高考数学大题精做专题03几何体的体积求解(第三篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题03几何体的体积求解类型对应典例公式法求体积典例1等体积法求体积典例2切割法求体积典例3由体积求侧面积典例4由体积求参数的值典例5【典例1】【陕西省渭南市2020届高三上学期期末】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，△PAD为等边三角形，平面PAD丄平面PCD.(1)证明：平面PAD丄平面ABCD:(2)若AB=2，Q为线段的中点，求三棱锥Q-PCD的体积.【典例2】【2020届河北九校高三上学期第二次联考】如图，在三棱锥中，正三角形所在平面与等腰三角形所在平面互相垂直，，是中点，于.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【典例3】【2020届宁夏银川一中月考】在矩形所在平面的同一侧取两点、，使且，若，，.（1）求证：（2）取的中点，求证（3）求多面体的体积.【典例4】【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模)】如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是的中点．（1）求证：平面平面；（2）若，三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积．【典例5】【北京市丰台区2019届高三模拟】在菱形中，，为线段的中点（如图1）．将沿折起到的位置，使得平面平面，为线段的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）当四棱锥的体积为时，求的值．【针对训练】1.【湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测】如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，且，四边形是等腰梯形，且，.（1）证明：平面平面.（2）求该多面体的体积.2.【辽宁省抚顺市2020届高三模拟考试】如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．3.【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，侧棱与底面所成的角为，，，，.（1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求三棱锥的体积.4.【2020届安徽蚌埠二中期中考试】如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD，（I）证明：平面AEC⊥平面BED；（II）若∠ABC=120∘，AE⊥EC,三棱锥E−ACD的体积为5.【2020届上海市普陀区高考一模】如图所示的三棱锥的三条棱，，两两互相垂直，,点在棱上，且().（1）当时，求异面直线与所成角的大小；（2）当三棱锥的体积为时，求的值.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题03几何体的体积求解类型对应典例公式法求体积典例1等体积法求体积典例2切割法求体积典例3由体积求侧面积典例4由体积求参数的值典例5【典例1】【陕西省渭南市2020届高三上学期期末】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，△PAD为等边三角形，平面PAD丄平面PCD.(1)证明：平面PAD丄平面ABCD:(2)若AB=2，Q为线段的中点，求三棱锥Q-PCD的体积.【思路引导】（1）取的中点，连结，利用面面垂直的性质，证得平面，再由正方形的性质，证得，利用线面垂直的判定定理，得到平面，进而得到平面平面；（2）由（1）得到平面的距离，进而求得到平面的距离，利用体积公式，即可求解．【详解】（1）证明：取的中点，连结，因为为等边三角形，所以，又因为平面，平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，因为底面为正方形，所以，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）由（1）得平面，所以到平面的距离，因为底面为正方形，所以，又因为平面，平面，所以平面，所以两点到平面的距离相等，均为，又为线段的中点，所以到平面的距离，由（1）知，平面，因为平面，所以，所以．【典例2】【2020届河北九校高三上学期第二次联考】如图，在三棱锥中，正三角形所在平面与等腰三角形所在平面互相垂直，，是中点，于.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【思路引导】（1）先证明平面，得到，结合已知，证得平面.（2）将所求转化为，利用（1）的结论得到三棱锥的高为，由此计算得三棱锥的体积.解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，∴BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴BO⊥平面PAC，∴BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH＝O，∴PC⊥平面BOH；（2）∵△HAO与△HOC面积相等，∴,∵BO⊥平面PAC,∴,∵,∠HOC=30°∴,∴,∴,即.【典例3】【2020届宁夏银川一中月考】在矩形所在平面的同一侧取两点、，使且，若，，.（1）求证：（2）取的中点，求证（3）求多面体的体积.【思路引导】分析：(1)要证，即证，只需证明，；(2)连结交于点，则是的中位线，，从而得证；(3)即可求得多面体的体积.详解：(Ⅰ)四边形是矩形，，又，，，在平面内，.(Ⅱ)连结交于点，则是的中位线，，在平面内，所以.（Ⅲ）.