第1节集合-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

第1节集合高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025领航备考路径新课标核心考点2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.集合的概念与关系

第2题2.集合的运算第1题第1题第1题第2题第1题第1题第1题

3.充分条件与必要条件

第7题

4.全称量词与存在量词

优化备考策略考情分析:1.高考对集合的考查相对稳定,考查内容、频率、题型、难度均变化不大.以选择题形式呈现,分值5分,难度较小.重点是集合的基本运算,偶尔考查集合的概念与运算.其中集合的交、并、补运算,常与一元二次不等式、分式不等式、指数、对数不等式等的求解以及函数定义域、值域等相结合.2.高考对常用逻辑用语的考查,较少单独呈现,多结合其他知识综合考查,重点涉及充分、必要条件的判断,试题难度取决于结合的知识的难度.复习策略:1.明晰重要概念:子集、真子集、交集、并集、补集、充分、必要条件等概念是解题的基础,应明晰这些概念.2.注意数学思想方法的合理运用:分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法在解题中应用广泛.3.善于列举反例:涉及充分、必要条件以及命题真假的判断等问题,要善于列举反例.4.重视知识交汇与联系:集合与函数、不等式、方程、解析几何等都有交汇与联系,应注意集合语言在这些知识中的应用;常用逻辑用语与其他数学知识都有联系,注意对相关知识的理解与运用.课标解读1.了解集合的含义,了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系,理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题,能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分知识梳理1.集合的有关概念(1)集合元素的三个特性:

、互异性、

.

(2)元素与集合的关系:属于或不属于,表示符号分别为

或

.

(3)常见集合的符号表示.求解集合参数问题时进行检验的重要依据

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N+ZQR(4)集合的表示方法:

、

、

.

(5)集合的分类:

和

.

确定性

无序性∈∉列举法描述法图示法有限集无限集2.集合间的关系

关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中

都是集合B中的元素

真子集集合A⊆B,但

x∈B,且x∉A

集合相等集合A的

都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素

集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集

任意一个元素A⊆B(或B⊇A)存在元素A⫋B(或B⫌A)任何一个元素A=B微点拨空集的本质是集合中不含有任何元素,但其表现形式却是多样的,它与方程、不等式有着密切的联系,例如:集合{x|ax+1=0},{x|x2+x+a=0},{x|a<x<2a+1}等都有可能表示空集,当对应的方程或不等式无解时就表示空集,在解决集合参数问题时,不要忽视这种情形.3.集合的基本运算

运算自然语言符号语言Venn图交集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合A∩B=

并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B=

补集对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA=

根据“补集思想”可以得到“正难则反”的思维方法

{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈U,且x∉A}微点拨空集的本质是集合中不含有任何元素,但其表现形式却是多样的,它与方程、不等式有着密切的联系,例如:集合{x|ax+1=0},{x|x2+x+a=0},{x|a<x<2a+1}等都有可能表示空集,当对应的方程或不等式无解时就表示空集,在解决集合参数问题时,不要忽视这种情形.常用结论1.子集个数的确定:若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个.2.空集⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.3.等价关系:A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB.4.集合元素个数:用card(A)来表示有限集合A中元素的个数,则card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若3∈{0,1,x+2,x2-1},则实数x的值为1,-2,2.(

)2.{x|y=3x-1}={y|y=3x-1}.(

)3.集合A={x|ax-1=0}必有2个子集.(

)4.若集合A非空,且A∪B=A∪C,则B=C.(

)5.若A∪B⊆A∩B,则必有A=B.(

)×√××√题组二回源教材6.(人教A版必修第一册习题1.2第5题(2)改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,则实数a的取值范围是

.

7.(人教B版必修第一册1.1.3节练习B第4题)设全集U={2,4,a2},集合A={4,a+3},∁UA={1},求实数a的值.[2,+∞)解析

由于B⊆A,所以a≥2.解

由已知得a+3=2且a2=1,解得a=-1,经检验知符合题意.8.(人教B版必修第一册1.1.2节练习B第2题)用列举法表示集合A={x|x=3m-1,m∈N}和B={x|x=3m+2,m∈N},并说明它们之间的关系.解

B⫋A.A={-1,2,5,8,11,…},B={2,5,8,11,…},所以B⫋A.题组三连线高考9.(2022·新高考Ⅱ,1)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B=(

)A.{-1,2} B.{1,2}C.{1,4} D.{-1,4}B解析

B={x|0≤x≤2},则A∩B={1,2},故选B.D11.(2023·新高考Ⅱ,2)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=(

)A.2 B.1

C. D.-1B解析

∵A⊆B,∴a-2=0或2a-2=0.若a-2=0,则a=2,A={0,-2},B={1,0,2},显然A⊈B;若2a-2=0,则a=1,A={0,-1},B={1,-1,0},A⊆B成立.故选B.2研考点精准突破考点一集合的基本概念例1(1)(2024·湖南长沙模拟)已知集合A={0,1,a2},B={0,1,2a+3},若A∪B=A∩B,则实数a等于(

