2023-2024学年江西省宜春市高一下学期6月期末联考数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省宜春市高一下学期6月期末联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈N|x≤2}，B={x|−2<x≤3}，则A∩B=A.{0,1,2} B.{1,2} C.{0,1} D.{1}2.“tanα>0”是“α为第一象限角”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知向量a=(2,m)，b=(m,3)，若a⋅A.−2 B.0 C.1 4.已知sinα−2cosα=0，则cosA.49 B.−53 C.35.不等式(x−2)(1−2x)≥0的解集为A.xx>12 B.x12≤x≤26.若函数f(x)=x2+ax+1是定义在(−b,2b−2)上的偶函数，则A.14 B.54 C.747.一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为A.16 B.13 C.128.古希腊数学家特埃特图斯(Tℎeaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知AB=BC=CD=2，AB⊥BC，AC⊥CD，若DB=λAB+μACA.−22 B.22 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列函数中，表示同一个函数的是(

)A.y=x与y=x2−xx−1 B.y=x−2与y=(x−2)2

C.10.已知复数z=2+3iA.z的虚部为3 B.z是纯虚数

C.z的模是7 D.11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知E，F是线段A.△BEF的面积为定值 B.EF⊥AC

C.点A到直线EF的距离为定值 D.三棱锥E−AFB的体积不为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知2−ix=4+yi，其中x,y是实数，则x+y=

．13.函数f(x)=tan2x+π14.已知平面内A，B，C三点不共线，且点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OA⋅四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，已知在正四棱锥S−ABCD中，SA=5，AB=6．(1)求四棱锥S−ABCD的表面积；(2)求四棱锥S−ABCD的体积．16.(本小题15分)已知角α的终边经过点(1,2)．(1)求cosα−(2)求2sin217.(本小题15分)为了促进五一假期期间全区餐饮服务质量的提升，某市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了500名游客，把这500名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值和评分的中位数；(2)若游客的“认可系数”认可系数=认可程度平均分100不低于0.8518.(本小题17分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，c=2，(1)求sinB和a(2)求△ABC的面积．19.(本小题17分)如图，在三棱锥A−BCD中，∠DBC=90°，BD=3，BC=4，△ABC为等边三角形，cos∠ACD=25，点E，F分别是线段AD(1)证明：BD⊥平面ABC；(2)求点C到平面BEF的距离．

答案解析1.A

【解析】解：∵集合A={x∈N|x≤2}，B={x|−2<x≤3}，

∴A∩B={0,1,2}．

故选：A．2.B

【解析】解：若tanα>0，则角α是第一象限的角或角α是第三象限的角，所以充分性不成立．

反之，α是第一象限角，则tan α>0，所以必要性成立，

故选B3.C

【解析】解：向量a=(2,m)，b=(m,3)，

则

a⋅b=2m+3m=5m=5

所以实数m等于1

．4.D

【解析】解：由

sinα−2cosα=0

可得

cosα−4sin故选：D．5.B

【解析】原不等式即为(x−2)(2x−1)≤0，

解得12≤x≤2，

故原不等式的解集为{x|16.D

【解析】解：函数

f(x)=x2+ax+1

是定义在

所以

−b+2b−2=0a=0

，则

a=0b=2所以

f(x)=x2+1

，则

故选：D．7.C

【解析】

解：选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球，或第一次2号球，第二次1号球，则“选到3号球”的概率P=23×8.B

【解析】解：以C为坐标原点，CD，CA所在直线分别为x，y轴建立如图所示的坐标系，

由题意得AC=22，则A(0,22),B(2,2),C(0,0),D(−2,0),AB=(2,−2),AC=(0,−29.CD

【解析】解：对于选项A，y=x的定义域为R,y=x2−xx−1的定义域为所以不是同一个函数，故选项A错误；对于选项B，y=x−2的定义域为R,y=(x−2)2的定义域为R，

