第1节基本立体图形及空间几何体的表面积与体积-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

第1节基本立体图形及空间几何体的表面积与体积高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025领航备考路径新课标核心考点2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.空间几何体的表面积与体积

第13题第3题第4题,第5题第4题第11题第14题第9题,第14题2.球的切、接问题第16题

第8题第7题第12题

3.空间位置关系的判断与证明第20题第20题第12题,第20题第10题,第19题

第20题第18题第20题4.空间角与距离第4题,第20题第4题,第20题第20题第19题第9题,第19题第20题第18题第20题优化备考策略考情分析:从题型和题量上看,高考对本专题考查基本稳定在“两小一大”或“三小一大”的方式,总分约22分到27分.从考查内容上看,小题主要考查空间几何体的结构特征、体积与表面积、球与几何体的切、接、空间位置关系的判断等,难度中等或中低等.解答题多以几何体为载体,考查空间位置关系的证明、空间角的求解等,难度中等.对直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养要求较高.复习策略:1.掌握特殊几何体的结构特征,熟记体积与表面积公式,理解并会应用空间平行与垂直的相关定理与结论,这是解决立体几何问题的基础.2.注意对直观想象核心素养的训练,通过动手画图,观察分析图形,对空间几何体中位置关系的证明与应用等有效提升空间想象能力.3.重视图形的作用,解立体几何问题,可将题目中的已知或隐含的条件标注在图形上,达到只通过图形就能表述出题目的已知与所求的效果.4.归纳几何体中常见的建系方法与技巧,并能合理运用.5.通过题目的训练,提升运算正确率,尤其是利用空间向量求解空间角的问题.课标解读1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分知识梳理1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征围成多面体的每一个面都是平面图形,没有曲面

名称棱柱棱锥棱台图形底面互相

且

多边形互相

侧棱

相交于

但不一定相等

延长线交于

侧面形状

平行

全等平行

平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形微思考有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗?提示

不一定.如图所示的几何体满足条件,但不是棱柱.微点拨1.多面体的关系

2.特殊的四棱柱

(2)旋转体的结构特征

旋转体一定有旋转轴

名称圆柱圆锥圆台球图形母线平行、相等且

于底面

相交于

延长线交于

—轴截面全等的

全等的

全等的

侧面展开图矩形扇形扇环—垂直一点一点矩形等腰三角形等腰梯形圆微点拨旋转体要抓住“旋转”这一特点,弄清底面、侧面及展开图的形状.2.空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半.九十度,画一半,横不变,纵减半,平行关系不改变,画出图形更直观

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

名称圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=

S圆锥侧=

S圆台侧=

微点拨一些几何体表面上的最短距离问题,常常“化曲为直”,利用几何体的侧(表)面展开解决.2πrlπrlπ(r1+r2)l4.柱体、锥体、台体和球的表面积和体积

几何体名称表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=

锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=

台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=球S=

V=

S底·h4πR2微思考柱体、锥体、台体体积之间有什么关系?提示

常用结论1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形面积的关系:2.球的截面的性质(1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为3.正方体与球的切、接常用结论设正方体的棱长为a,球的半径为R.自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.棱柱的底面一定是平行四边形.(

)2.用两个平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(

)3.棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.(

)4.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(

)××√×题组二回源教材5.(人教A版必修第二册习题8.1第8题改编)如图,长方体ABCD-A'B'C'D'被一个平面截成两个几何体,其中EH∥B'C'∥FG.则左下方部分几何体是(

)A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.既不是棱柱,也不是棱台C解析

根据棱柱的定义,可知几何体是以五边形ABFEA'为底面的五棱柱.6.(人教B版必修第四册习题11-1B第14题改编)已知正四棱锥的侧面都是等边三角形,它的斜高为,则这个正四棱锥的体积为

.

7.(人教A版必修第二册8.3.2节例3改编)如图,某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成,半球的直径是0.3m,圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆,每平方米需要0.5kg涂料,那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要涂料

kg.(π取3.14)

423.9解析

一个浮标的表面积为2π×0.15×0.6+4π×0.152≈0.847

8(m2),所以给1

000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.847

8×0.5×1

000=423.9(kg).题组三连线高考8.(2021·全国甲,文14)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为

.

39π

9.(2023·新高考Ⅱ,14)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为

.

28

解析

如图所示,

在正四棱锥P-ABCD中,平面A'B'C'D'∥平面ABCD.点O',O分别为正四棱台ABCD-A'B'C'D'上、下底面的中心,O'H'⊥A'B',OH⊥AB,点H',H为垂足.由题意,得AB=4,A'B'=2,PO'=3.易知△PO'H'∽△POH,所以2研考点精准突破考点一基本立体图形(多考向探究预测)考向1结构特征例1(多选题)下列说法不正确的有(

)A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线B.直角三角形绕其一边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥C.棱台的上、下底面一定是相似多边形,但侧棱长不一定相等D.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面ABD

解析

A不正确,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线;B不正确,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,它是由两个同底圆锥组成的几何体;C正确,棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等;D不正确,棱柱的两个侧面也有可能平行.考向2直观图例2(1)已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么△ABC是一个(

)A.等边三角形B.直角三角形C.非等边的等腰三角形D.钝角三角形A解析

根据斜二测画法还原△ABC在直角坐标系的图形,如图.则

(2)已知△ABC是边长为a的正三角形,用“斜二测画法”画出△ABC的平面直观图△A'B'C',那么△A'B'C'的面积为(

)A解析

(方法一)根据题意,建立如图1所示的平面直角坐标系,OC是△ABC的高,再按照斜二测画法画出其直观图,如图2所示.图1图2变式探究(交换条件与结论)例2(2)变为:已知用“斜二测画法”画出的△ABC的平面直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,则△ABC的面积为

.

