高考数学微专题集专题10焦半径公式的应用微点2焦半径公式的应用综合训练(原卷版+解析)

专题10焦半径公式的应用微点2焦半径公式的应用综合训练专题10焦半径公式的应用微点2焦半径公式的应用综合训练一、单选题1．过抛物线(>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于A．2 B． C． D．2．已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．3．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（

）A．， B．， C．， D．，4．已知点P是双曲线上的动点，，是左、右焦点，O是坐标原点，若的最大值为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．25．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为（

）A．32 B．16 C．24 D．86．过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值为A． B． C．1 D．二、多选题(2023·福建·闽侯县第一中学高二阶段练习）7．已知双曲线，则（

）A．双曲线C的离心率等于焦半径的长B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2D．直线与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2（2023·湖北·武汉市新洲区城关高级中学高二开学考试）8．下面四个关于圆锥曲线的命题中，其中真命题为（

）A．设，为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹是双曲线B．双曲线与椭圆有相同的焦距C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D．已知抛物线，以一焦半径为直径作圆，则此圆与y轴相切三、填空题9．已知F是椭圆的一个焦点，P是C上的任意一点，则称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为________.10．已知是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，是坐标原点，则的取值范围是__．11．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为_______．12．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于､两点，直线与交于､两点，则的最小值为________.13．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则=____________________．14．双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为______．四、解答题：15．设,是双曲线－=1的左、右两个焦点，为左准线，离心率，是左支上一点，P到的距离为，且，|PF|，|PF|成等差数列，求此双曲线方程．16．已知双曲线－=1的左、右焦点分别为F、F，左准线为．能否在双曲线的左支上找到一点P，使|PF|是P到的距离与|PF|的等比中项？若能，试求出P点坐标；若不能，请说明理由．17．在椭圆上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍．18．椭圆，离心率，焦点到椭圆上点的最短距离为，求椭圆的方程．19．已知点P在椭圆上，为椭圆的两个焦点，求的取值范围．20．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．21．已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共线，且，求的取值范围.22．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．(1)求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；(2)过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．23．平面直角坐标系中，已知F为椭圆的右焦点，且，过F作两条互相垂直的直线交椭圆分别于A、B与C、D，以F为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求椭圆的极坐标方程与的代数表达式；（2）求的取值范围.专题10焦半径公式的应用微点2焦半径公式的应用综合训练专题10焦半径公式的应用微点2焦半径公式的应用综合训练一、单选题1．过抛物线(>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于A．2 B． C． D．2．已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．3．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（

）A．， B．， C．， D．，4．已知点P是双曲线上的动点，，是左、右焦点，O是坐标原点，若的最大值为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．25．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为（

）A．32 B．16 C．24 D．86．过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值为A． B． C．1 D．二、多选题(2023·福建·闽侯县第一中学高二阶段练习）7．已知双曲线，则（

）A．双曲线C的离心率等于焦半径的长B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2D．直线与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2（2023·湖北·武汉市新洲区城关高级中学高二开学考试）8．下面四个关于圆锥曲线的命题中，其中真命题为（

