人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题19分式的运算-原卷版+解析

专题19分式的运算【思维导图】◎考点题型1分式的乘法分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母.用式子表示为：.例．(2023·山东菏泽·八年级期末）下列分式运算，结果正确的是（

）A．B．C． D．变式1．(2023·湖南衡阳·八年级期末）计算的结果是（）A． B． C． D．0变式2．(2023·江苏·八年级）化简的结果正确的是（

）A． B． C． D．变式3．(2023·江苏·八年级）计算的结果是（

）A． B． C． D．◎考点题型2分式的除法分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：.例．(2023·河北承德·八年级期末）化简，正确结果是（

）A． B． C． D．变式1．(2023·四川广元·八年级期末）下列计算结果正确的有（

）①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式2．(2023·江西九江·八年级期末）计算的结果为（

）A． B． C．1 D．变式3．(2023·安徽滁州·七年级阶段练习）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．◎考点题型3分式的乘方分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：例．(2023·河南南阳·八年级期中）计算的正确结果是（

）A． B． C． D．变式1．(2023·海南省直辖县级单位·八年级期末）下列运算正确的是（）A． B． C． D．变式2．(2023·内蒙古包头·模拟预测）下列运算正确的是（

）A．（）3＝ B．3a3•2a2＝6a6C．4a6÷2a2＝2a3 D．（3a2）3＝27a6变式3．（2023·全国·八年级课时练习）计算的结果是（

）A． B． C． D．◎考点题型4分式的乘除乘方混合运算例．（2023·河北石家庄·八年级期中）的结果是（

）A． B． C． D．变式1．（2023·全国·八年级专题练习）计算的结果为（

）A． B． C． D．变式2．（2023·全国·八年级专题练习）计算的结果是（

）A． B． C． D．变式3．（2023·全国·七年级单元测试）下列各式中.计算结果正确的有（

）①；②；③；④.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个◎考点题型5分式的同分母相加减分式加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.用式子表示是：.例．（2023·河北承德·八年级期末）若（

），则（

）中的数是（

）A． B． C． D．任意实数变式1．(2023·贵州铜仁·八年级期末）化简的结果是（

）A．x B． C． D．变式2．(2023·福建宁德·八年级期末）计算的结果是（

）A．1 B． C． D．变式3．(2023·天津河西·二模）计算的结果是（

）A．2 B．1 C． D．◎考点题型6分式的异分母相加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.用式子表示是：.例．(2023·山西·九年级专题练习）化简的结果是（）A．m﹣2 B．m+2 C． D．变式1．(2023·河南新乡·八年级期末）若，，则的值是（

）A．1 B． C． D．2变式2．（2023·陕西榆林·八年级期末）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．变式3．(2023·河南南阳·八年级期中）化简分式的结果正确的是（

）A． B． C． D．◎考点题型7整式与分式相加减例．(2023·江苏宿迁·八年级期末）若，则式子的值是（

）A．-2 B．0 C．1 D．2变式1．(2023·河北·威县第三中学一模）若，则“（

）”中的式子是（

）A． B． C． D．变式2．（2023·河北保定·三模）下列式子运算结果为的是（

）A． B． C． D．变式3．（2023·全国·八年级专题练习）计算的结果为（

）A． B． C． D．◎考点题型8分式的加减混合预算例．(2023·浙江绍兴·七年级阶段练习）已知：，则的值为（

）A． B． C． D．变式1．(2023·山东临沂·八年级期末）化简的结果是（

）A． B． C． D．变式2．（2023·安徽合肥·七年级期末）已知则的值为（

）A．0 B． C．1 D．2变式3．（2023·河北邯郸·三模）若，则（

）中的数是（

）A． B．1 C． D．任意实数◎考点题型9分式加减的实际应用例．(2023·河南新乡·八年级期中）已知分式，，当时，与的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定变式1．（2023·重庆巫溪·八年级期末）从甲地到乙地的距离是s千米，一辆汽车以a千米/时的速度从甲地开往乙地，然后立即以b千米/时的速度从乙地返回甲地，则汽车往返所需的时间是（调头时间忽略不计）（

