备考2025届高考数学一轮复习强化训练第二章函数第7讲函数的零点与方程的解复合函数的零点问题

复合函数的零点问题角度1推断复合函数的零点个数例6已知函数f（x）＝ex，x<0，6x3－9x2+1，x≥0，则g（x）＝2[fA.2 B.3 C.4 D.5解析由2[f（x）]2－3f（x）－2＝0，解得f（x）＝－12或f（x）＝当x≥0时，f（x）＝6x3－9x2＋1，则f'（x）＝18x2－18x＝18x（x－1）.当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0.因此函数f（x）＝6x3－9x2＋1在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，且f（0）＝1，f（1）＝－2，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，作出函数f（x）的图象，如图中的实线所示.结合图象可知，直线y＝－12，直线y＝2与f（x）的图象共有3个不同的交点所以g（x）的零点个数为3，故选B.方法技巧复合函数的零点个数问题的求解关键：一是留意视察图象特征；二是将外层函数的定义域和内层函数的值域精确对接.训练4[多选/2024云南省下关第一中学模拟]函数y＝f（x）和y＝g（x）在[－2，2]上的图象分别如图1，2所示.则以下四个说法正确的是（ACD）A.方程f（g（x））＝0有且仅有6个根B.方程g（f（x））＝0有且仅有3个根C.方程f（f（x））＝0有且仅有5个根D.方程g（g（x））＝0有且仅有4个根解析易得函数f（x）有3个零点，分别设为m1，m2，m3，令m1＜m2＜m3，则有m1∈（－2，－1），m2＝0，m3∈（1，2）.函数g（x）有2个零点，分别设为n1，n2，令n1＜n2，则有n1∈（－2，－1），n2∈（0，1）.对于A，方程f（g（x））＝0的根的个数即g（x）的图象与直线y＝m1，y＝0，y＝m3的交点个数之和，如图1，易得总共有6个交点，故A正确.对于B，方程g（f（x））＝0的根的个数即f（x）的图象与直线y＝n1，y＝n2的交点个数之和，如图2，易得总共有4个交点，故B错误. 图1 图2对于C，方程f（f（x））＝0的根的个数即f（x）的图象与直线y＝m1，y＝0，y＝m3的交点的个数之和，如图3，易得总共有5个交点，故C正确.对于D，方程g（g（x））＝0的根的个数即g（x）的图象与直线y＝n1，y＝n2的交点个数之和，如图4，易得总共有4个交点，故D正确.故选ACD. 图3 图4角度2已知复合函数零点个数求参数例7[2024广西示范性中学联考]已知函数f（x）＝2x－1，x<1，x2－6x+6，x≥1，若函数F（x）＝[f（x）]2－2af（x解析作出f（x）图象如图所示，F（x）有5个零点等价于[f（x）]2－2af（x）＋3a－1＝0有5个不等实根.设f（x）＝t，则t2－2at＋3a－1＝0有两个不等实根，∴Δ＝4a2－4（3a－1）＞0，即a＜3－52或a＞3+52.记t2－2at＋3a－1＝0的两根为t1，t2，则t1=1，0<t2<1或－3<t1≤0，0<t2<1.当t1＝1时，1－2a＋3a－1＝0，解得a＝0，此时t2＝－1，不满意0＜方法技巧已知复合函数零点个数求参数问题的解题关键：一是会转化，会把函数的零点转化为方程的根；二是会构造，通过换元法，把复合方程的根的问题转化为更简洁的方程根的问题；三是会作图，明晰“草图不草”；四是会用图，通过视察图象特征，求得参数的取值范围.训练5[2024云南大理模拟]若函数F（x）＝｜（12）｜x｜－12｜＋b|(12）｜x｜－12｜＋c有5个零点，则实数b的取值范围是（0，解析函数F（x）＝｜（12）｜x｜－12｜＋b|(12）｜x｜－12｜＋c有5个零点，等价于关于x的方程｜（12）｜x令f（x）＝｜（12）｜x｜－12｜＝t（t＞0），则有t＋bt＋c＝0，即t2＋ct＋b＝0（t＞画出f（x）＝｜（12）｜x｜－12数形结合可知，若｜（12）｜x｜－12｜＋b|(12）｜x｜－12｜＋c＝0有5个不同的根，则t2＋ct＋b＝则14＋12c＋b＝0，且－c2＜12，02＋c×0＋b＞