高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题26同角关系与诱导公式(原卷版+解析)

微专题26同角关系与诱导公式【方法技巧与总结】知识点一：同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：（2）商数关系：知识点诠释：（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；（2）是的简写；（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．知识点二：同角三角函数基本关系式的变形1、平方关系式的变形：，，2、商数关系式的变形，．知识点三：诱导公式诱导公式一：，，，其中诱导公式二：，，，其中诱导公式三：，，，其中诱导公式四：，．，，其中知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）；（2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；（4）；．知识点四：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号．用诱导公式进行化简时的注意点：（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．知识点五：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．【方法技巧与总结】（1）求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值．①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解．求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取．（2）化简题型：化简三角函数式的一般要求是：①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的．（3）证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简．化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式．证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②比较法：即证左边－右边＝0或＝1（右边）．【题型归纳目录】题型一：正弦、余弦、正切三者“知一求二”题型二：正弦、余弦齐次式的求值题型三：正弦、余弦的和、差、积三者“知一求二”题型四：三角换元求值域题型五：诱导公式之求值问题题型六：化简或证明【典型例题】题型一：正弦、余弦、正切三者“知一求二”例1．(2023·贵州·凯里一中高一期中）若，且满足，则（

）A． B． C． D．例2．(2023·贵州师大附中高二开学考试（理））已知，则cosθ的值是（

）A． B． C． D．例3．(2023·江苏·高一专题练习）已知，，则（

）A．0和 B． C． D．和0变式1．(2023·全国·高一课时练习）已知是第二象限角，，则等于（

）A． B． C． D．变式2．(2023·湖北·华中师大一附中高一阶段练习）已知是第二象限角，，则（

）A． B． C． D．变式3．(2023·安徽省舒城中学高一开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．变式4．(2023·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）若为第三象限角，且，则（

）A． B． C． D．题型二：正弦、余弦齐次式的求值例4．(2023·四川·攀枝花七中高一阶段练习）已知，则_______．例5．(2023·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末），，则的值为__________.例6．(2023·全国·高一课时练习）已知，则______.变式5．(2023·山东枣庄·高一期末）已知，则的值为___________.变式6．(2023·江苏·高一专题练习）已知，则的值是________.变式7．(2023·全国·高一专题练习）已知且，则的值为________.变式8．(2023·全国·高一专题练习）已知tanα＝，则＝__________.变式9．(2023·新疆·高一期末）若，则________.题型三：正弦、余弦的和、差、积三者“知一求二”例7．(2023·全国·高一专题练习）已知，且，则____.例8．(2023·上海南汇中学高一阶段练习）已知，则的值为_____．例9．(2023·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知，则的值为___________.变式10．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）化简：若，则____________.变式11．(2023·新疆阿勒泰·高一期末）已知为第四象限角，，则___________.变式12．(2023·云南·峨山彝族自治县第一中学高一阶段练习）已知且，则___________.变式13．(2023·全国·高一课时练习）已知，且，则______.变式14．(2023·全国·高一课前预习）已知是三角形的内角，且，则___________.变式15．(2023·全国·高一课时练习）若，则__________．题型四：三角换元求值域例10．(2023·浙江·温州中学高一期中）若实数，满足，则的最大值为______.例11．(2023·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）若，则的最大值是____________例12．(2023·新疆·巴楚县第一中学高二期中（文））若，满足，则的最大值为__________.变式16．(2023·贵州·黔西南州金成实验学校高二阶段练习（理））已知实数x，y满足方程，则的最大值为________．变式17．(2023·辽宁营口·高二期中（文））设为圆上的动点，求的最大值______.变式18．(2023·上海·复旦附中高三期中）已知，且，则的取值范围是____________.题型五：诱导公式之求值问题例13．(2023·安徽省舒城中学高一开学考试）已知α是第三象限角，且.(1)化简；(2)若，求；(3)若，求.例14．(2023·全国·高一课时练习）已知函数.(1)化简；(2)若，求的值.例15．(2023·江西上饶·高一阶段练习）在平面直角坐标系中，的顶点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上，点在第二象限，且，记，满足．(1)求点的坐标；(2)求的值．变式19．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知.(1)化简；(2)若是第四象限角，且，求的值.题型六：化简或证明例16．(2023·全国·高一课时练习）已知，．(1)证明：；(2)计算：的值．例17．(2023·全国·高一课时练习）证明：.例18．(2023·云南·丽江第一高级中学高一开学考试）（1）设，直接用任意角的三角函数的定义证明：.（2）给出两个公式：①；②.请仅以上述两个公式为已知条件证明.变式20．(2023·全国·高一课时练习）证明：，．变式21．(2023·全国·高一专题练习）已知角的终边在第三象限，，证明：．微专题26同角关系与诱导公式【方法技巧与总结】知识点一：同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：（2）商数关系：知识点诠释：（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；（2）是的简写；（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．知识点二：同角三角函数基本关系式的变形1、平方关系式的变形：，，2、商数关系式的变形，．知识点三：诱导公式诱导公式一：，，，其中诱导公式二：，，，其中诱导公式三：，，，其中诱导公式四：，．，，其中知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）；（2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；（4）；．知识点四：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号．用诱导公式进行化简时的注意点：（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．知识点五：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．【方法技巧与总结】（1）求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值．①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解．求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取．（2）化简题型：化简三角函数式的一般要求是：①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的．（3）证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简．化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式．证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②比较法：即证左边－右边＝0或＝1（右边）．【题型归纳目录】题型一：正弦、余弦、正切三者“知一求二”题型二：正弦、余弦齐次式的求值题型三：正弦、余弦的和、差、积三者“知一求二”题型四：三角换元求值域题型五：诱导公式之求值问题题型六：化简或证明【典型例题】题型一：正弦、余弦、正切三者“知一求二”例1．(2023·贵州·凯里一中高一期中）若，且满足，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由得，∴或，因为，，所以.由及得，∴，所以．故选：A例2．(2023·贵州师大附中高二开学考试（理））已知，则cosθ的值是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题设，，可得或（舍），又，则.故选：C例3．(2023·江苏·高一专题练习）已知，，则（