）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时变式2．(2023·浙江·九年级专题练习）某工程队要修路20千米，原计划平均每天修x千米，实际平均每天多修了0.1千米，则完成任务提前了（）A．（）天 B．（）天 C．（）天 D．（）天变式3．（2023·山东泰安·八年级期中）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格略有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次用去800元，乙每次购买1000千克，而不管购买多少饲料．设两次购买饲料的单价分别为m元/千克和n元千克（m，n是正数，且），那么甲、乙所购买的饲料的平均单价（

）A．甲所购买的饲料的平均单价低 B．乙所购买的饲料的平均单价低C．甲、乙所购买的饲料的平均单价相同 D．不能比较◎考点题型10分式的加减乘除混合运算例．(2023·广西梧州·七年级期末）计算，结果正确的是(

)A． B． C． D．变式1．(2023·江苏连云港·八年级期末）若“计算”的运算结果是1，则被墨迹覆盖的这个运算符号是（

）A．+ B．－ C．× D．÷变式2．(2023·江苏无锡·八年级期末）下列运算结果正确的是（）A． B． C． D．变式3．(2023·山东威海·中考真题）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为(

)A． B． C． D．◎考点题型11分式的化简求值例．(2023·云南文山·八年级期末）若xy＝x－y，则分式（

）A． B．－1 C．y－x D．1变式1．（2023·江苏·七年级专题练习）已知m＝2，则代数式（m）•的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3变式2．(2023·四川省内江市第六中学八年级期中）已知，则分式的值为（）A． B． C． D．﹣变式3．(2023·湖南株洲·七年级期末）已知，则的值是

（

）A． B． C．62 D．60◎考点题型12零指数幂和负整数指数幂（1）整数指数幂：①；②（2）小于1的正数可以用科学记数法表示为的形式，其中是第一个非零的数前面零的个数（包括整数部分的一个零）例．(2023·河北承德·八年级期末）的计算结果是（

）A．3 B．2 C． D．变式1．(2023·河北唐山·七年级期中）在等式、、中，正确的有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．0个变式2．(2023·陕西西安·七年级期末）的值是（

）A． B．2 C．-2 D．48．(2023·重庆·西南大学附中七年级期末）的值为（

）A． B． C． D．变式3．(2023·山东枣庄·七年级期末）已知一个水分子的半径约为0.00000000192米，将0.00000000192用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．专题19分式的运算【思维导图】◎考点题型1分式的乘法分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母.用式子表示为：.例．(2023·山东菏泽·八年级期末）下列分式运算，结果正确的是（

）A．B．C． D．答案：C分析：根据分式的乘方，分式乘法分别进行判断即可．【详解】解：A.，故该选项错误；

B.，故该选项错误；C.，故该选项正确；

D.，故该选项错误．故选：C．【点睛】本题考查分式的乘方及分式的乘法，解题关键是掌握相关的运算法则．变式1．(2023·湖南衡阳·八年级期末）计算的结果是（）A． B． C． D．0答案：C分析：根据分式的乘法运算法则来求解．【详解】解：．故选：C．【点睛】本题主要考查了分式乘法的运算法则，理解约分是解答关键．变式2．(2023·江苏·八年级）化简的结果正确的是（

）A． B． C． D．答案：A分析：先将分子分母因式分解，再根据分式的乘法以及分式的性质约分化简即可．【详解】解：故选A【点睛】本题考查了分式的乘法运算，掌握分式的性质是解题的关键．变式3．(2023·江苏·八年级）计算的结果是（

）A． B． C． D．答案：A分析：根据分式的乘法解决此题．【详解】解：．故选：A．【点睛】本题主要考查分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解决本题的关键．◎考点题型2分式的除法分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：.例．(2023·河北承德·八年级期末）化简，正确结果是（

）A． B． C． D．答案：D分析：根据分式的除法进行计算即可求解．【详解】解：原式＝，故选D．【点睛】本题考查了分式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．变式1．(2023·四川广元·八年级期末）下列计算结果正确的有（

）①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：C分析：求出每个式子的值，再进行判断即可．【详解】解：①，正确；②，正确；③，正确；④，错误．故选：C．【点睛】本题考查了分式的混合运算等的应用，主要考查学生的计算能力，掌握分式的运算性质是解题的关键．变式2．(2023·江西九江·八年级期末）计算的结果为（

