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文档简介
9.1空间点、线、面间的位置关系一、选择题1.点A在直线l上,直线l在平面内,用符号表示,正确的是(
)A., B., C., D.,2.下列说法正确的是(
)A.三点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面C.四边形一定是平面图形 D.两条相交直线可以确定一个平面3.已知两边所在直线与两边所在直线分别平行,若,则(
)A. B.或 C. D.或4.空间中两个平面将空间分成的部分数为(
)A.2 B.3 C.4 D.3或45.在空间中,“两条直线平行”是“这两条直线没有公共点”的(
)A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要6.在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.则四边形EFGH是()A.平行四边形B.正方形C.长方形 D.菱形7.给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.48.已知直线与平面α,满足,则与的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行、异面或相交9.在正方体中,直线与所成角的大小为(
)A. B. C. D.10.空间四边形ABCD的对角线,,M,N分别为AB,CD的中点,,则异面直线AC和BD所成的角等于(
)A.30° B.60° C.90° D.120°二、填空题11.两个平面的位置关系有.12.在空间内,如果两条直线和没有公共点,那么与的位置关系是.13.一条直线与一个平面的位置关系有.14.如图,在长方体中,M,N分别是EH和FG的中点,则在三条直线AD,CD,BF中,与直线MN是异面直线的共有条.15.如图,在棱长为1的正方体中,异面直线与所成角的大小为. 16.在长方体ABCD—A1B1C1D1中,若AB=3,BC=4,AA1=2,则异面直线B1B与DC之间的距离为.17.在空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,若,,则四边形EFGH的形状是.18.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M、N分别为AB、CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=.三、解答题19.如图,已知正方体(1)哪些棱所在直线与直线是异面直线?(2)直线和和的夹角是多少?(3)哪些棱所在的直线与直线垂直?20.如图,在梯形中,,S是梯形所在平面外一点,画出平面和平面的交线.21.如图,已知A是平面外一点,满足,M,N,P,Q分别是的中点.求证:.22.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,中心为O,且底面边长和侧棱长相等,M是PC的中点,求MO与AB所成的角的大小.23.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=B1B=1,M、N分别是AD、DC的中点.(1)求证:MN//A1C1;(2)求:异面直线MN与BC1所成角的余弦值.24.在直三棱柱中,,.(1)求异面直线与所成角的大小;(2)若与平面所成角为,求三棱锥的体积.9.1空间点、线、面间的位置关系一、选择题1.点A在直线l上,直线l在平面内,用符号表示,正确的是(
)A., B., C., D.,答案:D【解析】点A在直线l上,则,l在平面内,则,故选:D.2.下列说法正确的是(
)A.三点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面C.四边形一定是平面图形 D.两条相交直线可以确定一个平面答案:D【解析】A错误,不共线的三点可以确定一个平面;B错误,一条直线和直线外一个点可以确定一个平面;C错误,四边形不一定是平面图形,比如空间四边形;D正确,两条相交直线可以确定一个平面,故选:D.3.已知两边所在直线与两边所在直线分别平行,若,则(
)A. B.或 C. D.或答案:B【解析】当的两边与的两边的方向都相同或都向相反时,;当的两边与的两边的方向是一个相同,一个相反时,,故选:B.4.空间中两个平面将空间分成的部分数为(
)A.2 B.3 C.4 D.3或4答案:D【解析】当两个平面平行时,将空间分成3部分;当两个平面相交时,将空间分成4部分,故选:D.5.在空间中,“两条直线平行”是“这两条直线没有公共点”的(
)A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要答案:A【解析】“两条直线平行”能推出“这两条直线没有公共点”,满足充分性;“两条直线没有公共点”不能推出“两条直线平行”,两条直线可能异面,不满足必要性,故“两条直线平行”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件,故选:A.6.在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.则四边形EFGH是()A.平行四边形B.正方形C.长方形 D.菱形答案:A【解析】如图,根据中位线性质可知:且,所以四边形EFGH是平行四边形.故选:A.7.给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案:D【解析】因为(1)垂直于同一直线的两条直线互相平行,不成立;(2)垂直于同一平面的两条平面互相平行,不一定可能相交;(3)若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行,可能相交;(4)若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线,不一定,故选D.8.已知直线与平面α,满足,则与的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行、异面或相交答案:D【解析】如图,在长方体中,,a与b相交,b′α,则a与b′异面,b″α,则a与b″平行,故a与b的位置关系有:平行、异面或相交,故选:D9.在正方体中,直线与所成角的大小为(
