高考数学微专题集专题17椭圆与双曲线共焦点问题微点4椭圆与双曲线共焦点综合训练(原卷版+解析)

专题17椭圆与双曲线共焦点问题微点4椭圆与双曲线共焦点综合训练专题17椭圆与双曲线共焦点问题微点4椭圆与双曲线共焦点综合训练一、单选题1．已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（

）A． B．C． D．(2023浙江·高二期中）2．如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（

）A． B． C． D．3．已知为椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，点M是它们的一个公共点，且，分别为，的离心率，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．34．双曲线与椭圆有两个公共焦点，，其中在轴左侧且该双曲线与直线相切，则的值是（

）A． B． C． D．15．设，为椭圆与双曲线的公共焦点，，分别为左､右焦点，与在第一象限的交点为.若是以线段为底边的等腰三角形，且双曲线的离心率，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．(2023·浙江·舟山中学高三月考）6．设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题(2023江苏·高二单元测试）7．已知椭圆C：与双曲线：共焦点，过椭圆C上一点P的切线l与x轴、y轴分别交于A，B两点为椭圆C的两个焦点又O为坐标原点，当的面积最小时，下列说法正确的是（

）A．B．C．直线OP的斜率与切线l的斜率之积为定值D．的平分线长为(2023江苏·泰州中学高二月考）8．已知双曲线：与椭圆有公共焦点，的左､右焦点分别为，，且经过点，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的标准方程为B．若直线与双曲线无交点，则C．设，过点的动直线与双曲线交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率存在，且分别记为，，则D．若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，，则（为坐标原点）的面积为定值1三、填空题(2023·辽宁·建平县实验中学高二期末）9．已知椭圆：（）和双曲线：（，）有共同的焦点，，P是它们在第一象限的交点，当时，与的离心率互为倒数，则椭圆的离心率是___________.(2023全国·高三月考）10．设椭圆与双曲线的公共焦点为，将的离心率记为，点A是在第一象限的公共点，若点A关于的一条渐近线的对称点为，则________．（2023·江苏·南京市秦淮中学高二期末）11．已知点，为椭圆（）和双曲线（，）的公共焦点，点P为两曲线的一个交点，且满足，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，则___________．(2023·云南·会泽县实验高级中学校高二月考）12．已知椭圆和双曲线有公共的焦点､，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是___________.(2023全国·高二单元测试）13．椭圆与双曲线有相同的左、右焦点分别为，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且两曲线在第一象限的公共点满足，则的值为_____．(2023北京交通大学附属中学高二期末）14．已知、为椭圆和双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，那么椭圆和双曲线的离心率之积为_____________.15．已知椭圆：()与双曲线：(，)有相同的焦点，，其中为左焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，，分别为曲线，的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为________.16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是与的一个公共点，是一个以为底的等腰三角形，，的离心率为，则的离心率是______．17．设是椭圆与双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线的渐近线的方程是_______(2023·安徽省舒城中学高二月考）18．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为，且，则的取值范围为_________．(2023·安徽省临泉第一中学高二月考）19．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则的取值范围是___________.(2023江苏·南京市人民中学高二月考）20．如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是________．(2023·河南洛阳·模拟预测）21．已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．(2023·陕西·交大附中模拟预测）22．如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之积为_____.(2023·吉林长春·模拟预测）23．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为__________．(2023·浙江嘉兴·高二期末）24．已知椭圆，双曲线与椭圆共焦点，且与椭圆在四个象限的交点分别为，则四边形面积的最大值是___________.(2023·吉林·希望高中高二期末）25．椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，，则的取值范围是___________.26．已知，分别是具有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率，点是两曲线的一个公共点，是的中点，且，则______．四、双空题(2023重庆市江津中学校高二期中）27．已知椭圆与双曲线x2－＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则＝________，若P为两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________．28．已知椭圆与双曲线的公共焦点为左焦点，右焦点，点是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则________，的值为________．五、解答题29．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且两曲线的一个公共点P满足：是直角三角形且，求双曲线的标准方程．30．已知双曲线的方程为，椭圆与双曲线有相同的焦距，，是椭圆的上、下两个焦点，已知为椭圆上一点，且满足，若的面积为9.（1）求椭圆的标准方程；（2）点为椭圆的上顶点，点是双曲线右支上任意一点，点是线段的中点，求点的轨迹方程.(2023·上海市实验学校模拟预测）31．（1）设椭圆与双曲线有相同的焦点、，是椭圆与双曲线的公共点，且△的周长为6，求椭圆的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”；（2）如图，已知“盾圆”的方程为，设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值；（3）由抛物线弧（）与第（1）小题椭圆弧（）所合成的封闭曲线为“盾圆”，设过点的直线与“盾圆”交于、两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围.(2023·福建泉州·高二期中）32．平面直角坐标系中，椭圆C与双曲线共焦点，点A，B是C上不关于长轴对称的两点，且的最大值为8．(1)求C的方程；(2)若A，B到点的距离相等，求m的取值范围．专题17椭圆与双曲线共焦点问题微点4椭圆与双曲线共焦点综合训练专题17椭圆与双曲线共焦点问题微点4椭圆与双曲线共焦点综合训练一、单选题1．已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（

