2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足1−z1+z=i(i为虚数单位)，则z=(

)A.i B.−i C.1+i D.1−i2.在△ABC中，AB⋅AC=λBAA.若λμ>0，则△ABC是锐角三角形 B.若λμ>0，则△ABC是钝角三角形

C.若λμ<0，则△ABC是锐角三角形 D.若λμ<0，则△ABC是钝角三角形3.设{an}是公比为q(q≠−1)的无穷等比数列，Sn为其前n项和.若a1>0，则“q>0A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件4.已知平面向量a,b满足|a|=1,〈b,A.2 B.2+1 C.3二、填空题：本题共12小题，共54分。5.函数y=cos(−2x)的最小正周期为______．6.设t∈R，向量a=(2,3)，b=(1−t,t).若a⊥b，则t=7.若复数z是方程x2+2x+3=0的一个根，则|z|=______．8.计算：n=1+∞(139.设λ∈R，a、b是夹角为120°的两个单位向量，若a+λb在a方向上的投影为2a，则λ=10.函数y=sin(2x−π6)11.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若22b是a、c的等比中项，则角B12.已知cos(α+β)=34，cos(α−β)=1413.已知△ABC是边长为6的等边三角形，M是△ABC的内切圆上一动点，则AB⋅AM的最大值为______．14.若0<α<π，且3sinα=1+cosα，则tanα=______．15.设ω>0，0≤φ<π，f(x)=2sin(ωx+φ).如图所示，函数y=f(x)的图像与坐标轴依次交于A、B、C三点，直线BC交函数y=f(x)的图像于点D.若A(−2,0)，且坐标原点O为△ABD的重心，则tan∠ABD=______．

16.已知各项均为正整数的数列a1，a2，…，a8满足：对任意正整数n(2≤n≤7)，均存在i(1≤i≤n−1)，使得an+1=2三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

在△ABC中，设角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知3c=3bcosA+asinB．

(1)求角B的大小；

(2)当a=22，b=2318.(本小题14分)

已知z为虚数，且z+1z为实数．

(1)求证：|z|=1；

(2)若z2−zz−19.(本小题14分)

设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，且2Snn+n=2an+1．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若{b20.(本小题18分)

设0≤φ<π，f(x)=sin(x+φ).已知函数y=f(x)的图像关于直线x=π2成轴对称．

(1)求函数y=f(x)的表达式；

(2)若tanθ=2，且θ为锐角，求f(4θ)；

(3)设α≥0，g(x)=[f(x)]2+af(x)−21.(本小题18分)

设n(n≥3)是给定的正整数.对于数列a1，a2，…，an，令集合S={ai+aj|1≤i≤j≤n}．

(1)对于数列−2，0，1，直接写出集合S；(用列举法表示)

(2)设常数d>0.若a1，a2，…，an是以a1为首项，d为公差的等差数列，求证：集合S的元素个数为2n−1；

(3)若a1，a2答案解析1.【答案】B

【解析】解：若复数z满足1−z1+z=i，

则z=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=【解析】解：在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

则由AB⋅AC=λBA⋅BC=μCA⋅CB，

可得bccosA=λaccosB=μabcosC，

即bcosA=λacosBccosA=μacosC，

当λ>0，μ>0时，A，B，C均为锐角；

当λ<0，μ<0时，A为钝角，B，C为锐角；

当λ>0，μ<0时，C为钝角，A，B为锐角；

当λ<0，μ>0时，B为钝角，A，C为锐角；

综上，选项【解析】解：根据题意，无穷等比数列{an}中，a1>0，

若q>0，则an=a1qn−1>0，必有Sn+1>Sn，所以Sn存在最小值是S1，

则“q>0”是“Sn存在最小值”的充分条件，

反之，当a1=1，q=−12时，Sn【解析】解：设a=OA,b=OB,a+b=OC，如图，

由题意，即在平行四边形OACB中，OA=1,∠OCA=π6，

延长OA至OD，使OA=AD，则CD=AB，

由正弦定理，O，A，C三点所在外接圆的直径2R=OAsin∠OCA=2，

所以R=1，设圆心为G，如图，

所以可知∠GOD=π5.【答案】π

【解析】解：y=cos2x，T=2π2=π．

故答案为：π．

6.【解析】解：向量a=(2,3)，b=(1−t,t)．a⊥b，

则2(1−t)+3t=0，解得t=−2．

故答案为：−2．

【解析】解：因为复数z是方程x2+2x+3=0的一个根，

所以z=−2±22i2=−1±2i，

则【解析】解：n=1+∞(13)2n−1可看作以13为首项，19为公比的等比数列的所有项的和，

即有i=1n(13)2i−1【解析】解：由题知，a+λb在向量a方向上的投影向量为(a+λb)⋅a|a|2a=2a，

则(a+λb)⋅a|a|2=2【解析】解：令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，

则−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，【解析】解：由题意得，12b2=ac，即b2=2ac，

