2023-2024学年广东省湛江一中高一（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省湛江一中高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|log2x<2}，N={x|x2A.(0,4) B.(0,2) C.(−1,4) D.(−1,2)2.设a∈R，则“a>1”是“a2>1”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若a=log0.32，b=log23A.c>b>a B.b>c>a C.c>a>b D.a>b>c4.将函数y=cos(3x+2π3)的图象平移后所得的图象对应的函数为A.向左平移π18个单位 B.向右平移5π18个单位

C.向右平移π18个单位 D.5.函数f(x)=exe2xA. B.

C. D.6.已知函数f(x)=lnx+ex+x−5，则方程f(x)=0在下列哪个区间上必有实数根A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.不能确定7.如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心O到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈.若初始位置P0是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设从点P0运动到点P时所经过的时间为t(单位：分钟)，且此时点P距离地面的高度为ℎ(单位：米)，则ℎ是关于t的函数.当t∈R时，ℎ(t)=(

)A.40sin(π15t−π6)+41 B.40sin(8.设偶函数f(x)在[0,2]上是增函数，且f(−2)=2，若对所有的x∈[−2,2]及任意的m∈[−1,1]都满足f(x)≤t2−mt−4，则t的取值范围是A.[−1,3] B.(−1,1)

C.(−∞,−3]∪[3,+∞) D.[−3,3]二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a=log62，36bA.b=log63 B.ab=1 C.log10.下列函数既是偶函数，又在(−∞,0)上是减函数的是(

)A.y=ex+e−x B.y=311.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(

)A.函数f(x)的解析式f(x)=3sin(2x+π3)

B.直线x=−1112π是函数f(x)图象的一条对称轴

C.f(x)在区间(3π2,11π12.已知函数f(x)=ln(xA.f(lg3)+f(lg13)=2

B.函数f(x)的图象关于点(0,1)对称

C.函数f(x)在定义域上单调递减

D.若实数a，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知cosx=23，则sinxsin2x14.已知x>0，则xx2+115.若定义运算a⊕b=b,a<b,a,a≥b,则函数f(x)=e16.若实数x1，x2满足ex1+x1−2=0四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知函数f(x)=5sin(3x+π4)+2．

(1)求函数f(x)的最小正周期、图象的对称中心及其单调递减区间；

(2)求函数f(x)在[−5π3618.(本小题12分)

已知α∈(π6,7π6)，且sin(α+π3)=219.(本小题12分)

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=a⋅2x−2−x，且f(−1)=32．

(1)求a的值，并求出f(x)的解析式；

(2)20.(本小题12分)

如图，计划依靠一面墙建一个植物角.墙长为18m.用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物．

(1)若每个长方形区域的面积为24m2，要使围成四个区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是多少米？并求栅栏总长度的最小值；

(2)若每个长方形区域的长为xm(x>2)，宽为长的一半.每米栅栏价格为5元，区域的重建费用为每平方米10元.要使总费用不超过180元，求长方形区域的长x21.(本小题12分)

已知函数f(x)=log3(x2+ax+1)(a∈R)．

(1)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围；

(2)若f(x)的值域为R，求a的取值范围；

(3)设a>0，若对任意t∈[0,+∞)，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过22.(本小题12分)