【典例4】【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模)】如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是的中点．（1）求证：平面平面；（2）若，三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积．【思路引导】（1）由平面可得，由底面是菱形可得，从而得平面，进而可得结论；（2）设菱形的边长为，在中，利用余弦定理求得，利用勾股定理求得，由棱锥的体积公式可得，求出各侧面的面积即可得结果.【详解】（1）∵平面，平面，∴，又∵底面是菱形，∴，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（2）设菱形的边长为，∵，∴，在中，，∴，又∵平面，，，∴，∴，又，∴，∴，∴，，∵，∴.又∵平面，∴，∴四棱维的侧面积等于【典例5】【北京市丰台区2019届高三模拟】在菱形中，，为线段的中点（如图1）．将沿折起到的位置，使得平面平面，为线段的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）当四棱锥的体积为时，求的值．【思路引导】（Ⅰ）证明OD'⊥AO．推出OD'⊥平面ABCO．然后证明OD'⊥BC．（Ⅱ）取P为线段AD'的中点，连接OP，PM；证明四边形OCMP为平行四边形，然后证明CM∥平面AOD'；（Ⅲ）说明OD'是四棱锥D'﹣ABCO的高．通过体积公式求解即可．【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形中，，为线段的中点，所以．因为平面平面平面平面，平面，所以平面．因为平面，所以．（Ⅱ）证明：如图，取为线段的中点，连接OP,PM；因为在中，，分别是线段，的中点，所以，．因为是线段的中点，菱形中，，，所以．所以，．所以，．所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面．所以是四棱锥的高，又S=,因为，所以．【针对训练】1.【湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测】如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，且，四边形是等腰梯形，且，.（1）证明：平面平面.（2）求该多面体的体积.【思路引导】（1）先证平面，从而可得结论；（2）把几何体分割为两个锥体求解.【详解】（1）证明：因为底面是菱形，所以.又因为，且，所以平面.又平面，故平面平面.（2）解：梯形的高为，.多面体体积，所以.2.【辽宁省抚顺市2020届高三模拟考试】如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【思路引导】（Ⅰ）取的中点，连结，，由三角形性质得且，结合已知得到且，则四边形为平行四边形，可得，再由线面平行的判定可得平面；（Ⅱ）设为的中点，由已知得到平面，然后利用等积法求三棱锥的体积．【详解】（Ⅰ）证明：取的中点，连结，，在中，∵、分别为，的中点，∴且，又为的中点，，∴且，即且，故四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面；（Ⅱ）解：设为的中点，∵棱柱底面是正三角形，，∴有，又因为为正三角形，且为的中点，所以,又由正三棱柱，所以平面平面，由面面垂直的性质定理可得平面，即三棱锥的高为，所以．3.【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，侧棱与底面所成的角为，，，，.（1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求三棱锥的体积.【思路引导】（1）由面面垂直的性质可得，平面，由此得，结合利用线面垂直的性质定理可得平面，从而可得结果；（2）结合（1），侧棱与底面所成的角为，，利用直角三角形的性质可得，，点到平面的距离等于点到平面的距离的一半为1，结合“等积变换”，利用锥体的体积公式可得结果.【详解】（1）平面平面平面平面，平面，，又，平面，又平面，平面平面.（2）由（1）可知，平面平面，则平面，又侧棱与底面所成的角为，，，，点到平面的距离等于点到平面的距离的一半为1，则，.4.【2020届安徽蚌埠二中期中考试】如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD，（I）证明：平面AEC⊥平面BED；（II）若∠ABC=120∘，AE⊥EC,三棱锥E−ACD的体积为【思路引导】（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形知AC⊥BD，由BE⊥平面ABCD知AC⊥BE，由线面垂直判定定理知AC⊥平面BED，由面面垂直的判定定理知平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）设AB=x，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在RtΔAEC中，用x表示EG，在RtΔEBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥E−ACD的体积为63求出x，即可求出三棱锥E−ACD解：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，可得AG=GC=32x,GB=GD=x因为AE⊥EC，所以在RtΔAEC中，可得EG=32x由BE⊥平面ABCD，知ΔEBG为直角三角形，可得BE=22由已知得，三棱锥E-ACD的体积VE−ACD=1从而可得AE=EC=ED=6.所以ΔEAC的面积为3，ΔEAD的面积与ΔECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+5.【2020届上海市普陀区高考一模】如图所示的三棱