2022-2023学年安徽省滁州市高二下学期期末教学质量监测数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年安徽省滁州市高二下学期期末教学质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集为R，集合A={x|−2≤x≤2}，集合B={x|2x−1≥0}，则A∩(∁RB)=A.[−2,2] B.[−2,12) C.[−2,2.已知向量a=(cosθ,−2sinθ)，b=(3sinA.−1 B.−12 C.123.已知正项等比数列{an}单调递增，a2⋅a3A.12 B.16 C.24 D.324.一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数(prime number)，质数又称素数，如2，3，5，7等都是素数.数学上把相差为2的两个素数叫做孪生素数，如：3和5，5和7，⋯.如果我们在不超过31的素数中随机选取两个不同的数，则这两个数是孪生素数的概率为(

)A.29 B.211 C.195.在△ABC中，AC=2，BC=5，A=π4，点D在边AB上，且BD=1A.2 B.1 C.226.若(ax+1x2)n的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中A.32 B.64 C.80 D.1607.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱BB1的中点，空间中一点PA.2+2 B.2+58.双曲线C:x2a2−y25=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为52，右支上一点P满足PF1⊥PF2，直线l平分∠A.25 B.45 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若复数z满足z⋅z=4，|z|=|z−2|，则(

)A.z的实部为1 B.z的虚部为3 C.z2+10.已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(x)+f(−x)=0，且f(1−x)=f(1+x).若x∈[0,1]时，f(x)=log2(x+1)，则A.f(x)的最小正周期T=4

B.f(x)的图象关于(2024,0)对称

C.f(112)=1−log23

D.11.如图，四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，且AD/​/BC，AD=2BC=2，AP=BP=1，Q是棱PD的中点，∠APB=∠ADC=∠BCD=π2，则(

)

A.CQ//平面PAB

B.CQ⊥平面PAD

C.

CQ和平面PBC所成角的正弦值为3015

D.四面体Q−BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若本市2024年高二某次数学测试的成绩X(单位:分)近似服从正态分布N(100,22).从本市中任选1名高二学生,则这名学生数学成绩在102~104分之间的概率约为

.参考数据:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ​​​​​​​≤X≤μ+3σ)≈0.9973.13.过抛物线x2=4y上一点P作切线与y轴交于点Q，直线PQ被圆x2+y2=1截得的弦长为14.已知函数f(x)=x2−aex−b(a,b∈R)满足f(0)=1，且恰有一个极值点，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn.若S3=9(1)求数列{an(2)若12(an+1)=log2b16.(本小题15分)

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形ACEF为菱形，∠CAF=π3，平面ACEF⊥平面ABCD(1)求三棱锥B−DEF的体积;(2)求平面BAF和平面BCE夹角的余弦值．17.(本小题15分)2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划(2021−2035年) 》，《规划》提出，到2035年，纯电动汽车成为新销售车辆的主流，公共领域用车全面电动化，燃料电池汽车实现商业化应用，高度自动驾驶汽车实现规模化应用，有效促进节能减排水平和社会运行效率的提升.某市车企为了解消费者群体中购买不同汽车种类与性别的情况，采用简单随机抽样的方法抽取了近期购车的90位车主，得到如下列联表：(单位：人)性别购车种类合计新能源汽车燃油汽车男204060女201030合计405090(1)试根据小概率值α=0.005的独立性检验，判断购车种类与性别是否有关;(2)以上述统计结果的频率估计概率，设事件A=“购车为新能源汽车”，B=“购车车主为男性”． ①计算P(A|B) ②从该市近期购车男性中随机抽取2人、女性中随机抽取1人，设这三人中购买新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：参考公式：χ2参考数据：α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82818.(本小题17分)已知函数f(x)=4ln(1)当a=2时，求f(x)的最大值;(2)若f(x)≤4−2a在定义域上恒成立，求实数a的取值范围．19.(本小题17分)已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l:y=kx+m与椭圆C相交于P，Q两点，OP⊥OQ，其中O为坐标原点． ①求k与m的关系式; ②M为线段PQ中点，射线OM与椭圆C相交于点N，记四边形OPNQ的面积与△OPQ的面积之比为λ，求实数λ的取值范围．

