新高考高中数学核心知识点全透视专题4.3对数与对数函数(精讲精析篇)(原卷版+解析)

专题4.3对数与对数函数（精讲精析篇）一、核心素养1.对数的运算性质与对数的换底公式相结合考查对数的运算，凸显数学运算的核心素养．2．与不等式等问题相结合考查对数函数的图象及其应用，凸显直观想象、数学运算的核心素养．3．与不等式等问题相结合考查对数函数的单调性、值域等性质，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．二、考试要求(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数.三、主干知识梳理1．对数概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaNloga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N运算法则loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)2．对数函数的图象与性质y＝logaxa>10<a<1图象性质定义域为(0，＋∞)值域为R过定点(1,0)，即x＝eq\a\vs4\al(1)时，y＝eq\a\vs4\al(0)当x>1时，y>0；当x>1时，y<0；当0<x<1时，y<0当0<x<1时，y>0在区间(0，＋∞)上是增函数在区间(0，＋∞)上是减函数3．底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c<d<1<a<b.在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)4．反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．二、真题展示1.（2023·天津高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．2.（2023·山东高考真题）已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（）A． B． C． D．考点01对数的概念与性质

【典例1】（2023·天津高考真题）若，则（）A． B． C．1 D．【典例2】则，.【典例3】对数式log(a－2)(5－a)＝b中，实数a的取值范围是()A．(－∞，5) B．(2,5)C．(2，＋∞) D．(2,3)∪(3,5)【错解】A由题意，得5－a>0，∴a<5.【易错提醒】对数的底数和真数都有范围限制，不能只考虑真数范围而忽视底数的范围．【总结提升】1.对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝logaN.2.对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．3.运用对数恒等式时注意事项(1)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．考点02对数的化简、求值

【典例4】（2023·上海高三专题练习）已知，则的值为（）A． B．4 C．1 D．4或1【典例5】（2023·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））下列运算正确的是（）A． B．C． D．【规律方法】1.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．2.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．3．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．4．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．考点03对数函数的图象及应用【典例6】（2023·上海高一课时练习）函数与函数在同一坐标系的图像只可能是（）A． B．C． D．【典例7】（2023·北京高三二模）已知函数f（x）=logax+b的图象如图所示，那么函数g（x）=ax+b的图象可能为()A． B．C． D．【典例8】（2023·江西高三高考模拟（文））已知函数，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【总结提升】的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线的右侧，时，底大图低（靠近轴）；时，底大图高（靠近轴）．（2）左右比较（比较图象与的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.【特别提醒】对于对数概念要注意以下两点：(1)在函数的定义中，a>0且a≠1.(2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须为x，底数a必须是大于0且不等于1的常数．考点04对数函数的性质及应用1.对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．(1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，logax<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．2.比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0,-1等中间量进行比较．3.解对数不等式的类型及方法（1）形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．（2）形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．【典例9】（2023·天津高考真题（文））已知，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【典例10】（2023·河北新乐市第一中学高二月考）函数的单调递增区间是________．【典例11】（2023·上海高三专题练习）函数的定义域为．【易错提醒】利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．考点05对数函数、指数函数图象和性质的综合运用1.对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称．2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).函数单调性y＝f(μ)增函数增函数减函数减函数μ＝g(x)增函数减函数增函数减函数y＝f[g(x)]增函数减函数减函数增函数【典例12】（2023·浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）A. B.C. D.【典例13】满足，且在单调递减，若，，，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．【典例14】（2023·全国高考真题（理））已知是奇函数，且当时，.若，则__________.【典例15】（2023·山东高考真题）已知函数（且）在区间上的最大值是16，（1）求实数的值；（2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围．【易错提醒】解答对数函数型问题，易忽视函数的定义域而导致错误.【总结提升】(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验．(2)用定义证明形如y＝logaf(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．1.（2023·宾县第二中学高二期末（文））已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.（2023·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是()A. B.y= C. D.3．（2023·湖南高考真题）函数的定义域为（）A． B． C． D．4．(2023·全国高考真题（文））下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是()A． B． C． D．5．（2023·内蒙古自治区高三二模（文））已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（）A． B．C． D．6．（2023·上海市进才中学高三月考）函数的定义域是________．7.（2023·上海高三）若函数（且）有最大值，则的取值范围是___________.8．（2023·全国高一课时练习）已知g(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)在(－1,0)上有g(x)>0，则f(x)＝ax在R上的单调性为_______．9．(2023·全国高三专题练习）化简：＝________．10．（2023·河北张家口·高一期末）已知函数.（1）若在上单调递减，则实数的取值范围是___________；（2）若的值域是，则实数的取值范围是___________.专题4.3对数与对数函数（精讲精析篇）一、核心素养1.对数的运算性质与对数的换底公式相结合考查对数的运算，凸显数学运算的核心素养．2．与不等式等问题相结合考查对数函数的图象及其应用，凸显直观想象、数学运算的核心素养．3．与不等式等问题相结合考查对数函数的单调性、值域等性质，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．二、考试要求(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数.三、主干知识梳理1．对数概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaNloga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N运算法则loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)2．对数函数的图象与性质y＝logaxa>10<a<1图象性质定义域为(0，＋∞)值域为R过定点(1,0)，即x＝eq\a\vs4\al(1)时，y＝eq\a\vs4\al(0)当x>1时，y>0；当x>1时，y<0；当0<x<1时，y<0当0<x<1时，y>0在区间(0，＋∞)上是增函数在区间(0，＋∞)上是减函数3．底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c<d<1<a<b.在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)4．反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．二、真题展示1.（2023·天津高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．答案：D分析：根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.【详解】，，，，，，.故选：D.2.（2023·山东高考真题）已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（）A． B． C． D．答案：D分析：根据在函数的图象上代入可得，再利用向量的模长公式求解即可.【详解】∵点在函数的图象上，∴，，∴点坐标为，，．故选：D考点01对数的概念与性质

