中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题二十九平面向量的概念及线性运算(原卷版+解析)

专题二十九平面向量的概念及线性运算思维导图知识要点知识要点1．向量的有关概念(1)定义：只有大小，没有方向的量叫做标量．既有大小，又有方向的量叫做矢量(2)用有向线段表示向量，箭头指向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小(3)向量的大小叫做向量的模．向量的模记作||.(4)模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是任意的．(5)模为1的向量叫做单位向量．(6)方向相同或相反的两个向量叫做互相平行的向量(或共线向量)．向量a与向量b平行，记作a∥b.(7)当向量a与向量b的模相等且方向相同时，称向量a与向量b相等；当向量a与向量b的模相等且方向相反时，称向量b为向量a的相反向量，记作b＝－a2.向量的线性运算向量运算

定义法则(或几何意义)

运算律加法求两个向量和的运算三角形法则

平行四边形法则交换律:a+b=b

+a结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运

算

叫

做a与b的差

三角形法则a-b=a+(-b

)数乘求实数λ

与向量a

的积的运算|λa|

=|λ||a|当λ

>0

时,λa

的方向与a

的方向相同当λ

<0

时,λa

的方向与a

的方向相反当λ

=0

时,λa

=0λ(μa)

=λμa(λ+μ)a=λa+μaλ(a+b

)=λa+λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.典例解析典例解析【例1】给出下列命题：①共线向量是相等向量或相反向量；②若|a|＝|b|，则a＝b；③零向量与任意向量共线；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为()A．1B．2C．3D．4【变式训练1】下列命题正确的是()A．向量与是两平行向量B．若a，b都是单位向量，则a＝bC．若，则A，B，C，D四点构成平行四边形D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同【例2】如图所示，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b，试用a，b表示【变式训练2】如图所示，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示【例3】已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为________．【变式训练3】在△ABC中，，若点D满足，则等于()B．C．D.【例4】(1)设A，B，C，D，O是平面上的任意五点，试化简：①；②；③(2)化简：3a－2(3a－4b)＋3(a－b)．【变式训练4】(1)在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝，＝.(2)化简向量：①＝；②＝.高考链接高考链接1．设a为非零向量，λ为非零实数，那么下列结论正确的是()A．a与－λa方向相反B．|－λa|≥|a|C．a与λ2a方向相同D．|－λa|＝|λ|a2．(四川省2016年对口升学考试试题)如图，在平行四边形ABCD中，下列说法错误的是()A.与共线B.与相等C.与平行D.与模相等同步精练同步精练选择题1．如图所示，在正六边形ABCDEF中，()A．0B.C.D.2．在四边形ABCD中，若且则四边形ABCD为()A．矩形B．菱形C．梯形D．正方形3．设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＝()A.B.C.D．04．在△ABC中，已知，则等于()A.B.C.D.5．在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E为AO的中点，则＝()A.B.C.D.6．如图所示，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么＝(D)A.B.C.D.7．如图所示，梯形ABCD中，，则相等向量是()A.B.C.D.8．在△ABC中，已知M是BC中点，设＝a，＝b，则＝()A.a－bB.a＋b C．a－b D．a＋b9．向量a与b共线的充要条件是()A．向量与向量方向相同B．向量与向量方向相反C．向量与向量方向相同中有一个为零向量D．以上三个条件之一成立填空题10．已知下列各式：①；②③④，其中结果为零向量的个数为________．11．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状为．12．向量2a与5a的方向；－3b与2b的方向．13．在△ABC中，点M，N满足.若，则x＝________；y＝________.解答题14．如图所示，在平行四边形ABCD中，O为对角线交点．求：(1)与向量相等的向量；(2)向量的负向量；(3)与向量平行的向量及共线向量．专题二十九平面向量的概念及线性运算思维导图知识要点知识要点1．向量的有关概念(1)定义：只有大小，没有方向的量叫做标量．既有大小，又有方向的量叫做矢量(2)用有向线段表示向量，箭头指向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小(3)向量的大小叫做向量的模．向量的模记作||.(4)模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是任意的．(5)模为1的向量叫做单位向量．(6)方向相同或相反的两个向量叫做互相平行的向量(或共线向量)．向量a与向量b平行，记作a∥b.(7)当向量a与向量b的模相等且方向相同时，称向量a与向量b相等；当向量a与向量b的模相等且方向相反时，称向量b为向量a的相反向量，记作b＝－a2.向量的线性运算向量运算