设a∈R，函数f(x)=12cos2x+cosx+1−a,x∈(π2,π)．

(1)讨论函数f(x)的零点个数；

(2)若函数f(x)恰有两个零点x1，答案解析1.【答案】B

【解析】解：∵M={x|log2x<2}=(0,4)，N={x|x2−x−2<0}=(−1,2)，

∴M⋂N=(0,2)，

故选：B【解析】解：因为当a>1时，一定有a2>1；当a2>1时，a>1或a<−1，

所以“a>1”是“a2>1”充分不必要条件，

故选：A【解析】解：∵a=log0.32，b=log23，c=log69，

∴a<0<c=log69=log【解析】解：设平移距离为α(α∈R)，将函数y=cos(3x+2π3)图象上的各点的横坐标平移α个单位，

可得y=cos[3(x+α)+2π3]=cos(3x+3α+2π3)，

因为y=sin3x=cos(3x−π2+2kπ)，k∈Z，

则3α+2π3【解析】解：f(x)的定义域为{x|x≠0}，由f(‐x)=e‐xe‐2x−1=e‐x·e2x1−e2x=ex6.【答案】B

【解析】解：易知函数y=lnx，y=ex，y=x−5在(0,+∞)上都单调递增，

所以f(x)=lnx+ex+x−5在(0,+∞)上单调递增，

又f(1)=0+e+1−5=e−4<0，f(2)=ln2+e2−3>0，

所以f(1)f(2)<0，

又因为函数连续不间断，由零点的存在性定理知，

函数f(x)在(1,2)内有零点，

即方程f(x)=0在(1,2)必有实数根．

【解析】解：由题意得∠xOP0=π6，而−π6是以Ox为始边，OP0为终边的角，

由OP在tmin内转过的角为2π30t=π15t，可知以Ox为始边，

OP为终边的角为π15t−π6，则点P【解析】解：因为偶函数f(x)在[0,2]上是增函数，且f(−2)=2，所以f(x)的最大值为2，

由对所有的x∈[−2,2]及任意的m∈[−1,1]都满足f(x)≤t2−mt−4，

则只需t2−mt−4≥2，即t2−mt−6≥0对任意的m∈[−1,1]恒成立，

令g(m)=t2−mt−6，则满足g(1)=t2−t−6≥0g(−1)=t2+t−6≥0，解得t≥3或【解析】解：A选项，因为36b=9，所以b=log369=log6232=log63，A正确；

B选项，因为0<log62<1，0<log63<1，所以ab=log62×log63<1，B【解析】解：对于A中，由函数f(x)=ex+e−x的定义域为R，关于原点对称，

且f(−x)=e−x+ex=f(x)，所以f(x)为偶函数，

又由函数y=ex在(−∞,0)单调递增，结合函数y=x+1x在定义域(0,1)单调递减，

所以y=ex+e−x在(−∞,0)单调递减，所以A正确；

对于B中，函数f(x)=3|x|的定义域为R，且f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，

当x<0时，可得y=3|x|=3−x=(13)x为单调递减函数，所以B正确；

对于C中，由f(x)=lg(x2+1)的定义域为R，且f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，

当x∈(−∞,0)时，函数y=x【解析】解：函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，

由图知函数f(x)的最小正周期T=43×(5π6−π12)=π，

所以ω=2ππ=2，所以f(x)=3sin(2x+φ)．

将点(π12,3)代入，得3=3sin(π6+φ)，

所以π6+φ=π2+2kπ(k∈Z)，解得φ=π3+2kπ(k∈Z)，又|φ|<π2，

所以φ=π3，所以f(x)=3sin(2x+π3)，故A正确；

12.【答案】ABD

【解析】解：对于A选项，对任意的x∈R，x2+1+x>|x|+x≥0，

所以函数f(x)=ln(x2+1+x)+x+1的定义域为R，

又因为f(−x)+f(x)=[ln(x2+1−x)+(−x)+1]+ln(x2+1+x)+x+1=ln(x2+1−x2)+2=2，所以f(lg3)+f(lg13)=f(lg3)+f(−lg3)=2，故A正确；

对于B选项，因为函数f(x)满足f(−x)+f(x)=2，故函数f(x)的图象关于点(0,1)对称，故B正确；

对于C选项，对于函数ℎ(x)=ln(x2+1+x)，该函数的定义域为R，ℎ(−x)+ℎ(x)=ln(x2+1−x)+ln(x13.【答案】3【解析】解：由正弦的倍角公式，可得sinxsin2x=sinx2sinxcosx=12cosx=3【解析】解：∵x>0，