答案解析1.B

【解析】解：因为B={x|2x−1≥0}=x|x⩾12，

所以∁RB=x|x<12，

又A={x|−2≤x≤2}2.C

【解析】解：因为向量a=(cosθ,−2sinθ)，b=(3sinθ,cosθ)，

且a⋅b=3.B

【解析】解：根据题意，设正项递增的等比数列{an}的公比为q，则q>1，

因为a2a3=a1a4，所以a1a4=８，而a4.D

【解析】解：不超过31的素数有11个，分别为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，

两个数是孪生素数的有3和5，5和7，11和13，17和19，29和31，共5组．

则这两个数是孪生素数的概率为：5C5.A

【解析】解：因为AC=2，BC=5，A=π4，

所以BC2=AB2+AC2−2AB·ACcosA，

即5=AB2+2−22·AB×22=AB6.C

【解析】解：由题意，根据二项式系数和为2n=32，解得n=5，

令x=1得，各项系数和为1+a5=243，解得a=2，

∴二项式(ax+1x2)n=2x+1x25的展开式的通项公式为Tr+1=C7.D

【解析】解：因为D1P=xA1C1+yA1E，所以D1P/​/平面A1EC1，

取AA1，CC1的中点M，N，连接MD1，MB，ND1，NB，如图所示：

四边形MBEA1为平行四边形，则MB//A1E，由MB⊄平面A1EC1,A8.C

【解析】解：因为双曲线C:x2a2−y25=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l平分∠F1PF2，过点F1，F2作直线l的垂线，垂足分别为A，B，

所以根据双曲线的定义可知|OA|=|OB|=a，

因为右支上一点P满足PF1⊥PF2，

所以∠OAB=∠OBA=45°，

所以∠AOB=90°，

所以△OAB的面积为12a9.AC

【解析】解：设z=a+bia,b∈R，

因为z⋅z=4，|z|=|z−2|，

所以a2+b2=4,a2+b2=a−22+b2，

解得a=1,b=±3，

所以z=1±3i，

所以z的实部为1，z的虚部为3或−3，故A正确，10.ABD

【解析】解：因为f(x)+f(−x)=0，所以f(x)=−f(−x)，

则f(1−x)=−f(x−1)，

由f(1−x)=f(1+x)得，−f(x−1)=f(1+x)，

得−f(x)=f(x+2)，

得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，

故f(x)的最小正周期T=4，则A项正确;

因为函数f(x)为奇函数，则f(x)的图象关于(0,0)对称，又f(x)的最小正周期T=4，由2024=506×4=506T，

则f(x)的图象关于(2024,0)对称，故B项正确;

f(5.5)=f(4+1.5)=f(1.5)=f(1+0.5)=f(1−0.5)=f(0.5)=log232=log23−1，

故C项错误;