定义法则(或几何意义)

运算律加法求两个向量和的运算三角形法则

平行四边形法则交换律:a+b=b

+a结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运

算

叫

做a与b的差

三角形法则a-b=a+(-b

)数乘求实数λ

与向量a

的积的运算|λa|

=|λ||a|当λ

>0

时,λa

的方向与a

的方向相同当λ

<0

时,λa

的方向与a

的方向相反当λ

=0

时,λa

=0λ(μa)

=λμa(λ+μ)a=λa+μaλ(a+b

)=λa+λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.典例解析典例解析【例1】给出下列命题：①共线向量是相等向量或相反向量；②若|a|＝|b|，则a＝b；③零向量与任意向量共线；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为(C)A．1B．2C．3D．4【思路点拨】熟练掌握共线向量的概念及向量的线性运算．①错误．共线向量是方向相同或相反的两个向量，相等向量是模相等且方向相同的两个向量，相反向量是模相等且方向相反的两个向量，故错误．②错误．因为|a|＝|b|，即a，b向量的模相等，而a＝b即a，b向量的模相等且方向相同．③正确．零向量的方向是任意的．④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．【变式训练1】下列命题正确的是(A)A．向量与是两平行向量B．若a，b都是单位向量，则a＝bC．若，则A，B，C，D四点构成平行四边形D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同【提示】两个单位向量可能方向不同，故B不正确．若，可能A，B，C，D四点共线，故C不正确．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D不正确．【例2】如图所示，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b，试用a，b表示答案：解：由题意知，在平行四边形OADB中，((a－b)＝a－b，b＋a－b＝a＋b.(a+b)＝a+b，(a+b)【思路点拨】(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．【变式训练2】如图所示，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示解：连接AC，ND，【例3】已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为___1_____．【思路点拨】由于c与d同向，∴c＝kd(k＞0)，∴λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.∵a，b不共线，∴整理得2λ2－λ－1＝0，∴λ＝1或λ＝.又k＞0，∴λ＞0，故λ＝1.【点评】向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．【变式训练3】在△ABC中，，若点D满足，则等于(A)B．C．D.【提示】【例4】(1)设A，B，C，D，O是平面上的任意五点，试化简：①；②；③(2)化简：3a－2(3a－4b)＋3(a－b)．答案：解：(1)①原式＝②原式＝③原式＝(2)原式＝3a－6a＋8b＋3a－3b＝0＋5b＝5b.【思路点拨】熟练掌握向量的线性运算．【点评】证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．【变式训练4】(1)在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝，＝.(2)化简向量：①＝；②＝.【提示】(1)由题意得解得(2)按加法法则来．高考链接高考链接1．设a为非零向量，λ为非零实数，那么下列结论正确的是(C)A．a与－λa方向相反B．|－λa|≥|a|C．a与λ2a方向相同D．|－λa|＝|λ|a【提示】A．λ<0时方向相同，错误；B.0<λ<1或－1<λ<0时不成立，错误；C.λ2>0，方向相同，正确；D.向量与模没有大小关系，无法比较大小，错误．C2．(四川省2016年对口升学考试试题)如图，在平行四边形ABCD中，下列说法错误的是(B)A.与共线B.与相等C.与平行D.与模相等【提示】共线向量、相等向量概念的考查．同步精练同步精练选择题1．如图所示，在正六边形ABCDEF中，(D)A．0B.C.D.【提示】由题干图知2．在四边形ABCD中，若且则四边形ABCD为(A)A．矩形B．菱形C．梯形D．正方形3．设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＝(D)A.B.C.D．0【提示】因为D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，所以4．在△ABC中，已知，则等于(A)A.B.C.D.【提示】5．在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E为AO的中点，则＝(A)A.B.C.D.【提示】根据向量的运算法则，可得，所以6．如图所示，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么＝(D)A.