）A． B． C．1 D．答案：B分析：根据分式的除法计算法则求解即可．【详解】解：，故选B．【点睛】本题主要考查了分式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．变式3．(2023·安徽滁州·七年级阶段练习）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．答案：B分析：根据同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法和分式的计算规则来计算即可；【详解】解：A、-m5，故本选项错误；B、，本选项正确；C、a6÷a3=a3，本选项错误；D、，本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和分式的计算；熟练掌握运算的计算法则是解决本题的关键．◎考点题型3分式的乘方分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：例．(2023·河南南阳·八年级期中）计算的正确结果是（

）A． B． C． D．答案：D分析：直接利用分式的性质结合乘方运算法则化简得出答案．【详解】解：．故选：D．【点睛】本题主要考查了分式的乘除法，解题的关键是正确掌握相关运算法则．变式1．(2023·海南省直辖县级单位·八年级期末）下列运算正确的是（）A． B． C． D．答案：B分析：根据同底数幂相除，幂的乘方，同底数幂相乘，分式的乘方，逐项判断即可求解．【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项正确，符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；D、，故本选项错误，不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了同底数幂相除，幂的乘方，同底数幂相乘，分式的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．变式2．(2023·内蒙古包头·模拟预测）下列运算正确的是（

）A．（）3＝ B．3a3•2a2＝6a6C．4a6÷2a2＝2a3 D．（3a2）3＝27a6答案：D分析：根据积的乘方、单项式乘单项式、单项式除单项式的运算法则进行判断即可．【详解】A.＝，故A错误；B.＝6a5，故B错误；C.＝2a4，故C错误；D.＝27a6，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握积的乘方、单项式乘单项式、单项式除单项式的运算法则，是解题的关键．变式3．（2023·全国·八年级课时练习）计算的结果是（

）A． B． C． D．答案：C分析：原式利用乘方的意义计算即可得到结果．【详解】解：==故选C【点睛】此题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．◎考点题型4分式的乘除乘方混合运算例．（2023·河北石家庄·八年级期中）的结果是（

）A． B． C． D．答案：B分析：首先把每一项因式分解，然后根据分式的混合运算法则求解即可．【详解】===故选：B．【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是先对每一项因式分解，然后再根据分式的混合运算法则求解．变式1．（2023·全国·八年级专题练习）计算的结果为（

）A． B． C． D．答案：B分析：根据分式乘除运算法则对原式变形后，约分即可得到结果．【详解】解：==.故选：B.【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式2．（2023·全国·八年级专题练习）计算的结果是（

）A． B． C． D．答案：D【详解】原式==.故选D.【点睛】本题主要考查分式的乘除，解题的关键在于先去括号，要注意的是系数也要乘方，然后将除法变成乘法进行计算即可.变式3．（2023·全国·七年级单元测试）下列各式中.计算结果正确的有（

）①；②；③；④.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案：A分析：利用分式的运算法则一一计算判断即可：①分子与分子相乘，分母与分母相乘，最后结果写成最简分式；②根据除法法则，将原式化成乘法，再计算即可；③先约分，再计算即可；④先算乘方，再将除法变乘法，最后计算即可.【详解】①，故①错误；②，故②错误；③，故③错误；④，故④错误；综上答案选A.【点睛】本题考查的是分式的运算，能够掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键.◎考点题型5分式的同分母相加减分式加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.用式子表示是：.例．（2023·河北承德·八年级期末）若（

），则（

）中的数是（

）A． B． C． D．任意实数答案：B分析：把和两个式子相加即可．【详解】解：因为（

），===2所以（

）中的数是2，故选B．【点睛】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练运用分式加减法则进行计算．变式1．(2023·贵州铜仁·八年级期末）化简的结果是（

）A．x B． C． D．答案：A分析：按同分母分式减法法则计算即可．【详解】解：===x，故选：A．【点睛】本题考查同分母分式减法，熟练掌握同分母分式减法法则：分母不变，分子相减是解题的关键．变式2．(2023·福建宁德·八年级期末）计算的结果是（