）A． B．C． D．(2023浙江·高二期中）2．如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（

）A． B． C． D．3．已知为椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，点M是它们的一个公共点，且，分别为，的离心率，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．34．双曲线与椭圆有两个公共焦点，，其中在轴左侧且该双曲线与直线相切，则的值是（

）A． B． C． D．15．设，为椭圆与双曲线的公共焦点，，分别为左､右焦点，与在第一象限的交点为.若是以线段为底边的等腰三角形，且双曲线的离心率，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．(2023·浙江·舟山中学高三月考）6．设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题(2023江苏·高二单元测试）7．已知椭圆C：与双曲线：共焦点，过椭圆C上一点P的切线l与x轴、y轴分别交于A，B两点为椭圆C的两个焦点又O为坐标原点，当的面积最小时，下列说法正确的是（

）A．B．C．直线OP的斜率与切线l的斜率之积为定值D．的平分线长为(2023江苏·泰州中学高二月考）8．已知双曲线：与椭圆有公共焦点，的左､右焦点分别为，，且经过点，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的标准方程为B．若直线与双曲线无交点，则C．设，过点的动直线与双曲线交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率存在，且分别记为，，则D．若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，，则（为坐标原点）的面积为定值1三、填空题(2023·辽宁·建平县实验中学高二期末）9．已知椭圆：（）和双曲线：（，）有共同的焦点，，P是它们在第一象限的交点，当时，与的离心率互为倒数，则椭圆的离心率是___________.(2023全国·高三月考）10．设椭圆与双曲线的公共焦点为，将的离心率记为，点A是在第一象限的公共点，若点A关于的一条渐近线的对称点为，则________．（2023·江苏·南京市秦淮中学高二期末）11．已知点，为椭圆（）和双曲线（，）的公共焦点，点P为两曲线的一个交点，且满足，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，则___________．(2023·云南·会泽县实验高级中学校高二月考）12．已知椭圆和双曲线有公共的焦点､，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是___________.(2023全国·高二单元测试）13．椭圆与双曲线有相同的左、右焦点分别为，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且两曲线在第一象限的公共点满足，则的值为_____．(2023北京交通大学附属中学高二期末）14．已知、为椭圆和双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，那么椭圆和双曲线的离心率之积为_____________.15．已知椭圆：()与双曲线：(，)有相同的焦点，，其中为左焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，，分别为曲线，的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为________.16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是与的一个公共点，是一个以为底的等腰三角形，，的离心率为，则的离心率是______．17．设是椭圆与双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线的渐近线的方程是_______(2023·安徽省舒城中学高二月考）18．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为，且，则的取值范围为_________．(2023·安徽省临泉第一中学高二月考）19．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则的取值范围是___________.(2023江苏·南京市人民中学高二月考）20．如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是________．(2023·河南洛阳·模拟预测）21．已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．(2023·陕西·交大附中模拟预测）22．