2023-2024学年江西省抚州市下学期高二年级期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省抚州市下学期高二年级期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=1x，则limx→0f(2+x)−f(2)A.−14 B.14 C.−2.在数列{an}中，若a1=1，aA.−2 B.4 C.1 D.−3.2024年是安徽省实施“3+2+1”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是(

)A.16 B.12 C.234.设0<a<1，n∈R，随机变量X的分布列是Xnn+1p1−aa则方差D(X)(

)A.既与n有关，也与a有关 B.与n有关，但与a无关

C.与a有关，但与n无关 D.既与n无关，也与a无关5.已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，TnA.1311 B.2110 C.13226.已知函数f(x)=lnx−(x−a)2(a∈R)在区间[1,+∞)上存在单调递增区间，则实数A.[12,+∞) B.(12,+∞)7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，⋯.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”.记Sn为“斐波那契数列”{an}的前n项和，若SA.ba+1 B.b−1a+1 C.b2a+18.已知函数f(x)=aex−1−lnx+lna，若A.(−∞,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.函数y=f(x)，x∈[−2,5]的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是(

)

A.f(x)的减区间是[1,3] B.f(x)的增区间是[−1,2]，[4,5]

C.f(x)有一个极大值点，两个极小值点 D.f(x)有三个零点10.下列说法正确的是(

)A.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件

B.若X~N(1,σ2),P(X≥2)=0.2,则P(0<X<1)=0.3

C.已知0<P(M)<1,0<P(N)<1,若P(M|N)+P(M)=1,则事件M,N相互独立

D.根据分类变量X与Y的成对样本数据,计算得到χ2=3.712,依据α=0.05的独立性检验(​​​​​​​χ0.05=3.841),可判断X与11.已知函数f(x)=x2+x−1eA.函数f(x)存在三个不同的零点

B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值

C.若x∈[t,+∞)时，f(x)max=5e2，则t的最小值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线y=3x−b与曲线y=ln(2x)+x−1相切，则b=

．13.小王喜爱逛街和吃火锅.在周末，她下午去逛街的概率为35.若她下午去逛街，则晚上一定去吃火锅;若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为16.已知小王在某个周末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为14.已知A，B分别是函数f(x)=2x+emx−ln(emx+x−1)和g(x)=x图象上的动点，若对任意的m>0，都有四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知公差不为0的等差数列{an}首项a1=1，且a(1)求数列{an(2)设bn=an⋅2n，求数列16.(本小题15分)已知函数f(x)=(1)求f(x)的单调增区间;(2)方程f(x)=m在x∈[−1,2]有解，求实数m的范围．17.(本小题15分)已知数列{an}的首项a(1)求数列{an(2)若数列{1an2}的前n项和为18.(本小题17分)某小区在2024年的元旦举办了联欢会,现场来了1000位居民.联欢会临近结束时,物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节,这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示,且X~N(45,225).(1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数(四舍五入取整数);(2)奖品分为一等奖和二等奖,已知每个人摸到一等奖的概率为40%,摸到二等奖的概率为60%,每个人摸奖相互独立,设恰好有n(0≤n≤20)个人摸到一等奖的概率为P(n),求当P(n)取得最大值时n的值.附:若X~N(μ,σ2),则P{|X-μ|<σ}=0.6827,P{|X-μ|<2σ}=0.9545.19.(本小题17分)已知函数f(x)=ex−ax−1(a为常数)，曲线y=f(x)在与y轴的交点A(1)求a的值及函数f(x)的单调区间;

(2)证明：当x>0时，ex>x2+1;(3)证明：当n∈参考答案1.A

2.B

3.D

4.C

5.D

6.B

7.A

8.C

9.BC

10.BC

11.BD

12.2

13.91014.215.解：(1)设等差数列

an

的公差为

d

，

由题意，得

a解得

d=2a1=2

或

d=0

(舍)，

∴

(2)

an=2n−1

，

bn=2n−1⋅2n

，

此时

Sn=1×21+3×2−Sn=2+8(1+2+⋯+2n−2)−(2n−1)⋅2n+1

=

16.解：(1)f(x)=x3+x2−x+1的定义域为R，

f′(x)=3x2+2x−1=(x+1)(3x−1)，

当x∈(−∞,−1)∪(13,+∞)时，f′(x)>0;x∈(−1,13)时，f′(x)<0;

故f(x)单调增区间为(−∞,−1)，(13,+∞);

(2)由(1)知，函数f(x)在区间(−1,13)，(13,2)上单调递增，在区间17.解：(1)因为

nan=(n+1)an−1

，

n⩾2

，

∴a∴

数列

ann+1

是以每一项均为则

ann+1=1

，即

an=n+1(n∈N∗)

；

(2)由(1)得

18.解:(1)因为X~N(45,225),所以σ=15,

则P(X≥60)=P(X≥μ+σ)=1−0.68272=0.15865,

所以现场年龄不低于60岁的人数大约为1000×0.15865≈159(人).

(2)依题意可得,P(n)=C20n25n3520−n,

设P(n)≥P(n+1)P(n)≥P(n−1)

所以C20n25n319.解：(1)由f(x)=ex−ax−1，得f′(x)=ex−a．

又f′(0)=1−a=−1，所以a=2．

所以f(x)=ex−2x−1，f′(x)=ex−2．

由f′(x)=ex−2>0，得x>ln2．

所以函数f(x)在区间(−∞,ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增．

(2)证明：由(1)知f(x)min=f(ln2)=eln2−2ln2−1=1−ln4．

所以f(x)≥1−l