2023-2024学年广东省佛山市高二下学期期末教学质量检测数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省佛山市高二下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(x−2)6的展开式中，x3的系数为A.−160 B.−20 C.20 D.1602.甲、乙两校各有3名教师报名支教，现从这6名教师中随机派2名教师，则被派出的2名教师来自同一所学校的概率为(

)A.15 B.25 C.123.函数f(x)=x3−6x2+16A.−16 B.−9 C.9 D.164.若将文盲定义为0，半文盲定义为1，小学定义为2，初中定义为3，职中定义为4，高中定义为5，大专定义为6，大学本科定义为7，硕士及以上学历定义为8，根据调查，某发达地区教育级别与月均纯收入(单位：万元)的关系如下表：学历初中职中高中大专本科教育级别34567月均纯收入0.400.550.701.151.20由回归分析，回归直线方程的斜率b=0.22，可预测该地区具有硕士及以上学历的月平均纯收入为(

)A.1.40万元 B.1.42万元 C.1.44万元 D.1.46万元5.某小组5人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中抽取一张，则恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有(

)A.9种 B.11种 C.44种 D.45种6.给定两个随机事件A，B，且P(A)>0，P(B)>0，则P(A|B)=P(A|B)的充要条件是(

)A.P(A|B)=12 B.P(A|B)=127.若1e<a<b<1，则(

)A.ba<bb<aa<a8.佛山第一峰位于高明区皂幕山，其海拔最高达到804.5米.要登上皂幕山的最高峰，一共需要走6666级阶梯.小明和小吉同时从第1级阶梯出发登峰，假设他们在前30分钟中，每分钟走50级阶梯，由于体力有限，小明每隔30分钟，其每分钟走的阶梯数减少5级，而小吉每隔30分钟，其速度降低10%，直到登上最高峰，则(

)(参考数据：0.94≈0.66，0.95≈0.59A.小明到达最高峰的时间比小吉早超过30分钟

B.小吉到达最高峰的时间比小明早超过30分钟

C.小明到达最高峰的时间比小吉早，但差距不超过30分钟

D.小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过30分钟二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在平面直角坐标系xOy中，过点P有且只有一条直线与曲线y=lnx相切，则点P的坐标可以是(

)A.(0,1) B.(1,0) C.(2,0) D.(1,1)10.已知数列{an}(n∈N∗)的前n项和为SA.Sn=(n+1)(n−1)

B.Sn=an

C.对∀m，n∈N11.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人.下列说法正确的是(

)A.已知第2次传球后球在甲手中，则球是由乙传给甲的概率为13

B.已知第2次传球后球在丙手中，则球是由丁传给丙的概率为13

C.第n次传球后球回到甲手中的不同传球方式共有14[3n+3⋅(−1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某厂家生产的产品的质量指标服从正态分布N(171,σ2).质量指标介于162至180之间的产品为良品,为使这种产品的良品率达到99.73%,则需调整生产工艺,使得σ至多为

.(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<3σ)=0.9973)13.数列{an}满足a1=1，且an+1=an14.已知f(x)是定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)的偶函数，当x>0时，有xf′(x)−2f(x)=(x−2)ex+2，且f(1)=e−2，则f(x)=

;不等式f(x)>e3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某工厂制造甲、乙、丙三件产品，制造过程必须先后经过两道工序.当第一道工序完成并合格后方可进入第二道工序，两道工序过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次为45，34，23，经过第二道工序后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为34，(1)求第一道工序完成后至少有一件产品合格的概率;(2)若前后两道工序均合格的产品为合格产品，记合格产品的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．16.(本小题15分)已知数列{an}(n∈N∗)的前n项和为Sn，a(1)证明：{an}是等比数列，并求出(2)设bn=log2(4an)，数列{17.(本小题15分)高考招生制度改革后，我省实行“3+1+2”模式，“3”为语文、数学、外语3门统一科目，“1”为考生在物理、历史两门科目中选择1门作为首选科目，“2”为考生在思想政治、地理、化学、生物学4门科目中选择2门作为再选科目.有人认为高考选考科目的确定与性别有关，为此，某教育机构随机调查了一所学校的n名学生，其中男生占调查人数的12，已知男生有910的人选了物理，而女生有(1)完成下列2×2列联表：物理历史总计男生女生总计n(2)若在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可认为“性别与选科有关”，那么本次被调查的人数至少有多少?(3)从物理类考生和历史类考生中各抽取1人，若抽取的2人性别恰好相同，求这2人是女生的概率．附：χα0.050.010.0050.001χ3.8416.6357.87910.82818.(本小题17分)已知函数f(x)=xlnx+1(1)求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程;(2)证明：函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间(0,1)内有且只有一个极值点;(3)证明：f(x)>g(x)．19.(本小题17分)已知函数f(x)=(x−1)(e(1)f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增;(2)若f(x)的两个零点为x1，x(ⅰ)(ⅱ)x2−答案解析1.A