如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之积为_____.(2023·吉林长春·模拟预测）23．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为__________．(2023·浙江嘉兴·高二期末）24．已知椭圆，双曲线与椭圆共焦点，且与椭圆在四个象限的交点分别为，则四边形面积的最大值是___________.(2023·吉林·希望高中高二期末）25．椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，，则的取值范围是___________.26．已知，分别是具有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率，点是两曲线的一个公共点，是的中点，且，则______．四、双空题(2023重庆市江津中学校高二期中）27．已知椭圆与双曲线x2－＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则＝________，若P为两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________．28．已知椭圆与双曲线的公共焦点为左焦点，右焦点，点是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则________，的值为________．五、解答题29．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且两曲线的一个公共点P满足：是直角三角形且，求双曲线的标准方程．30．已知双曲线的方程为，椭圆与双曲线有相同的焦距，，是椭圆的上、下两个焦点，已知为椭圆上一点，且满足，若的面积为9.（1）求椭圆的标准方程；（2）点为椭圆的上顶点，点是双曲线右支上任意一点，点是线段的中点，求点的轨迹方程.(2023·上海市实验学校模拟预测）31．（1）设椭圆与双曲线有相同的焦点、，是椭圆与双曲线的公共点，且△的周长为6，求椭圆的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”；（2）如图，已知“盾圆”的方程为，设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值；（3）由抛物线弧（）与第（1）小题椭圆弧（）所合成的封闭曲线为“盾圆”，设过点的直线与“盾圆”交于、两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围.(2023·福建泉州·高二期中）32．平面直角坐标系中，椭圆C与双曲线共焦点，点A，B是C上不关于长轴对称的两点，且的最大值为8．(1)求C的方程；(2)若A，B到点的距离相等，求m的取值范围．参考答案：1．B分析：由椭圆方程求得，结合双曲线渐近线方程得的值，从而写出双曲线的方程.【详解】由双曲线：（，）的一条渐近线方程为，可得.椭圆的焦点为，可得.双曲线中，即，解得，，则双曲线的方程为.故选：B2．D分析：设，利用椭圆的定义及四边形为矩形，列出方程组求得的值，结合双曲线的定义和离心率的计算公式，即可求解.【详解】设，由点为椭圆上的点，可得且，即，又由四边形为矩形，所以，即，联立方程组，解得，设双曲线的实轴长为，焦距为，则，，即，所以双曲线的离心率为.故选：D.3．A分析：设椭圆、双曲线的共同半焦距为c，利用椭圆、双曲线定义及余弦定理建立关系，再借助均值不等式计算作答.【详解】设椭圆、双曲线的共同半焦距为c，由椭圆、双曲线对称性不妨令点M在第一象限，由椭圆、双曲线定义知：，且，则有，，在中，由余弦定理得：，即，整理得：，于是得，当且仅当，即时取“=”，从而有，所以的最小值为.故选：A4．D分析：利用公共焦点得到，再运用双曲线与直线相切得到，两式联解得解.【详解】因为双曲线与椭圆有两个公共焦点，，，，又双曲线与直线相切，化简得：，，把代入方程化简得，，解得(舍负).故选：D.5．C分析：根据双曲线和椭圆的定义建立半焦距与长半轴长和实半轴长的关系，再利用双曲线的离心率范围可得椭圆离心率范围．【详解】设椭圆长轴长为2，双曲线实轴长为，焦点为，，则，又，所以，即，又，所以椭圆的离心率为．故选：C．6．A分析：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，利用椭圆和双曲线的定义可得出，再利用勾股定理可求得结果.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，由椭圆和双曲线的定义可得，所以，，设，因为，则，由勾股定理得，即，整理得，故.故选：A.7．ABC分析：对于A，B，C利用椭圆，双曲线的性质以及基本不等式和平面向量的基础知识比较容易判断，对于D，需要根据椭圆定义，判断的特征，利用正弦定理完成求解．【详解】椭圆C：与双曲线：共焦点，.，故A正确；这时，是椭圆C：上一点，设，，则，椭圆C上一点P的切线l的方程为，，，

