（2023秋•海珠区期末）已知直线l1、l2的方向向量分别是AB→=（2，4，x），CD→=（2，y，2），若|AB→|＝6且l1⊥l2A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解题思路】由|AB→|＝6且l1⊥l2，列出方程组，求出x，y的值，由此能求出x+y【解答过程】解：∵直线l1、l2的方向向量分别是AB→=（2，4，x），CD→=（2，y，2），|AB→|＝6且l∴4+16+x2=6∴x=4y=−3或x=∴x+y＝1或x+y＝﹣3．故选：AC．12．（4分）（2023秋•凤城市校级月考）已知空间四点O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），则下列说法正确的是（）A．OA→⋅OB→=−2C．点O到直线BC的距离为5 D．O，A，B，C四点共面【解题思路】直接利用空间向量，向量的模，向量垂直的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角的应用判定A、B、C、D的结论．【解答过程】解：空间四点O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），则OA→=（0，1，2），OB→=（2，所以|OA→|=5，|OB→对于A：OA→⋅OB→对于B：cos＜OA→，OB→对于C：由于OB→=（2，0，﹣1），BC→=（1，所以OB→⋅故OB→所以点O到直线BC的距离d＝|OB→|=5，故对于D：根据已知的条件求出：OA→=（0，1，2），OB→=（2，0，﹣1），OC→=（易知：OA→假设：OA→则存在实数λ和μ使得OC→所以3=2μ2=λ故：OA→，OB故选：ABC．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）(2023春•宁德期末）已知A（1，2，3），B（4，5，9），AC→=13AB→，则AC→的坐标为（【解题思路】直接根据空间向量的坐标运算求解即可．【解答过程】解：∵A（1，2，3），B（4，5，9），∴AB→=（3，3，∴AC→=13AB→=故答案为：（1，1，2）．14．（4分）(2023春•南岗区校级期末）动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，记D1PD1B=λ，当∠APC为钝角时，λ【解题思路】建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法求出即可．【解答过程】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），∴D1B→=（1，1，﹣1），∴D1P→PA→=PD1→+D1A→=（﹣λ，﹣λ，λ）+（1，0，﹣PC→=PD1→+D1C→=（﹣λ，﹣λ，λ）+（0，1，﹣显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，∴PA→⋅PC→＜0，∴（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2＝（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得因此，λ的取值范围是（13，1故答案为：（13，115．（4分）（2023秋•辽宁期中）已知向量a→=（1，﹣3，2），b→=（﹣2，1，1），点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．则|2a→+3b→|＝74；在直线AB上存在一点E，使得OE→⊥b→，则点E的坐标为【解题思路】利用向量坐标运算求则先求出2a→+3b→，由此能求出|2a→+3b→|的值；求出OE→=OA→+AE→=OA→+t【解答过程】解：∵向量a→=（1，﹣3，2），b→=（﹣2，∴2a→+3b→=（2，﹣6，4）+（﹣6，3，3）＝（﹣∴|2a→+3b→∵点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．在直线AB上，存在一点E，∴OE→=OA→+AE→=OA→+tAB→=（﹣3，﹣1，4）+t（1，﹣1，﹣∵OE→⊥b∴OE→⋅b→=6﹣2t﹣1﹣t+4﹣解得t=9∴点E的坐标为(−6故答案为：74；(−616．（4分）（2023秋•遵化市期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，给出以下结论：①点A（﹣2，1，3）关于z轴的对称点的坐标是（2，﹣1，3）；②点B（4，﹣2，5）关于yOz平面对称的点的坐标是（4，2，﹣5）；③若AB→=(0，−1，2)其中所有正确结论的序号是①③．【解题思路】利用对称知识可求对称点的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即可．【解答过程】解：①点A（﹣2，1，3）关于z轴的对称点的坐标是（2，﹣1，3），故①正确；②点B（4，﹣2，5）关于yOz平面对称的点的坐标是（﹣4，﹣2，5），故②错误；③cos＜AB→，CD→＞=AB→故答案为：①③．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2023秋•青铜峡市校级月考）已知点A，B关于点P（1，2，3）的对称点分别为A′，B′，若A（﹣1，3，﹣3），A'B'→=（3，1【解题思路】由题意可知AB→=B'A'→=−A'B'→，且P【解答过程】解：由题意可知AB→=B'A'→=−A'B'→，且P设B（x，y，z），则AB所以x+1=−3y−3=−1∴点B的坐标为（﹣4，2，﹣8）．18．（6分）（2023秋•辽源期末）已知：a→=（x，4，1），b→=（﹣2，y，﹣1），c→=（3，﹣2，z），a→（1）a→，b→，（2）a→+c【解题思路】（1）由向量的平行和垂直可得关于x，y，z的关系式，解之即可得向量坐标；（2）由（1）可得向量a→+c【解答过程】解：（1）∵a→∴x−2解得x＝2，y＝﹣4，故a→=（2，4，1），b→=（﹣2，﹣又因为b→⊥c→，所以b→⋅c→=0，即﹣6+8故c→=（3，﹣2，（2）由（1）可得a→+c→=（5，2，3），b→+设向量a→+c→与则cosθ=5−12+319．（8分）（2023秋•天河区校级期中）如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为（32，12，0），点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝（1）求向量CD→（2）求AD→与BC【解题思路】（1）过D作DE⊥BC于E，则DE＝CD•sin30°=32，OE＝OB﹣BDcos60°=12，由此能求出（2）AD→与BC→的夹角的余弦值cos【解答过程】解：（1）过D作DE⊥BC于E，则DE＝CD•sin30°=3OE＝OB﹣BDcos60°＝1−1∴D的坐标为D（0，−