【解析】解：(x−2)Tr+1令6−r=3得r=3得x3项的系数为C2.B

【解析】解：从6名教师中任选2名教师的种数为C6其中来自同一学校的种数为2C故所求事件的概率P=23.A

【解析】解：因为f′(x)=3x2−12x=3x(x−4)，

结合导数符号得f(x)在[0,4)上为减函数，在(4,5]上为增函数，

所以f(x)在x=4时有唯一的极小值，即最小值，

所以函数f(x)=x3−64.D

【解析】解：设教育级别为x，月均纯收入为y，

由题意，得x=3+4+5+6+75=5,y=0.40+0.55+0.70+1.15+1.205=0.8，

则a=y−bx=0.8−0.22×5=−0.35.D

【解析】解：由题意，恰有1人抽到自己写的贺年卡，即其他4人都取到不是自己写的贺年卡，

先分析其他4人都取到不是自己写的贺年的情况，

设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，乙取c或d(2种方式)，不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的根据加法原理和乘法原理，共有3×(1+2)=9种情况，

则恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有5×9=45种6.C

【解析】解：由条件概率公式可得

P(A|B)=P(A|B)⇔P(AB)P(B)=P(AB)7.C

【解析】解：因为1e<a<1，

所以y=ax为减函数，

又a<b，

所以ab<aa，

同理可得bb<ba．

令f(x)=xlnx，1e<x<1，

则f′(x)=1+lnx>0，

即函数f(x)在区间(1e,1)上递增，

又1e<a<b<1，

所以alna<blnb，

即ln8.D

【解析】解：∵(50+45+40+35+30)×30+25×26=6650，

(50+45+40+35+30)×30+25×27=6675

∴小明走了5×30+27=177分钟，

∵1500(1+0.9+0.92+0.93+0.94)≈6142.65，

1500(1+0.9+0.92+0.939.AB

【解析】解：∵过点P有且只有一条直线与曲线y=lnx相切，

∴当点P在曲线y=lnx上时，切线只有一条，故B正确；

当点P不在曲线y=lnx上时，y′=1x，

曲线y=lnx在x0处的切线方程为y=xx0+lnx0−1，

点P(0,1)在切线上时，1=lnx0−1⇒x0=e2，故A正确；

点P(2,0)在切线上时，0=2x0+lnx0−1⇒x0lnx0−x0+2=0，

令f(x)=xlnx−x+2，则f′(x)=lnx>0⇒x>1，

f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，

由10.BCD

【解析】解：对于A，Sn=(n+1)(n−1)=n2−1，则a1=S1=0，又Sn−1=n−12−1，n⩾2，

故Sn−Sn−1=n2−1−n−12−1=2n−1,n⩾2，则an=0,n=12n−1,n⩾2，数列{an}不为等差数列，故错误；

对于B，Sn=an，11.ACD

【解析】解：前2次传球的树状图如图所示：

对于A，第2次传球后球在甲手中，有乙−甲，丙−甲，丁−甲，

故球是由乙传给甲的概率为13，故A正确；

对于B，第2次传球后球在丙手中，有乙−丙，丁−丙，

故球是由丁传给丙的概率为12，故B错误；

对于C，n次传球后有3n种传法，求n次后在甲手中的概率，记为an，

则an+1=131−an，所以an+1−14=−13an−14，

又a1=0，所以an−14是以−14为首项，−13为公比的等比数列，

所以an−14=−14×−1312.3

【解析】解：依题可知,μ=171,再根据题意以及正态曲线的特征可知,

|X-171|<3σ的解集A⊆(162,180),

由|X-171|<3σ可得,171-3σ<X<171+3σ,

所以171−3σ⩾162171+3σ⩽180，解得:σ≤3,

故σ至多为3.