，，当且仅当时，取得最小值．这时，，对于B，，，，故B正确；对于C，直线OP的斜率，切线l的斜率，，故C正确；对于D，不妨设P在第一象限，则，这时，在中，由，知，．设的平分线交于点Q，则，在中，由正弦定理得，．故D错误．故选：ABC8．ACD分析：对A，根据椭圆与双曲线共焦点及双曲线过点T建立方程组解出a,b，进而得到答案；对B，结合双曲线的渐近线即可判断B；对C，设出动直线方程并代入双曲线方程，进而结合根与系数的关系求得答案；对D，考虑动直线斜率存在和不存在两种情况，若斜率存在，设出直线的斜截式，并代入双曲线方程，根据判别式为0得到间的关系，然后解出点M的坐标，求出和O到直线的距离，最后求出面积.【详解】对于A选项，由题意，且，联立解得，所以双曲线的标准方程为，故A正确；对于B选项，因为双曲线的渐近线方程为，所以直线与双曲线无交点，则，故B错误；对于C选项，过点的动直线斜率存在且不为0，故设该动直线为.设，，联立得，所以解得且且，，，则，故C正确；对于选项D，由于动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，，当直线的斜率不存在时，：，，；当动直线的斜率存在时，且斜率时，不妨设直线：，故由，从而，化简得.又因为双曲线的渐近线方程为，故由从而点.同理可得，，所以，又因为原点到直线：的距离，所以，又由，所以，故的面积为定值1，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题的选项D比较复杂，对于此类问题要注意两个方面：①设直线方程（斜截式结构简单）时一定要考虑直线的斜率是否存在；②思路一定要直接，既然求三角形的面积，那么最直接的方法就是求出三角形的底和高.9．分析：先根据椭圆定义和双曲线定义，在中利用余弦定理，再结合椭圆和双曲线的离心率关系，可解得椭圆的离心率为【详解】设，的离心率分别为，，焦距为由，，可得：，由余弦定理，可得：即有：化简，得，两边同除以，可得：又，则有：又，则有：故答案为：10．2分析：由双曲线以及椭圆的定义可得，由曲线的一条渐近线是线段的中垂线可知，由勾股定理化简可得，由离心率概念可得结果.【详解】由题意可得焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，则由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得，所以，因为点A关于的一条渐近线的对称点为，所以双曲线的一条渐近线是线段的中垂线，所以，所以，所以，即，所以，所以，故答案为：2.【点睛】关键点点睛：通过点A关于的一条渐近线的对称点为，得到.11．2【解析】先结合椭圆及双曲线的定义可得，再结合离心率公式求解即可.【详解】解：设P为双曲线右支上的任意一点，点，分别为左、右交点，由椭圆定义有，由双曲线定义有，则，即，又，则，即，所以，即2，故答案为：2.【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义，重点考查了离心率的求法，属中档题.12．分析：设，由椭圆、双曲线的定义可得，，由余弦定理可建立方程，转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.【详解】设椭圆，双曲线：，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率，双曲线离心率，，如图，由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，联立可得，，由余弦定理可得：即，解得，因为，所以，，可得，故，故答案为：13．2分析：P为双曲线和椭圆的公共点，既满足双曲线定义，也满足椭圆定义，在焦点三角形中，椭圆的离心率，双曲线的离心率，再结合即可解答﹒【详解】椭圆与双曲线有相同的左、右焦点分别为，，且两曲线在第一象限的公共点满足，可设，椭圆的离心率，双曲线的离心率，．故答案为：2．14．【解析】本题首先可通过椭圆与双曲线共焦点得出，然后设，依次代入椭圆与双曲线方程中，得出以及，即，最后联立，求出、以及椭圆与双曲线的离心率，即可得出结果.【详解】因为、为椭圆和双曲线的公共焦点，所以，因为为它们的一个公共点，且，所以可设，则，，，，，，即，联立，解得，，则椭圆，双曲线，，故，，，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查通过椭圆与双曲线共焦点求离心率，能否根据求出是解决本题的关键，椭圆中有，双曲线中有，考查计算能力，是中档题.15．分析：结合已知条件，利用椭圆和双曲线的定义求出，和之间的关系式，然后结合离心率的定义用和表示出，再利用即可求解.【详解】由是以为底边的等腰三角形，即，根据椭圆的定义可得，根据双曲线的定义可得，联立方程组，可得，所以，易知，则，所以，即，所以的取值范围是.故答案为:.16．3分析：设椭圆的长轴为，双曲线的实轴为，，由椭圆的离心率结合题意可得，再由双曲线的离心率公式即可得解.【详解】设椭圆的长轴为，双曲线的实轴为，，由题意椭圆的离心率，又是一个以为底的等腰三角形，，，解得，双曲线的离心率.故答案为：.