当x∈[−1,0]时，则−x∈[0,1]，得f(x)=−f(−x)=−log2(−x+1)，

由−log2(−x+1)+12=0，得x=1−2，

当x∈[−2,−1)时，x+2∈[0,1)11.ACD

【解析】解：对于A.如图：

取AD的中点G，连接GQ、GC．

因为AD/​/BC，AD=2BC，所以AG= //BC，因此四边形ABCG是平行四边形，所以AB= //GC．

因为Q是棱PD的中点，所以QG= //12PA．

因为PA⊂平面PAB，QG⊄平面PAB，所以QG//平面PAB．

同理可得GC//平面PAB．

因为QG、GC⊂平面QGC，QG∩GC=G，所以平面QGC//平面PAB，

而CQ⊂平面QGC，因此CQ/​/平面PAB，故A正确；

对于B.如图：

取PA的中点H，连接QH、HB．

因为Q是棱PD的中点，所以HQ= //12AD，而AD/​/BC，AD=2BC，

因此HQ= //BC，所以CQ= //BH．

假设CQ⊥平面PAD，则BH⊥平面PAD，而PA⊂平面PAD，因此BH⊥PA，

这与∠APB=π2相矛盾，所以假设不成立，故B错误；

对于C.如图：

因为Q是棱PD的中点，所以点P到平面BQC的距离等于点D到平面BQC的距离，

因此VP−BQC=VD−BQC=12VP−BDC．

取AB的中点K，连接PK、KC．

因为AP=BP=1，∠APB=π2，所以PK⊥AB，且PK=AK=KB=22．

因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，而PK⊂平面PAB，所以PK⊥平面ABCD，

而KC⊂平面ABCD，因此PK⊥KC．

因为AD/​/BC，AD=2BC=2，∠ADC=∠BCD=π2，AB=2，

所以由余弦定理得：KC=12+(22)2−2×1×22cos⁡3π4=102，因此在Rt△PKC中，PC=222+1022=3．

在△PBC中，因为PB=BC=1，PC=3，所以S△PBC=34．

设点Q到平面PBC的距离为ℎ．

因为AD/​/BC，AD=2BC=2，∠ADC=∠BCD=π2，AB=2，所以S△BCD=12，

因此由VQ−PBC=VP−BQC=12VP−BDC得13ℎ×34=12×13×22×12，解得ℎ=66．

由选项B知：CQ= //BH，而AP=BP=1，∠APB=π2，因此CQ=BH=52．

若CQ和平面PBC所成角为θ，则sinθ=ℎCQ=6612.0.1359

【解析】解：因为高二某次数学测试的成绩X(单位:分)近似服从正态分布N(100,22)，

所以该正态曲线的对称轴为：X=100，

因此P(102⩽X⩽104)=P(96⩽X⩽98)=12[P(96⩽X⩽104)−P(98⩽X⩽102)]

=13.0,−1

【解析】解：圆心O(0,0)到直线PQ的距离为：12−222=22，

设直线PQ的方程为：y=kx+b，

则b1+k2=22，

联立方程：y=kx+bx2=4y，消去y得，x2−4kx−4b=0，

因为直线PQ与抛物线x2=4y相切，所以Δ=4k2+16b=0，得k2=−b14.−1,1【解析】解：由f(0)=1，得−a−b=1，得b=−a−1，

f′x=2x−aex=2exxex−a2，

因为函数f(x)恰有一个极值点，则2exxex−a2=0仅有一个实数根，

即函数ℎ(x)=xex与函数y=a2仅有一个交点，

则

ℎ′x=1·ex−x·exex2=1−xex，

由ℎ′x>0，得x<1，由ℎ′x<0，得x>1，

则函数ℎ(x)在−∞,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，

如图所示：

则a2⩽0，得a⩽0，

则bea=−a−1ea，a⩽0，

令φ(x)=15.解：(1)设{an}的首项为a1，公差为d(d≠0)，

∵S3=9，∴3a1+3×22d=9，即a1+d=3． ①

又∵a2，a5，a14成等比数列，即a52=a2⋅a14，

∴(a1+4d)2=(a1+d)⋅(a【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组(并项)法求和，是中档题．

(1)直接利用等差数列的性质求出公差和首项，进一步确定通项公式．

(2)利用(1)的结论得出an+bn，进一步利用分组16.解：(1)设AC∩BD=O，如图1，连接FC，FO.因为四边形ACEF为菱形且∠CAF=π3，

所以△AFC为等边三角形，则AC⊥FO．

四边形ABCD是边长为2的正方形，所以AC⊥BD．

又因为FO∩BD=O，FO，BD⊂面BDF，故AC⊥面BDF，

∵EF//AC，∴EF⊥面BDF．

∴VB−DEF=VE−BDF=13SΔBDF⋅|EF|=13×12×2×3×2=233，

(2)因为平面ACEF⊥平面ABCD，且面ACEF∩面ABCD=AC，BD⊂面ABCD，

在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以BD⊥面ACEF，FO⊂面ACEF，

∴BD⊥FO，

又由(1)知AC⊥FO．

如图2，以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.可得：A(0,−1,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，F(0,0,3)，E(0,2,3).设面BAF的法向量为m=(x1,【解析】本题主要考查棱锥的体积、平面与平面所成角的向量求法等，属于中档题．

(1)利用VB−DEF=VE−BDF=13SΔBDF⋅|EF|=13×12×2×3×2=217.解：(1)依题意可得，a=20，b=40，c=20，d=10，n=90．

零假设为H0:购车种类与性别无关联．

依据列联表中数据，经计算得到：χ2=90×(20×10−40×20)240×50×60×30=9>7.879．

所以，根据小概率α=0.005得独立性检验，

我们判断购物种类与性别有关，此判断犯错误概率不大于0.005．

(2) ①P(A|B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=2030=23，

P(B|A)=P(BA)P(A)=n(BA)n(A)=2040=12．

 ②设定事件C:在购车群体中，男性购买新能源汽车．

则P(C)=2060=1【解析】本题主要考查独立性检验、离散型随机变量的均值等，属于中档题．

(1)计算得到χ2=90×(20×10−40×20)240×50×60×30=9>7.879即可；

(2) ①利用P(A|B)=P(AB)P(B)=n(A18.解：(1)当a=2时，f(x)=4lnx−2x+2x(x≥1)，

∴f′(x)=4x−2−2x2=−2(x−1)2x2≤0恒成立，

∴f(x)在[1,+∞)上单调递减.所以f(x)max=f(1)=0;