)A. B. C. D.答案:B【解析】画出图象如下图所示,根据正方体的性质可知,所以是直线与所成角,由于三角形是等边三角形,所以,即直线与所成角的大小为,故选:B.10.空间四边形ABCD的对角线,,M,N分别为AB,CD的中点,,则异面直线AC和BD所成的角等于(
)A.30° B.60° C.90° D.120°答案:B【解析】取BC的中点P,连接MP,NP,则且,且,故或其补角即为异面直线AC和BD所成的角,由余弦定理可知,,而为三角形内角,故,故异面直线AC和BD所成的角为,故选:B.二、填空题11.两个平面的位置关系有.答案:相交和平行【解析】两个平面的位置关系有相交和平行两种,故答案为:相交和平行.12.在空间内,如果两条直线和没有公共点,那么与的位置关系是.答案:异面或平行【解析】如果两条直线和没有公共点,那么与的位置关系是异面或平行,故答案为:异面或平行.13.一条直线与一个平面的位置关系有.答案:直线在平面上,直线与平面相交,直线与平面平行【解析】一条直线与一个平面的位置关系有:直线在平面上,直线与平面相交,直线与平面平行,故答案为:直线在平面上,直线与平面相交,直线与平面平行.14.如图,在长方体中,M,N分别是EH和FG的中点,则在三条直线AD,CD,BF中,与直线MN是异面直线的共有条.答案:2【解析】因为MN//CD,MN与CD共面,由异面直线的判定定理可得:直线AD,BF均与MN异面,故答案为:2.15.如图,在棱长为1的正方体中,异面直线与所成角的大小为. 答案:【解析】连接,由正方体的结构特征知:,∴与所成角即为异面直线与所成角,又△为等边三角形,∴与所成角,即异面直线与所成角为,故答案为:.16.在长方体ABCD—A1B1C1D1中,若AB=3,BC=4,AA1=2,则异面直线B1B与DC之间的距离为.答案:4【解析】由长方体的性质可得是异面直线B1B与DC的公垂线,所以异面直线B1B与DC之间的距离为BC=4,故答案为:4.17.在空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,若,,则四边形EFGH的形状是.答案:正方形【解析】因为、、、分别是、、、的中点,所以,且,所以四边形为平行四边形,同理且,所以四边形为菱形,又因为,,,所以,所以四边形为正方形,故答案为:正方形.18.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M、N分别为AB、CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=.答案:5【解析】取AD的中点P,连接PM,PN,则BD∥PM,AC∥PN,∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角,∴∠MPN=90°,PN=AC=4,PM=BD=3,∴MN=5,故答案为:5.三、解答题19.如图,已知正方体(1)哪些棱所在直线与直线是异面直线?(2)直线和和的夹角是多少?(3)哪些棱所在的直线与直线垂直?答案:(1)棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线;(2)45°;(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.【解析】解:(1)由异面直线的定义可知,棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线;(2)由BB′∥CC′可知,∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角,∠B′BA′=45°,所以直线BA′和CC′的夹角为45°;(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.20.如图,在梯形中,,S是梯形所在平面外一点,画出平面和平面的交线.答案:作图见解析【解析】解:分别延长和,记,连接,则即为所求的交线.21.如图,已知A是平面外一点,满足,M,N,P,Q分别是的中点.求证:.答案:证明见解析【解析】证明:在中,因为Q是的中点,M是的中点,所以且,同理且,所以,从面四边形是平行四边形,又因为,所以,于是平行四边形是菱形,所以.22.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,中心为O,且底面边长和侧棱长相等,M是PC的中点,求MO与AB所成的角的大小.答案:【解析】解:连接交于,由于分别是的中点,故,故即直线与直线所成的角,由于四棱锥底面边长和侧棱长相等,故三角形是等边三角形,所以,故填:.23在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=B1B=1,M、N分别是AD、DC的中点.(1)求证:MN//A1C1;(2)求:异面直线MN与BC1所成角的余弦值.答案:(1)证明见解析;(2).【
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