）A．设，为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹是双曲线B．双曲线与椭圆有相同的焦距C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D．已知抛物线，以一焦半径为直径作圆，则此圆与y轴相切三、填空题9．已知F是椭圆的一个焦点，P是C上的任意一点，则称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为________.10．已知是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，是坐标原点，则的取值范围是__．11．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为_______．12．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于､两点，直线与交于､两点，则的最小值为________.13．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则=____________________．14．双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为______．四、解答题：15．设,是双曲线－=1的左、右两个焦点，为左准线，离心率，是左支上一点，P到的距离为，且，|PF|，|PF|成等差数列，求此双曲线方程．16．已知双曲线－=1的左、右焦点分别为F、F，左准线为．能否在双曲线的左支上找到一点P，使|PF|是P到的距离与|PF|的等比中项？若能，试求出P点坐标；若不能，请说明理由．17．在椭圆上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍．18．椭圆，离心率，焦点到椭圆上点的最短距离为，求椭圆的方程．19．已知点P在椭圆上，为椭圆的两个焦点，求的取值范围．20．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．21．已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共线，且，求的取值范围.22．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．(1)求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；(2)过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．23．平面直角坐标系中，已知F为椭圆的右焦点，且，过F作两条互相垂直的直线交椭圆分别于A、B与C、D，以F为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求椭圆的极坐标方程与的代数表达式；（2）求的取值范围.参考答案：1．C分析：设PQ直线方程是则x1，x2是方程的两根，借助韦达定理即可得到的值．【详解】抛物线转化成标准方程：，焦点坐标，准线方程为，设过的直线方程为，，整理得．设，，，由韦达定理可知：，，，，根据抛物线性质可知，，，，的值为，故选：C．【点睛】涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．2．D分析：设在右支上，根据双曲线的性质求得、且，由已知双曲线有，结合的范围求范围，即可得结果.【详解】由双曲线的对称性，假设在右支上，即，由到的距离为，而，所以，综上，，同理，则，对于双曲线，有且，所以，而，即.故选：D3．B分析：根据得，，再换元利用函数的单调性求解.【详解】解：由双曲线的第二定义可知，，右支上的点，满足，由，解得，在右支上，可得，可得，即，则，令，，可得而在，单调递减，，，，故选：B4．B分析：根据双曲线的定义，将用点的横坐标表示出来，利用函数的单调性求出的最大值，进而利用离心率的定义，即可求解.【详解】不妨设为右支上的一点，其中，可得，，又由，则，所以时，取得最大值，所以，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.5．A分析：由两条直线垂直，以及取得最小值时，有与，与关于轴对称，可得直线的斜率为1，进而可求出直线的方程，与抛物线联立写出韦达定理和弦长公式，再由相互垂直的四边形面积公式求值即可．【详解】因为，要使最小，而，由抛物线的对称性可得与，与关于轴对称，所以可得直线的斜率为1，又过抛物线的焦点，所以直线的方程为：，，整理可得，，，所以可得，所以．故选：．6．D分析：当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，推导出=；当直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），CD：y=﹣（x﹣1）．分别利用弦长公式求出|AB|、|CD|的长度，由此能推导出=为定值．【详解】由椭圆，得椭圆的右焦点为F（1，0），当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4，则=；当直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），则CD：y=﹣（x﹣1）．又设点A（x1，y1），B（x2，y2）．联立方程组，消去y并化简得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴，∴|AB|===，由题知，直线CD的斜率为﹣，同理可得|CD|=．∴=为定值．故选D．【点睛】本题考查定值的证明，考查弦长公式的运用，体现了分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，难度较大．7．CD分析：根据双曲线的几何性质，点到直线的距离公式，直线和双曲线的位置关系等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】双曲线焦点在轴上，且，渐近线为，对于A选项，双曲线的离心率为，焦半径为(其中为曲线上一点的横坐标)，所以A选项错误.对于B选项，双曲线的渐近线为，与曲线的渐近线不相同，故B选项错误.对于C选项，双曲线的一条渐近线方程为，右焦点坐标为，所以焦点到渐近线的距离为，故C选项正确.对于D选项，直线，当时，直线与双曲线的交点可能是0个，也可能是2个；当且直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线的交点是1个，所以它们的公共点个数可能为，故D选项正确.故选：CD8．BCD分析：以椭圆、双曲线、抛物线的定义及性质出发依次判断各选项即可得出结果.【详解】对于A.当且时，动点的轨迹是双曲线，A错误；对于B，双曲线的焦点为，椭圆其焦点为，故两曲线有相同的焦距，B正确；对于C,方程的两根分别为和2可为椭圆和双曲线的离心率，C正确；对于D，如图，，中点,所以以一焦半径为直径作圆，则此圆与y轴相切，D正确.故选:BCD.9．分析：根据题意，存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，即的最大值应该不小于线段的长，根据不等关系列出含的不等式，转化为离心率的不等式，即可求解出椭圆C的离心率的最小值．【详解】根据题意，存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，即的最大值应该不小于线段的长，可得，化简得，即，且，解得，所以椭圆C的离心率的最小值为．【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，在解题时构造有关的不等式，转化为离心率的不等式是关键．10．分析：由椭圆方程求出准线方程，设的坐标为，根据焦半径公式表示出、，再根据函数的性质计算可得；【详解】解：设的坐标为，椭圆中，，，，所以椭圆的准线方程为，即，作出椭圆的右准线，设在右准线上的射影为，连接，根据圆锥曲线的统一定义，得，，同理可得，，点在椭圆上，得，，由此可得，得，即，当时，当时，所以，所以所以，．故答案为：11．分析：由题意可设：，：，联立抛物线方程，若，，，可得、，结合抛物线的定义写出、，根据垂直关系即可求.【详解】由题设，知：，且，的斜率一定存在，可令：，：，，，，将它们联立抛物线方程，∴，整理得，显然，则，即由抛物线定义知：，，整理得，显然，则，即由抛物线定义知：，∵，有，∴.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据直线、抛物线的位置关系，应用韦达定理并结合抛物线定义求相交弦的弦长.12．36【解析】设直线的方程为，联立方程组，分别求得和，结合基本不等式，即可求得的最小值，得到答案.【详解】由题，抛物线的焦点，准线方程为，设直线的方程为，，联立方程组，则，设，，可得，由抛物线的定义可得，由，可将上式中的换为，可得，则，当且仅当，上式取得等号，则的最小值为36.故答案为：36.【点睛】与抛物线的焦点有关问题的解题策略：1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点到焦点的距离：或.13．【详解】设，则,又所以,则【考点定位】本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系，当遇到抛物线焦点弦问题时，常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立，把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题，属于难题14．分析：设出点P坐标（x，y），由PF1⊥PF2得到一个方程，将此方程代入双曲线的方程，消去x，求出|y|的值．【详解】设点P（x，y），∵F1（-5，0）、F2（5，0），PF1⊥PF2，∴=-1，∴x2+y2=25