）A．0和 B． C． D．和0答案：B【解析】因为，所以，因为，所以，整理得，解得或，由则当时，（代入条件验证矛盾舍去），当时，，所以.故选：B变式1．(2023·全国·高一课时练习）已知是第二象限角，，则等于（

）A． B． C． D．答案：A【解析】任意角的三角函数∵，∴，，是第二象限角∴.故选：A变式2．(2023·湖北·华中师大一附中高一阶段练习）已知是第二象限角，，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为是第二象限角，所以，又，所以，因此，即，所以.故选：B.变式3．(2023·安徽省舒城中学高一开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为，且，所以，所以，故选：A变式4．(2023·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）若为第三象限角，且，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由题意，.故选：D题型二：正弦、余弦齐次式的求值例4．(2023·四川·攀枝花七中高一阶段练习）已知，则_______．答案：【解析】由得：，故，故答案为：例5．(2023·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末），，则的值为__________.答案：#0.3【解析】，故答案为：．例6．(2023·全国·高一课时练习）已知，则______.答案：【解析】因为，所以，所以.故答案为：变式5．(2023·山东枣庄·高一期末）已知，则的值为___________.答案：【解析】故答案为：变式6．(2023·江苏·高一专题练习）已知，则的值是________.答案：【解析】因，则.故答案为：变式7．(2023·全国·高一专题练习）已知且，则的值为________.答案：【解析】因为，则，由于，所以，所以两边同除以，得，因为，解得，而，故答案为：.变式8．(2023·全国·高一专题练习）已知tanα＝，则＝__________.答案：【解析】故答案为：.变式9．(2023·新疆·高一期末）若，则________.答案：【解析】因为，故答案为：.题型三：正弦、余弦的和、差、积三者“知一求二”例7．(2023·全国·高一专题练习）已知，且，则____.答案：【解析】，两边平方，可得，可得，，可得，，可得，．故答案为：.例8．(2023·上海南汇中学高一阶段练习）已知，则的值为_____．答案：【解析】因，则，即，而，，于是有，所以.故答案为：例9．(2023·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知，则的值为___________.答案：【解析】因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，由，得，所以，故答案为：变式10．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）化简：若，则____________.答案：【解析】因为，所以，，且所以原式故答案为：.变式11．(2023·新疆阿勒泰·高一期末）已知为第四象限角，，则___________.答案：【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为为第四象限角，所以，，所以；故：，故答案为：变式12．(2023·云南·峨山彝族自治县第一中学高一阶段练习）已知且，则___________.答案：【解析】由可得，即，所以，，因为，所以，可得，因为，所以，由可得，所以，故答案为：.变式13．(2023·全国·高一课时练习）已知，且，则______.答案：【解析】由得，得，得，因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，即，解得或（舍）.故答案为：变式14．(2023·全国·高一课前预习）已知是三角形的内角，且，则___________.答案：【解析】∵，两边平方可得，∴，又是三角形的内角，，∴，，∴，可得，∴，∴.故答案为：.变式15．(2023·全国·高一课时练习）若，则__________．答案：【解析】，又∵，∴.故答案为：.题型四：三角换元求值域例10．(2023·浙江·温州中学高一期中）若实数，满足，则的最大值为______.答案：【解析】因为实数，满足，令，则当时，取最大值，故答案为：.例11．(2023·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）若，则的最大值是____________答案：【解析】由，令，所以，其中，所以的最大值是.故答案为：.例12．(2023·新疆·巴楚县第一中学高二期中（文））若，满足，则的最大值为__________.答案：2【解析】由圆的参数方程为（为参数），得，故的最大值为2，当且仅当时取得.故答案为：2.变式16．(2023·贵州·黔西南州金成实验学校高二阶段练习（理））已知实数x，y满足方程，则的最大值为________．答案：【解析】由化为，设，则，则当时，取得最大值为.故答案为：.变式17．(2023·辽宁营口·高二期中（文））设为圆上的动点，求的最大值______.答案：【解析】由题得圆的参数方程为（为参数），所以，所以当时，函数取最大值.故答案为：变式18．(2023·上海·复旦附中高三期中）已知，且，则的取值范围是____________.答案：【解析】，令，，则，，，故答案为，．题型五：诱导公式之求值问题例13．(2023·安徽省舒城中学高一开学考试）已知α是第三象限角，且.(1)化简；(2)若，求；(3)若，求.【解析】（1）根据