第1节函数的概念及其表示-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

第1节函数的概念及其表示高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025领航备考路径新课标核心考点2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.函数的概念与表示

第11题

2.函数的单调性

第7题

第4题第6题3.函数的性质及其应用第8题第8题第13题第8题第12题第8题

第4题4.指对幂运算及大小比较

第7题第7题

5.指数函数、对数函数、幂函数

6.函数的图象

7.函数与方程

第10题

8.函数模型及其应用第6题

第10题

优化备考策略考情分析:1.函数模块是高考考查的核心内容之一,主要以基本初等函数或者基本初等函数组成的复合函数为载体,考查定义域、值域、性质、图象、零点等相关知识,近几年高考对抽象函数考查的频率明显增加,重点考查函数的奇偶性、周期性与单调性等,常与导数、不等式、方程等交汇命题,考查数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想,以客观题的形式出现,难度中等,分值5~10分.2.高考对函数知识的考查,重在交汇融合,还多有隐性考查,渗透在整卷的考查中.复习策略:1.明晰重要概念,熟练掌握常见基本初等函数的图象与性质:定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、单调性、零点等概念是解决函数问题的基础,应明确;二次函数、指对幂函数的图象与性质贯穿在解决函数问题的全过程,应熟练掌握.2.强化数学思想方法的训练:数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法在解决函数问题中具有重要应用,应强化应用意识.3.注重数学运算能力的提升:解决函数问题的过程中,代数推理、变形化简、数值计算等贯穿其中,是影响解题成败的关键因素,因此在复习中应重视运算能力的训练与提升.4.善于运用函数性质的二级结论快速、简洁地解决相关问题.5.涉及抽象函数问题,注意寻找函数原型帮助分析和解决问题.课标解读1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.2.理解函数的三种表示方法:图象法、列表法、解析法.会根据不同的需要选择恰当的方法.3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分知识梳理1.函数的概念

概念一般地,设A,B是非空的

,如果对于集合A中的

,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有

确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数

三要素对应关系y=f(x),x∈A定义域

的取值范围A

值域与x的值对应的y值的集合{f(x)|x∈A}同一个函数如果两个函数的

相同,且

完全一致,那么这两个函数是同一个函数

实数集

任意一个数x唯一x定义域对应关系微思考定义域与值域相同的两个函数一定是同一个函数吗?值域与对应关系相同的两个函数一定相等吗?提示

不一定是同一个函数.如函数y=3x和y=2x-1,二者的定义域均为R,值域也均为R,但两个函数不同.值域与对应关系相同的两个函数也不一定相等.如函数y=x2,x∈[0,2)和函数y=x2,x∈(-1,2),两函数解析式相同,值域也相同,但定义域不同,所以不是相等函数.2.函数的表示方法表示函数的常用方法有

、图象法、列表法.

微思考直线x=a(a为常数)与函数f(x)的图象的交点个数是多少?解析法提示

直线x=a(a为常数)与函数f(x)的图象的交点个数是1或0.若设f(x)的定义域为D,则当a∈D时,有1个交点,当a∉D时,有0个交点.3.分段函数如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.微点拨1.分段函数只是在定义域的不同区间上解析式不同,但它表示的是同一个函数.2.分段函数的定义域是各段区间的并集,值域是各段值域的并集.3.分段函数定义域的各段区间的交集一定是空集.4.解析式中含有绝对值的函数一般都可以化为分段函数.5.分段函数的图象中,横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点.常用结论常见函数的定义域如下:(1)分式中分母不能等于0;(2)偶次根式的被开方数大于或等于0;(3)零次幂的底数不能为0;(4)一次函数、二次函数、指数函数y=ax(a>0,a≠1)、正弦函数y=sin

x、余弦函数y=cosx的定义域均为R;(5)对数函数y=logax(a>0,a≠1)的定义域为(0,+∞);自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.对于函数f:A→B,其值域是集合B.(

)××√×题组二回源教材5.(人教B版必修第一册3.1.1节练习B第8题)已知函数f(x+1)=2x-3,求f(4),f(x).解

令x+1=4,解得x=3,代入得f(4)=3;设x+1=t,则x=t-1,代入得f(t)=2t-5,因此f(x)=2x-5.6.(人教A版必修第一册74页习题3.1第17题)探究是否存在函数f(x),g(x)满足条件:(1)定义域相同,值域相同,但对应关系不同;(2)值域相同,对应关系相同,但定义域不同.解

(1)存在,例如f(x)=2x+1与g(x)=3x-1的定义域和值域均为R,但对应关系不同.(2)存在,例如f(x)=x2,x∈R与g(x)=x2,x∈[0,+∞)的值域和对应关系相同,但定义域不同.题组三连线高考