）A．1 B． C． D．答案：A分析：利用分式的减法的法则进行求解即可．【详解】解：原式===1故选：A【点睛】本题主要考查分式的减法，解答的关键是掌握分式的减法的法则．变式3．(2023·天津河西·二模）计算的结果是（

）A．2 B．1 C． D．答案：A分析：利用同分母分式加减法进行计算即可得出答案．【详解】解：．故选：A．【点睛】本题考查分式的加减计算，正确地计算能力是解决问题的关键．◎考点题型6分式的异分母相加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.用式子表示是：.例．(2023·山西·九年级专题练习）化简的结果是（）A．m﹣2 B．m+2 C． D．答案：C分析：先将原式通分，再利用同分母分式的减法法则计算．【详解】解：原式，故选：C．【点睛】本题考查了分式的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．变式1．(2023·河南新乡·八年级期末）若，，则的值是（

）A．1 B． C． D．2答案：C分析：将所求式子变形，再整体代入即可得到答案．【详解】解：∵x+y=3，xy=-3，∴===-2，故选：C．【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质和整体思想的应用．变式2．（2023·陕西榆林·八年级期末）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．答案：C分析：根据分式加法、减法、乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答．【详解】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、故C符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了分式的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．变式3．(2023·河南南阳·八年级期中）化简分式的结果正确的是（

）A． B． C． D．答案：C分析：首先将分式的分母进因式分解，然后进行通分，最后化简即可．【详解】解：原式＝＝＝＝故选：C【点睛】此题考查了分式化简问题，解题关键是用因式分解以及通分进行化简．◎考点题型7整式与分式相加减例．(2023·江苏宿迁·八年级期末）若，则式子的值是（

）A．-2 B．0 C．1 D．2答案：A分析：根据代数式的值可得，代入将化简后的分式，即可求解．【详解】解：∵，∴故选A【点睛】本题考查了分式的减法运算，求分式的值，整体代入是解题的关键．变式1．(2023·河北·威县第三中学一模）若，则“（

）”中的式子是（

）A． B． C． D．答案：A分析：由题意知“（）”中的式子为，计算求解即可．【详解】解：故选A．【点睛】本题考查了分式的加减．解题的关键在于正确的运算．变式2．（2023·河北保定·三模）下列式子运算结果为的是（

）A． B． C． D．答案：C分析：根据分式的加减乘除运算逐项判断即可．【详解】A、，此项不符题意B、，此项不符题意C、，此项符合题意D、，此项不符题意故选：C．【点睛】本题考查了分式的加减乘除运算，熟记分式的运算法则是解题关键．变式3．（2023·全国·八年级专题练习）计算的结果为（

）A． B． C． D．答案：B分析：根据分式的加减运算计算可得．【详解】解：原式==故选B．【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．◎考点题型8分式的加减混合预算例．(2023·浙江绍兴·七年级阶段练习）已知：，则的值为（

）A． B． C． D．答案：B分析：已知等式两边除以，求出的值，再代入即可得到结果．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查分式的混合运算，化简求值，运用了整体代入的思想方法．解题的关键是利用了等式的两边同时除以不为零的数，等式仍然成立．变式1．(2023·山东临沂·八年级期末）化简的结果是（

）A． B． C． D．答案：B分析：根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．变式2．（2023·安徽合肥·七年级期末）已知则的值为（

）A．0 B． C．1 D．2答案：C分析：对进行恒等变换得到的值．【详解】∵∴∴∴，即．故答案选：C．【点睛】本题是对代数式的恒等变换．通过变换得到所求代数式是本题解题的关键．变式3．（2023·河北邯郸·三模）若，则（

）中的数是（

）A． B．1 C． D．任意实数答案：A分析：将看成差，将看成减数，用差加上减数即可求出被减数的值．【详解】解：＝＝＝＝．故选：A．【点睛】本题主要考查分式的加减，熟练掌握分式的加减的运算法则是解题的关键．◎考点题型9分式加减的实际应用例．(2023·河南新乡·八年级期中）已知分式，，当时，与的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定答案：A分析：根据分式的加减法法则化简，再根据判断的正负即可得．【详解】解：因为，，所以，因为，所以，所以，即，故选：A．【点睛】本题考查了分式加减法的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．变式1．（2023·重庆巫溪·八年级期末）从甲地到乙地的距离是s千米，一辆汽车以a千米/时的速度从甲地开往乙地，然后立即以b千米/时的速度从乙地返回甲地，则汽车往返所需的时间是（调头时间忽略不计）（