)A.-1或3 B.0或1C.3 D.-1C解析

由A∪B=A∩B,可得A=B,因此有a2=2a+3,解得a=-1或a=3.当a=-1时,A={0,1,1}与集合元素的互异性矛盾,舍去;当a=3时,A={0,1,9}=B,满足题意,故选C.(2)(2024·广东深圳模拟)已知集合A={x

n∈Z},B={x|x=ab,a,b∈A},则集合B的真子集个数是(

)A.3 B.4

C.7

D.8C解析

因为x=,n∈Z的周期为4,当n=1,2,3,4时,x的值分别是1,0,-1,0,所以A={-1,1,0},因此B={1,-1,0},所以集合B的真子集个数为23-1=7,故选C.(3)(2024·河南开封检测)已知A={x|x2-ax+1<0},若2∈A,且3∉A,则a的取值范围是(

)B考点二集合间的基本关系A.M⊆N

B.M=NC.M⊇N

D.M∩N=⌀A能取到所有的奇数,但k+2可以取到所有的整数,即集合M中的元素一定都是集合N中的元素,反之不然,因此M⊆N,故选A.的元素都是N的元素,反之不然,所以M⊆N,故选A.(2)(2024·福建漳州模拟)已知U是全集,集合A,B满足(∁UA)∩B=∁UA,则下列关系一定成立的是(

)A.A⊆B

B.B⊆AC.∁UB⊆A D.A∩B=⌀C解析

由(∁UA)∩B=∁UA可得(∁UA)⊆B,于是∁UB⊆A,故C正确,ABD错误,故选C.(3)(2024·山东德州模拟)已知集合A={x|x2-4≤0},B={x||x-a|<1},若B⊆A,则a的取值范围是(

)A.(-1,1) B.[-1,1]C.[-1,1) D.(-1,1]B解析

由已知得A={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤2},B={x||x-a|<1}={x|a-1<x<a+1},因为B⊆A,所以

解得-1≤a≤1,故选B.变式探究1(变条件)若将本例(3)条件中的集合A,B分别改为A={x|x2-4<0},B={x||x-a|≤1},其他条件不变,求实数a的取值范围.解

由已知得A={x|x2-4<0}={x|-2<x<2},B={x||x-a|≤1}={x|a-1≤x≤a+1},因为B⊆A,所以解得-1<a<1.即a的取值范围为(-1,1).变式探究2(变条件)若将本例(3)条件中的集合B改为B={x||x-1|<a},其他条件不变,求实数a的取值范围.解

由已知得A={x|-2≤x≤2},当a≤0时B=⌀,满足B⊆A;当a>0时B={x|1-a<x<1+a},要使B⊆A,应有

解得0<a≤1.综上,实数a的取值范围是(-∞,1].[对点训练1](2024·山东聊城检测)已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a<x<3},若对于∀x∈A,都有x∈B,则a的取值范围为(

)A.(-∞,0] B.(-∞,0) C.[0,2] D.(2,3)B解析

若对于∀x∈A,都有x∈B,则A⊆B,由已知可得a<0,故选B.考点三集合的运算(多考向探究预测)考向1集合的基本运算例3(1)(2023·新高考Ⅰ,1)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(

)A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}C.{-2} D.{2}C解析

由题意,x2-x-6≥0,解得x≤-2或x≥3,N=(-∞,-2]∪[3,+∞).因为M={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}.故选C.(2)(2024·河北唐山模拟)已知全集U=R,集合A={x|2x>1},B={x|≤4},则A∩B=(

)A.(0,2] B.(0,16]C.(1,2] D.(1,16]B解析

不等式2x>1的解集为(0,+∞),所以A=(0,+∞),不等式

4的解集为[0,16],所以B=[0,16],所以A∩B=(0,16],故选B.(3)(2024·广东深圳模拟)已知A={x|y=ln(x+2)},B={y|y=sin

x},则∁AB=(

)A.(-2,-1]∪[1,+∞)B.(-2,-1]∪(1,+∞)C.(-2,-1)∪[1,+∞)D.(-2,-1)∪(1,+∞)D解析

因为A={x|y=ln(x+2)}={x|x>-2},B={y|y=sin

x}={y|-1≤y≤1},则∁AB=(-2,-1)∪(1,+∞),故选D.[对点训练2](2024·内蒙古赤峰模拟)已知集合A={x|x2-3x-10<0},B={x

},则(

)A.A∪B=A

B.A∩B=BC.A∪B=B

D.A∩B=⌀C解析

因为x2-3x-10<0,所以-2<x<5,即A={x|-2<x<5},由B=

得B={x|x>-3},所以A∩B=(-2,5)=A,A∪B=(-3,+∞)=B,故选C.考向2利用集合的运算求参数值或取值范围例4(2024·江苏无锡模拟)已知集合A={x∈Z|-1<x<3},B={x|3x-a<0},且A∩(∁RB)={1,2},则a的取值范围为(

)A.(0,4) B.(0,4] C.(0,3] D.(0,3)C[对点训练3](1)(2024·浙江金华模拟)已知集合A={x|lg(x+a)>0},B={x|x2≥4},若A∪B=R,则实数a的取值范围是(

)A.(3,+∞) B.(-1,+∞) C.[3,+∞) D.[-1,+∞)C解析

由已知得A={x|x>1-a},B={x|x≤-2或x≥2},又A∪B=R,所以1-a≤-2,即a≥3,故选C.(2)(2024·山西太原模拟)已知A,B为非空数集,且A={0,1},(∁RA)∩B={-1},则符合条件的B的个数为(

)A.1 B.2

C.3

D.4