(-∞,0)∪(0,1]

2研考点精准突破考点一函数的概念及应用例1(1)(多选题)(2024·浙江衢州模拟)已知函数f(x)与g(x),若存在f(x)使得f(g(x))=x2,则g(x)不可能为(

)A.x2-2023x

B.sin

x C.2x-1

D.|x|AB解析

对于A选项,若g(x)=x2-2

023x,当x=0时,f(0)=0,当x=2

023时,f(0)=2

0232,相当于1个x值对应两个y值,不符合函数定义,即A错误;对于B选项,取x=0和x=π,有f(g(0))=f(0)=0,f(g(π))=f(0)=π2,不符合函数定义,所以B(2)(2024·浙江宁波模拟)已知函数f(x)满足:对任意的非零实数x,y,都有f(x+y)=()f(x)f(y)成立,且f(1)=2,若f(n)=f(n+1),n∈Z,n≠0,则n=(

)A.-3 B.-2 C.2

D.3B[对点训练1](多选题)(2024·广东深圳模拟)下列式子中,不存在函数f(x)使其对任意x∈R都成立的是(

)A.f(x)=xB.f(sin

x)=xC.f(cosx)=xD.f(sin

x)=cosxBCD解析

对于A,对任意x∈R,f(x)=x都成立;对于B,取x=0和x=π,得到f(0)=0,

函数的定义;对于D,取x=0和x=π,得到f(0)=1,f(0)=0,不符合函数的定义,故选BCD.考点二函数的定义域B(-1,2)

解析

要使函数有意义,应满足

解得-1<x<2,故函数f(x)的定义域为(-1,2).[对点训练2](1)(2024·安徽安庆模拟)若函数y=+ln(x+2)的定义域为[1,+∞),则a=(

)A.-3 B.3C.1 D.-1A(2)(2024·河北衡水中学检测)已知函数y=f(x)的定义域为[0,4],则函数

的定义域是(

)A.(1,5] B.(1,2)∪(2,5)C.(1,2)∪(2,3] D.(1,3]C考点三函数的解析式例3根据下列条件求函数的解析式:(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x)-2f(x-1)=2x+5,求f(x)的解析式;(2)已知函数f(x)满足f(cosx-1)=cos2x-1,求f(x)的解析式;解

(1)依题意设f(x)=ax+b(a≠0),则由3f(x)-2f(x-1)=2x+5可得3(ax+b)-2[a(x-1)+b]=2x+5,(2)函数f(x)满足f(cos

x-1)=cos

2x-1=2cos2x-1-1=2cos2x-2,设cos

x-1=t,则cos

x=t+1,由cos

x∈[-1,1]知t∈[-2,0],故原函数可转化为f(t)=2(t+1)2-2=2t2+4t,t∈[-2,0],即f(x)的解析式为f(x)=2x2+4x(-2≤x≤0).(4)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x)的解析式.立,故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2(x≥2).(4)因为f(x)+2f(-x)=x2+2x,①所以f(-x)+2f(x)=x2-2x,所以2f(-x)+4f(x)=2x2-4x,②考点四分段函数(多考向探究预测)考向1分段函数的求值问题

例4(1)(2024·广西南宁模拟)已知函数f(x)=那么f(f(-1))=(

)A.7 B.6

C.5

D.4D解析

因为f(x)=所以f(-1)=-(-1)+1=2,所以f(f(-1))=f(2)=22=4,故选D.(2)(2024·陕西安康模拟)已知函数f(x)=则f(log23)=

.

(3)(2024·北京海淀区模拟)已知函数f(x)=若f(m)=-1,则实数m的值为

.

1考向2分段函数与不等式例5(2024·浙江嘉兴模拟)设函数f(x)=若f(a)≥0,则实数a的取值范围是

.

(-∞,-2]∪[0,+∞)

解析

当a≤0时,f(a)=a2+2a,由f(a)≥0,得a2+2a≥0,解得a≥0或a≤-2,又因为a≤0,所以得a=0或a≤-2;当a>0时,f(a)=lg(a2+1),由f(a)≥0得lg(a2+1)≥0,解得a∈R,又因为a>0,所以得a>0.综上,实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[0,+∞).变式探究1(变条件)本例中,函数解析式不变,将“f(a)≥0”改为“f(a-1)≤3”,则实数a的取值范围是

.

解析

当a-1≤0即a≤1时,f(a-1)=(a-1)2+2(a-1),由f(a-1)≤3得(a-1)2+2(a-1)≤3,解得-2≤a≤2,