图1图2考向3展开图例3(2024·安徽铜陵模拟)如图是一座山的示意图,山大致呈圆锥形,山脚呈圆形,半径为2km,山高为

km,B是山坡SA上一点,且AB=2km.现要建设一条从A到B的环山观光公路,这条公路从A出发后先上坡,后下坡,当公路长度最短时,下坡路段长为

.

3.6km

结合题意,AB==10,由点S向AB引垂线,垂足为点H,此时SH为点S和线段AB上的点连线的最小值,即点H为公路的最高点,HB段即为下坡路段,则SB2=BH·AB,即36=10·BH,得BH=3.6

km,即下坡路段长度为3.6

km.[对点训练1](1)(2024·湖北武汉高一校联考阶段练习)下列说法正确的是(

)A.既是直四棱柱又是平行六面体的几何体是长方体B.棱锥的侧棱长一定大于棱锥的底面边长C.以半圆直径所在的直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫球D.一个矩形以其对边的中点连线为旋转轴,旋转180°所形成的几何体是圆柱D解析

A中,既是直四棱柱又是平行六面体的几何体,此时底面可能不是矩形,所以不一定为长方体,所以A不正确;B中,棱锥的侧棱长不一定大于棱锥的底面边长,例如正四棱锥的底面边长为4,侧棱长可为3,此时侧棱长小于底面边长,所以B不正确;C中,以半圆直径所在的直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫球面,球面所围成的几何体叫做球体,所以C不正确;D中,一个矩形以其对边的中点连线为旋转轴,旋转180°,满足圆柱的定义,所以形成的几何体是圆柱,所以D正确.故选D.(2)如图,已知正三棱柱的底面边长为2cm,高为5cm,一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为(

)A.12cm B.13cmC.cm D.15cmB解析

将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开,再拼接一次,其侧面展开图如图所示.在展开图中,最短距离是六个矩形构成的大矩形对角线的长度,设为d,也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得大矩形的长等于6×2=12,宽等于5,由勾股定理(3)用“斜二测画法”画出的水平放置的△ABC的直观图如图所示,已知A'C'=3,B'C'=2,则在△ABC中,AB边上的中线的长度为

.

解析

根据斜二测画法的原则,由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4,AC⊥BC,所以AB2=AC2+BC2=9+16=25,所以AB=5,故AB边上中线AD的长为考点二简单几何体的表(侧)面积例4(1)(2024·广东珠海六校联考)我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示,撇口,深弧壁,圈足微微外撇,底心有一小乳突.器身施白釉,以青花为装饰,釉质润泽,底足露胎,胎质致密,碗内口沿饰有一周回纹,内底心书有一文字,碗外壁绘有一周缠枝团菊纹,下笔流畅,纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.3厘米,底面直径2.8厘米,高4厘米,它的形状可近似看作圆台,则其侧面积约为(

)(单位:平方厘米)A.18π

B.20π

C.27π

D.34πC(2)(2024·甘肃兰州模拟)如图所示是某研究性学习小组制作的某建筑物屋顶部分,它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体,已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度(单位:dm)分别为2,6,4,正三棱柱各棱长均相等,则该结构表面积为(

)A规律方法几何体表面积的求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何体特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积[对点训练2](1)(多选题)(2024·湖北黄冈中学模拟)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是(

)A.圆柱的侧面积为2πR2B.圆锥的侧面积为2πR2C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2CD(2)如图1是文祥塔,位于浙江省温州市泰顺县城南象山之上,初名象山塔,后人重修时易名为文祥塔.已知该塔六面七层且第七层塔身可近似地视为一个高2.8m、底面边长为2m的正六棱柱,塔顶可近似地视为一个高1m的正六棱锥,如图2所示,则该塔的第七层塔身及其塔顶的表面积之和约为(

)图1图2A考点三简单几何体的体积例5(1)(2024·广东佛山模拟)科技是一个国家强盛之根,创新是一个民族进步之魂,科技创新铸就国之重器,极目一号(如图1)是中国科学院自主研发的系留浮空器.2022年5月,“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9032米高空,超过珠穆朗玛峰,创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录,彰显了中国的实力.“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米,高19米,若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体,如图2所示,是该浮空艇的轴截面图,则它的体积约为(

)(参考数据:9.52≈90,9.53≈857,315×1005≈316600,π≈3.14)A.9064m3