①，又，∴，∴y2=，∴|y|=，∴P到x轴的距离是．【点睛】本题考查双曲线的方程、性质的应用．结合题意，建立两个等式，解方程，即可得出答案．15．分析：利用焦半径，结合双曲线的第二定义列出等式，求出待定系数即可.【详解】由双曲线的第二定义可知,又因为，，由已知得，即，得，所以双曲线方程为.16．符合条件的P点不存在,理由见解析．分析：设P(x，y)，P到的距离为d，利用题目条件结合双曲线第二定义，表示出，d，再由|PF|=d·|PF|，求出，即可得出结论.【详解】由a=5，c=13，知=，=．设P(x，y)，P到的距离为d，则，，.令|PF|=d·|PF|，即(－5－x)=(－－x)(5－x)，解得：x=－或x=－．①另一方面，因为P在左支上，所以x≤－5．②①与②矛盾．故符合条件的P点不存在．17．分析：先求出椭圆的准线方程为，利用椭圆的定义表示出的关系，求出点P的横坐标，再代入标准方程，求出纵坐标.【详解】设P点的坐标为（x，y），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．因为椭圆的准线方程为，

所以，因为，所以，所以.把代入方程，解得：因此，P点的坐标为．18．分析：由题意得，又由离心率公式得到a、c的关系，解出a、c.由算出b，写出椭圆方程即可.【详解】∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴，又，，∴椭圆的方程为．19．.分析：由椭圆的定义，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.【详解】由题可知，，因为，∴时，有最大值，或时，有最小值，即的取值范围为.20．（1）；（2）证明见解析，公差为或．分析：（1）方法一：设而不求，利用点差法进行证明．（2）方法一：解出m,进而求出点P的坐标，得到,再由两点间距离公式表示出，，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．【详解】（1）［方法一］：【最优解】点差法设，则.两式相减，并由得，由题设知，于是.①由题设得，故.［方法二］：【通性通法】常规设线设，，当时，显然不满足题意；由得，，所以，，，即，而，所以，又，所以，，即，解得：．［方法三］：直线与椭圆系的应用对原椭圆作关于对称的椭圆为．两椭圆方程相减可得，即为的方程，故．又点在椭圆C内部可得，解得：．所以．［方法四］：直线参数方程的应用设l的参数方程为（为l倾斜角，t为参数）代入椭圆C中得．设是线段中点A，B对应的参数，是线段中点，知得，即．而点在C内得，解得：，所以．（2）［方法一］：【通性通法】常规运算＋整体思想由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理，所以.故，即，，成等差数列.设该数列的公差为d，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.［方法二］：硬算由，知点F为的重心，由三角形重心坐标公式可得，即．由点P在椭圆上，把坐标代入方程解得，即．由（1）有，直线l的方程为，将其与椭圆方程联立消去y得，求得，不妨设，所以，，，同理可得，，所以，而，故．即该数列的公差为或.［方法三］：【最优解】焦半径公式的应用因为线段的中点为，得．由，知点F为的重心，由三角形重心坐标公式可得，由椭圆方程可知，由椭圆的焦半径公式得，．所以．由方法二硬算可得，或，从而公差为，即该数列的公差为或.【整体点评】（1）方法一：利用点差法找出斜率与中点坐标的关系，再根据中点在椭圆内得到不等关系，即可解出，对于中点问题，点差法是解决此类问题的常用解法，也是该题的最优解；方法二：常规设线，通过联立得出根与系数的关系（韦达定理），再根据即可证出，该法是解决直线与圆锥曲线位置关系的通性通法．方法三：；类比直线与圆系，采用直线与椭圆系的应用，可快速求出公共弦所在直线方程，从而得出斜率，进而得证，避免联立过程，适当简化运算；方法四：利用直线的参数方程以及参数的几何意义，联立求出斜率；（2）方法一：直接根据题意运算结合整体思想，是通性通法；方法二：直接硬算，思路直接，计算量较大；方法三：利用焦半径公式简化运算，是该题的最优解．21．（1）；（2）.分析：（1）利用椭圆的几何性质确定内切圆面积最大时点P的位置，再借助面积关系列式求解作答.（2）按斜率存在与否讨论，联立直线与椭圆方程，借助韦达定理和弦长公式求出的函