故答案为13.40482025【解析】解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1−an=n+1(n∈N∗)，

∴当n≥2时，an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+…+(a2−a1)+a1

=n+(n−1)+…+2+1=n(n+1)2，14.e|x|【解析】解：由题意，因为当x>0时，xf′(x)−2f(x)=(x−2)ex+2，

所以xf′(x)−2f(x)x3=(x−2)ex+2x3，

因为(f(x)x2)′=xf′(x)−2f(x)x3,(ex−1x2−1)′=(x−2)ex+2x3，

所以f(x)x2=ex−1x2−1+C，又f(1)=e−2，f112=e−2，

所以e−112−1+C=e−2，得C=0．

所以f(x)x2=ex−1x2−1

所以当x>0时，f(x)=ex15.解：分别记甲、乙、丙经第一道工序后合格为事件A1，A2，A3，

(1)设E表示第一道工序后至少有一件合格，

则P(E)=1−P(A1·A2·A3)=1−P(A1)P(A2)P(A3)

=1−[1−P(A1)][1−P(A2)][1−P(A3)]

=1−15×14×13=5960．

即第一道工序完成后至少有一件产品合格的概率为59ξ0123P8365427

故随机变量ξ的期望E(ξ)=np=3×0.6=1.8．

【解析】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式、离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，是中档题．

(1)由对立事件和相互独立事件的概率乘法公式可得结果；

(2)因为每件产品经过两道工序后合格的概率均为p=35，所以ξ∽B(3,0.6)，得出对应概率，可得随机变量16.解：(1)当n≥2时，an+1an=Sn+1−SnSn−Sn−1=2，

故a3a2=2，又因为3a2=a3+2，解得a2=2，

故a2a1=2，故an+1an=2对于n∈N∗均成立，

故{【解析】本题考查了等比数列的判定与通项公式，以及运用错位相减法求和，属于中档题．

(1)由an与Sn、Sn−1的关系求出{an}的通项公式；

17.解：(1)依题意得，被调查的男生人数为n2，其中有9n20的男生选物理;

被调查的女生人数为n2，其中有7n20的女生选物理;物理历史总计男生9nnn女生7n3nn总计4nnn

(2)由列联表数据，得χ2=n(9n20·3n20−7n20·n20)n2·n2·4n5·n5=n16．

要使在犯错误的概率不超过0.01的前提下，

可认为“性别与选科有关”，

则n16≥6.635，解得n≥106.16，

又n∈N∗且9n【解析】本题考查了独立性检验和条件概率的概念与计算，是中档题．

(1)由条件得出2×2列联表；

(2)由列联表数据得χ2=n16≥6.635，结合18.解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=lnx+1．

因为f(1)=1，f′(1)=1，

所以曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y=x．

(2)ℎ′(x)=lnx+1−cosx.

当x∈(0,1)时，因为y=lnx和y=1−cosx都是增函数，

所以ℎ′(x)=lnx+1−cosx是增函数．

又因为ℎ′(1e)=−cos1e<0，ℎ′(1)=1−cos1>0，

所以∃x0∈(1e,1)，使得ℎ′(x0)=0．

当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0;当x∈(x0,1)时，ℎ′(x)>0．

于是，ℎ(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,1)上单调递增．

因此，ℎ(x)在区间(0,1)内有且只有一个极小值点x0，无极大值点．

(3)令F(x)=xlnx+1−x，则F′(x)=lnx.【解析】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的极值和利用导数证明不等式，是较难题．

(1)先求导，代入切点横坐标得出切线斜率，进而得出切线方程；

(2)先求导，利用导数研究单调性，可得函数的极值点个数；

(3)令F(x)=xlnx+1−x，令19.解：(1)f′(x)=xex−1，

令k(x)=f′(x)=xex−1，则k′(x)=(x+1)ex，

当x<−1时，k′(x)<0；当x>−1，k′(x)>0，

所以f′(x)在(−∞,−1)上递减，在(−1,+∞)