【点睛】本题考查了椭圆性质、双曲线性质的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.17．【解析】根据题意，设焦距为，P为第二象限的点，由已知条件结合椭圆与双曲线的定义推出，运用离心率公式和基本不等式求出离心率之积的最小值，及取得最值的条件，可得，进而求得渐近线的方程.【详解】由椭圆与双曲线的对称性，可设P为第二象限的点，如图所示，根据题意，椭圆的长轴长为，双曲线的长轴长为，设焦距为由椭圆定义知，；由双曲线定义知，联立可知：，又，由余弦定理可得：即，化简得：，即又椭圆的离心率，双曲线的离心率，则，当且仅当，即时，等号成立，即两条曲线的离心率之积最小.由，得，又，可知，即故双曲线的渐近线方程：故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查椭圆和双曲线的定义与性质，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．18．分析：根据题意得到等量关系，结合余弦定理得到，，利用求出，进而得到.【详解】由题意得：，，，，解得：，，由余弦定理得：，解得：，因为，解得：，，因为，即，解得：，故故答案为：19．分析：设，则由椭圆和双曲线的定义结合余弦定理可得，设，则可得，然后根据正弦函数的性质可得其范围【详解】解：设，由椭圆的定义得①，由双曲线的定义得②，①②得，，①②得，，由余弦定理可得，所以③，设，则，解得所以，当时，最大值为时，的值为2，所以的取值范围是.故答案为：20．【解析】利用双曲线与椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出．【详解】由双曲线可得，，，……①，椭圆中，……②，由①②得，又，，即，所以椭圆的离心率为.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线与椭圆的定义及其离心率计算公式，属于基础题．21．分析：根据直线与的一条渐近线平行，得到，再结合双曲线与椭圆共焦点得到，再利用基本不等式求解.【详解】解：设的半焦距为c（），则，又，所以，又直线与的一条渐近线平行，所以，所以，所以，所以，所以，又，当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为．故答案为：22．2分析：根据已知条件结合椭圆的对称性可求出，，再根据椭圆和双曲线的定义以及离心率公式求出离心率即可求解.【详解】解：连接，根据椭圆的对称性可知：点是的中点，所以，四边形为平行四边形，若，所以，因为，所以，所以是等边三角形，所以，，，所以，四边形为矩形，所以，在直角三角形中，，所以，，在椭圆中，，可得在双曲线中，，可得所以离心率之积，故答案为：.23．分析：先利用椭圆和双曲线的定义得到，，再根据两曲线的交点与两焦点共圆，利用勾股定理求解.【详解】不妨设焦点，在x轴上，两者在第一象限的公共点为P，设的实半轴长为a，则的长半轴长为3a，半焦距为c，设，，则，由题意知：P在为直径的圆上，所以，解得：．故答案为：24．分析：设双曲线和椭圆在第一象限得交点为，根据对称性易得四边形是矩形且面积为，只需联立双曲线和椭圆，求出交点表达式即可.【详解】依题意得，双曲线的焦点是，设双曲线方程为，且，不妨设在第一象限，根据对称性易得四边形是矩形，且面积为：，联立，解得，注意到，化简得，于是，所以四边形面积为，又，取等号，则四边形面积最大值为.故答案为：.25．分析：根据椭圆和双曲线得定义求得，再根据，可得，从而有，求出的范围，根据，结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：设，则有，所以，即，又因为，所以，所以，即，则，由，得，所以，所以，则，由，得，因为，当且仅当，即时，取等号，因为，所以，所以，即，所以的取值范围是.故答案为：.26．分析：连接，．设，，在中，，得到，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，焦距为，由求解.【详解】如图所示：连接，．设，，∵在中，，∴．记椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，焦距为，则，∴，∴，∴．故答案为：27．

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3【解析】分别求得两个曲线的，根据焦点相同，可得m＋n＝3，求得的表达式，代入m＋n＝3即可求得结果，利用椭圆和双曲线定义，可求得|PF1|，|PF2|的值，即可得答案.【详解】根据题意：对于椭圆，对于双曲线，因为两曲线有相同的焦点，所以4－m＝1＋n，即m＋n＝3，则.不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，则，解得所以|PF1|·|PF2|＝3，故答案为：0，3.28．

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分析：根据椭圆与双曲线的定义以及焦点三角形的性质直接求解.【详解】因为，分别为左、右焦点，点在第一象限，由椭圆与双曲线的定义可得，解得,