）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时答案：C分析：根据时间=路程÷速度，计算出去的时间和返回的时间，再根据往返所需的时间=去的时间+返回的时间，列出式子计算即可．【详解】解：由题意，得往返所需的时间为：小时，故选：C．【点睛】本题考查分式加法的应用，掌握往返所需的时间=去的时间+返回的时间是解题的关键．变式2．(2023·浙江·九年级专题练习）某工程队要修路20千米，原计划平均每天修x千米，实际平均每天多修了0.1千米，则完成任务提前了（）A．（）天 B．（）天 C．（）天 D．（）天答案：A分析：工程提前的天数＝原计划的天数﹣实际用的天数，把相关数值代入即可．【详解】解：原计划用的天数为，实际用的天数为，故工程提前的天数为（）天．故选：A．【点睛】此题考查了列分式解决实际问题，正确理解题意是解题的关键．变式3．（2023·山东泰安·八年级期中）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格略有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次用去800元，乙每次购买1000千克，而不管购买多少饲料．设两次购买饲料的单价分别为m元/千克和n元千克（m，n是正数，且），那么甲、乙所购买的饲料的平均单价（

）A．甲所购买的饲料的平均单价低 B．乙所购买的饲料的平均单价低C．甲、乙所购买的饲料的平均单价相同 D．不能比较答案：A分析：根据题意分别表示出甲、乙所购买的饲料的平均单价，然后作差求解即可判断．【详解】解：甲两次购买饲料的平均单价为：（元/千克），乙两次购买饲料的平均单价为（元/千克），甲、乙两种饲料的平均单价的差是：，由于m、n是正数，因为m≠n时，也是正数，即，因此甲的购货方式更合算．故选：A．【点睛】此题考查了分式在实际生活中的应用，分式的加减混合运算，解题的关键是根据题意列出分式分别表示出甲、乙所购买的饲料的平均单价．◎考点题型10分式的加减乘除混合运算例．(2023·广西梧州·七年级期末）计算，结果正确的是(

)A． B． C． D．答案：B分析：根据分式的混合运算进行计算，先根据异分母的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法运算，进而根据分式的性质约分即可求解．【详解】解：原式＝．故选B．【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确的计算是解题的关键．变式1．(2023·江苏连云港·八年级期末）若“计算”的运算结果是1，则被墨迹覆盖的这个运算符号是（

）A．+ B．－ C．× D．÷答案：B分析：根据分式四则运算分别进行计算即可求解．【详解】解：∵＋=，－=1，×=，÷=，故选B【点睛】本题考查了分式的加减乘除运算，掌握分式的加减乘除运算是解题的关键．变式2．(2023·江苏无锡·八年级期末）下列运算结果正确的是（）A． B． C． D．答案：D分析：根据分式的性质、分式的四则运算逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；

B.，故该选项不正确，不符合题意；

C.，故该选项不正确，不符合题意；D.，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了分式的性质、分式的四则运算，正确的计算是解题的关键．变式3．(2023·山东威海·中考真题）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为(

)A． B． C． D．答案：A分析：根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．【详解】解：★=★=★==，故选A．【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．◎考点题型11分式的化简求值例．(2023·云南文山·八年级期末）若xy＝x－y，则分式（

）A． B．－1 C．y－x D．1答案：B分析：先进行分式的加减计算，再代换进行解答即可．【详解】解：∵xy＝x－y，∴=，故选B．【点睛】本题考查分式的计算，解题关键是根据分式的加减计算解答．变式1．（2023·江苏·七年级专题练习）已知m＝2，则代数式（m）•的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3答案：C分析：先算括号内，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：（m）•＝•＝m+1当m＝2时，原式＝2+1＝3，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了分式的化简求值，先对括号内的进行通分，化简，再与括号外的进行约分得到最简式，然后把满足条件的字母的值代入计算