【典例1】（2023·天津高考真题）若，则（）A． B． C．1 D．答案：C分析：由已知表示出，再由换底公式可求.【详解】，，.故选：C.【典例2】则，.答案：4，2.【解析】设，因为，因此【典例3】对数式log(a－2)(5－a)＝b中，实数a的取值范围是()A．(－∞，5) B．(2,5)C．(2，＋∞) D．(2,3)∪(3,5)【错解】A由题意，得5－a>0，∴a<5.答案：D【解析】由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－a>0，,a－2>0，,a－2≠1，))∴2<a<3或3<a<5.故选D.【易错提醒】对数的底数和真数都有范围限制，不能只考虑真数范围而忽视底数的范围．【总结提升】1.对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝logaN.2.对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．3.运用对数恒等式时注意事项(1)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．考点02对数的化简、求值

【典例4】（2023·上海高三专题练习）已知，则的值为（）A． B．4 C．1 D．4或1答案：B【解析】因为，所以，，,解得=1（舍去），=4，故选B.【典例5】（2023·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））下列运算正确的是（）A． B．C． D．答案：D分析：根据对数的运算性质逐一计算各选项即可得出答案.【详解】解：对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D.【规律方法】1.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．2.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．3．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．4．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．考点03对数函数的图象及应用【典例6】（2023·上海高一课时练习）函数与函数在同一坐标系的图像只可能是（）A． B．C． D．答案：C【解析】当时，对数函数为增函数，当时函数的值为负.无满足条件的图像.当时，对数函数为减函数，当时函数的值为正.C满足.故选：C【典例7】（2023·北京高三二模）已知函数f（x）=logax+b的图象如图所示，那么函数g（x）=ax+b的图象可能为()A． B．C． D．答案：D【解析】结合已知函数的图象可知，,，则递增，且，故符合题意.故选：D.【典例8】（2023·江西高三高考模拟（文））已知函数，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．答案：A【解析】由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式即，即，观察函数图像可得实数的取值范围是.故选：A.【总结提升】的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线的右侧，时，底大图低（靠近轴）；时，底大图高（靠近轴）．（2）左右比较（比较图象与的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.【特别提醒】对于对数概念要注意以下两点：(1)在函数的定义中，a>0且a≠1.(2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须为x，底数a必须是大于0且不等于1的常数．考点04对数函数的性质及应用1.对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．(1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，logax<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．2.比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0,-1等中间量进行比较．3.解对数不等式的类型及方法（1）形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．（2）形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．【典例9】（2023·天津高考真题（文））已知，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.答案：A【解析】；；.故.故选A.【典例10】（2023·河北新乐市第一中学高二月考）函数的单调递增区间是________．答案：或【解析】由题意，令，由，解得，即函数的定义域为又根据二次函数的图象与性质可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，又由函数为单调递减函数，根据复合函数同增异减可得，函数的单调递增区间为.故答案为：或【典例11】（2023·上海高三专题练习）函数的定义域为．答案：【解析】由题意可知，解得．【易错提醒】利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．考点05对数函数、指数函数图象和性质的综合运用1.对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称．2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).函数单调性y＝f(μ)增函数增函数减函数减函数μ＝g(x)增函数减函数增函数减函数y＝f[g(x)]增函数减函数减函数增函数【典例12】（2023·浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）A. B.C. D.答案：D【解析】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【典例13】满足，且在单调递减，若，，，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．答案：C【解析】为偶函数.，，.在单调递减，，即.故选：.【典例14】（2023·全国高考真题（理））已知是奇函数，且当时，.若，则__________.答案：-3【解析】因为是奇函数，且当时，．又因为，，所以，两边取以为底的对数得，所以，即．【典例15】（2023·山东高考真题）已知函数（且）在区间上的最大值是16，（1）求实数的值；（2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围．答案：（1）；（2）．分析：（1）当时，由函数在区间上是减函数求解；，当时，函数在区间上是增函数求解；（2）根据的定义域是，由恒成立求解．【详解】（1）当时，函数在区间上是减函数，因此当时，函数取得最大值16，即，因此．当时，函数在区间上是增函数，当时，函数取得最大值16，即，因此．（2）因为的定义域是，即恒成立．则方程的判别式，即，解得，又因为或，因此．代入不等式得，即，解得，因此实数的取值范围是．【易错提醒】解答对数函数型问题，易忽视函数的定义域而导致错误.【总结提升】(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验．(2)用定义证明形如y＝logaf(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．1.（2023·宾县第二中学高二期末（文））已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A【解析】∵∴∵∴∵是的充分不必要条件∴是的充分不必要条件故选A2.（2023·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是()A. B.y= C. D.答案：A【解析】函数，在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，故选A.3．（2023·湖南高考真题）函数的定义域为（）A． B． C． D．答案：B分析：根据对数函数的真数大于即可求解.【详解】由题意可得：，解得：，所以函数的定义域为，故选：B.4．(2023·全国高考真题（文））下列函数中，