∴xx2+1=1x+1x≤12x⋅1x=12【解析】解：依题意，由ex<e−x，得x<0，由ex≥e−x解得x≥0，因此f(x)=e−x,x<0ex,x≥0，

当x<0时，−x>0，e−x>e0=1，即函数f(x)的取值集合为(1,+∞)；

当x≥0时，ex【解析】解：令f(x)=ex+x−2，易知f(x)为单调递增函数，f(x1)=0，

即f(x)有且仅有一个零点，

又由题可知1x2−lnx2−2=0，即e−lnx2+(−lnx2)−2=0，

所以f(−lnx2)=0，

所以x1=−lnx2，

即x2=e−x1，

又ex1+x1−2=0，得2−x1=ex1，

所以x2(2−x1)=e−x1⋅ex1=1．

【解析】(1)根据题意，结合三角函数的图象与性质，准确计算，即可求解；

(2)由x∈[−5π36,π6]，得到3x+π4∈[−π6,3π4]，结合正弦函数的性质，即可求解．

18.【答案】解：(1)因为sin(α+π3)=255，

所以cos(α+π3)=±1−sin2(α+【解析】(1)利用平方关系可得cos(α+π3)=±55，再结合角α的范围，可得cos(α+π3)=−55，进而得到tan(α+π3)，由此通过配角容易得解；

(2)利用二倍角公式，再结合cos(2α+5π12)=cos[2(α+π3)−π4]即可得解．

19.【答案】解：(1)解：因为f(x)是偶函数，所以f(−1)=f(1)=2a−12=32，解得a=1，

当x<0时，可得−x>0，可得f(x)=f(−x)=2−x−2−(−x)=2−x−2【解析】(1)由f(−1)=32，求得a=1，再结合函数的奇偶性，求得x<0时，f(x)=2−x−2x，进而求得函数f(x)的解析式；

(2)由(1)，把mf(x)−4x−4−x≤0在(0,+∞)上恒成立，转化为m≤4x+4−x2x−2−x，结合基本不等式，即可求解．

20.【答案】解：(1)设每个长方形区域的长为xm(0<x≤9)，

则宽为24xm，

栅栏总长为l=4x+6×24x=4x+144x≥24×144=48，当且仅当4x=144x，即x=6时等号成立，

故每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m；

(2)由题可知每个长方形区域的长为xm，宽为x2m【解析】(1)利用基本不等式，即可求得栅栏总长度的最小值；

(2)根据题意可知总费用y=10×2x2+5×7x=20x2+35x，解不等式即可求得x的取值范围．

21.【答案】解：(1)函数f(x)=log3(x2+ax+1)的定义域为R，

即x2+ax+1>0在x∈R上恒成立，则满足Δ=a2−4<0，解得−2<a<2，

所以实数a的取值范围是(−2,2)；

(2)解：函数f(x)=log3(x2+ax+1)的值域为R，

则满足Δ=a2−4≥0，解得a≤−2或a≥2，即实数a的取值范围(−∞,−2]∪[2,+∞)；

(3)解：因为a>0且t≥0，可得f(x)在[t,t+1]上单调递增，

所以f(x)min=f(t)=log3(t2+at+1)，f(x)max=f(t+1)=log3[(t+1)2+a(t+1)+1]=log3[t2+(a+2)t+a+2]，

所以f(t+1)−f(t)≤1【解析】(1)根据题意，转化为x2+ax+1>0在x∈R上恒成立，结合Δ<0，即可求解；

(2)根据题意，结合f(x)的值域为R，得到Δ=a2−4≥0，即可求解；

(3)根据题意，求得f(x)min=log3(t2+at+1)和f(x)max=log3[t2+(a+2)t+a+2]，转化为2t2+(2a−2)t+1−a≥0恒成立，令g(t)=2t2+(2a−2)t+1−a，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解．

22.【答案】解：(1)由f(x)=12cos2x+cosx+1−a=12(2cos2x−1)+cosx+1−a=cos2x+co