两函数的定义域相同，但因为y=对于选项C，y=x0=1的定义域为−∞,0所以是同一个函数，故选项C正确；对于选项D，fx=x2的定义域为R,St所以两函数是同一个函数，故选项D正确．故选：CD．10.AC

【解析】解：对于A，由虚部定义知z的虚部为3，故A正确;

对于B，纯虚数要求实部为0，故B错误;

对于C，|z|=22+(3)2=7，故C正确;

对于11.ABC

【解析】解：对于A，因为在△BEF中，高为B到EF的距离，即BB1的长度，为定值，

底边为EF的长度，也为定值，所以△BEF的面积为定值，故A正确；

对于B，因为EF在B1D1上，B1D1/​/BD，BD⊥AC，所以B1D1⊥AC，即EF⊥AC，故B正确；

对于C，点A到直线EF的距离等于点A因为AO⊥面BEF，而点A到平面BEF的距离即点A到平面BB1D因此V三棱锥E−AFB=V故选：ABC．12.0

【解析】解：因为2−ix=2x−xi=4+yi所以2x=4−x=y,

解得：所以x+y=0．故答案为：013.{x|x≠kπ【解析】解：令，

解得，

所以函数的定义域为

故答案为{x|x≠kπ2+3π14.垂

【解析】解：因为OA⋅OB=OB⋅OC⇔OB⋅(OA−OC)=0⇔15.解：(1)连接AC，BD相交于O，连接SO，

过点S作SE⊥BC于点E，连接OE，则SE是斜高，

在直角三角形SOB中，SO=SB2−OB2=52−(622)2=7，

在直角三角形SOE中，SE=SO【解析】本题考查正棱锥的结构特征及表面积的求解、体积的求解，属于中档题．

(1)根据棱锥的表面积公式即可求解，

(2)根据棱锥的体积公式即可求解．16.解：由条件知tanα=21=2，

(1)cos【解析】本题主要考查诱导公式，同角三角的基本关系式，属于基础题．

(1)由任意角正切的定义得tanα=2，利用诱导公式、同角三角的基本关系式求得正确答案；

(2)17.解：(1)由图可知：10×(x+0.015+0.02+0.03+0.025)=1，解得x=0.01．

因为[50,80)内的频率为0.1+0.15+0.2=0.45<0.5，

所以中位数位于区间[80,90)内，设中位数为m，

则0.45+(m−80)×0.030=0.5，解得m=2453，

所以评分的中位数为2453．

(2)由图可知，认可程度平均分为：

x=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5<0.85×100=85【解析】本题考查频率分布直方图、中位数及平均值，属基础题．

(1)由频率分布直方图中所有频率和为1可求得x，再求评分的中位数即可；

(2)由频率分布直方图求出认可程度平均分后即可．18.解：(1)在△ABC中，由cosC=−3又由csinC=bsinB及由余弦定理得c2=a因为a>0，故解得a=所以sinB=3(2)由(1)知，a=63所以△ABC的面积S△ABC【解析】本题考查正余弦定理及三角形面积，属于基础题．

(1)先求出sinC，由正弦定理得出sinB，再由余弦定理求出a；

(2)由(1)及三角形面积公式求解即可．19.(1)证明：∵∠DBC=90∘，BD=3，BC=4，∴CD=5，

又△ABC为等边三角形，∴AC=BC=4，

在△ACD中，由余弦定理得cos∠ACD=AC2+CD2−AD22AC⋅CD=42+52−AD22×4×5=25，解得AD=5，

∴AB2+BD2=AD2，即BD⊥BA．

∵BD⊥BC，BA∩BC=B，BA，BC⊂平面ABC，

∴BD⊥平面ABC．

(2)解：取BC中点O，连接AO，∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC，

又由(1)可知BD⊥平面ABC，AO⊂平面ABC，∴BD⊥AO，

又∵BD∩BC=B，且BD，BC⊂平面BCD，∴AO⊥平面BCD．