则cosB=a2+c2−b22ac=a2+c【解析】解：因为cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=34，cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=14，

所以cosαcosβ=12，sinαsinβ=−14，

则tanαtanβ=【解析】解：以BC的中点D为坐标原点，BC所在直线为x轴，BC的中垂线AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

因为等边△ABC的边长为6，

所以△ABC的内切圆圆心O在AD上，半径r=6×6×326+6+6=3，

则B(−3,0)，C(3,0)，A(0,33)，O(0,3)，M(3cosα,3+3sinα)，14.【答案】34【解析】解：因为3sinα=1+cosα，

两边平方，可得9sin2α=1+cos2α+2cosα，

所以可得5cos2α+cosα−4=0，

解得cosα=45或−1，

又0<α<π，

所以cosα=45，sinα=1+cosα【解析】解：因为O为△ABD的重心，且A(−2,0)，

所以|OA|=23|AC|=2，解得|AC|=3，

所以C(1,0)，12T=3，

所以T=6，ω=π3，f(x)=2sin(πx3+φ)，

由f(2)=0，即sin(2π3+φ)=0，可得φ=kπ−2π3，k∈Z，

又0<φ<π，

所以φ=π3，f(x)=2sin(πx3+【解析】解：∵a2m=2m(1≤m≤4)，∴a2=2，a4=4，a6=8，a8=16；

当n=2时，i=1，a3=2a2−a1，即a1+a3=2a2，∴a1，a2，a3成等差数列，

又an∈N∗，∴a1=1，a3=3或a1=3，a3=1；

当n=3时，a4=2a3−a1或a4=2a3−a2，

当a1=1a3=3时，a4=5(舍)或a4=4；

当a1=3a3=1时，a4=−1(舍)或a4=0(舍)

∴a1=1，a2=2，a3=3，a4=4；

当n=4时，a5=2a4−a1或a5=2a4−a2或a5=2a4−a3，

∴a5=7或a5=6或a5=5；

当n=5时，∵a6=8，

∴a5=a6+ai2=8+ai2(1≤i≤4)，

当a5=7时，ai=6(舍)；当|a5=6时，ai=4，则i=4；当a5=5时，ai=2，则|i=2；

∴a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=6，a6=8；

或a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，a6=8；

当n=6时，a7=2a6【解析】(1)借助正弦定理将边化为角，结合C=π−(A+B)及两角和的正弦公式计算化简即可得；

(2)根据正弦定理即可计算出A，结合B可求出C，用正弦定理即可得到c，再使用面积公式即可得到面积．

18.【答案】(1)证明：设z=a+bi(a,b∈R且b≠0)，

于是z+1z=a+bi+1a+bi=a+bi+a−bia2+b2=a+aa2+b2+(b−ba2+b2)i，

因为z+1z∈R，

所以b−ba2+【解析】(1)由已知结合复数的四则运算对z+1z进行化简，结合基本概念及模长公式即可证明；

(2)结合复数的四则运算对z2−zz−z−进行化简，结合复数的基本概念即可求解．

19.【答案】解：(1)a1=1，且2Snn+n=2an+1，

即2Sn+n2=2nan+n，

当n≥2时，2Sn−1+(n−1)2=2(n−1)an−1+n−1，

两式相减可得2an+2n−1=2nan−2(n−1)an−1+1，

化为an−an−1=1，

即有数列{an}是首项和公差均为1的数列，

可得an=1+n−1=n；

(2)【解析】(1)由an和Sn的关系，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；

(2)由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项b120.【答案】解：(1)由题意f(π2)=sin(π2+φ)=±1，

所以π2+φ=kπ+π2,k∈Z，故φ=kπ，k∈Z，又0≤φ<π，

所以φ=0，故f(x)=sinx．

(2)因为tanθ=2，且θ为锐角，

所以tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×21−2=−22，

故由(1)f(4θ)=sin4θ=2sin2θcos2θsin22θ+cos22θ=2tan2θtan22θ+1=2×(−22)(−22)2+1=−429．

(3)由(1)g(x)=[f(x)]2+af(x)−13=sin2x+asinx−1【解析】(1)根据正弦函数对称轴方程x=kπ+π2,k∈Z即可求解；

(2)利用二倍角的正切公式求出tan2θ，再利用正弦形式的倍角公式、分母为“1”将f(4θ)变形后弦化切即可求解；

(3)根据零点定义令g(x)=0得sinx=±a24+13−a2，再数形结合根据函数y=sinx图像性质可求解．

21.【答案】解：(1)∵S={ai+aj|1≤i≤j≤n}，ai，aj∈{−2,0,1}，∴S={−4,−2,−1,0,1,2}；

(2)证明：若a1，a2，…，an为等差数列，d>0，可得{an}为递增数列，

由等差数列的性质am+an=ap+aq，可得集合S中的元素个数为n+n(n−1)2−(n−1)(n−2)2=2n−1；

(3)依题意可得an=2