专题17 函数的应用-【初升高衔接】新高一数学暑假衔接讲义（解析版）

第第页专题17函数的应用【考点清单】数学建模是连接数学和现实世界的桥梁。本专题我们用实例来介绍，怎样从现实世界中发现问题，如何通过数学建模来求解特定的问题.1、用函数模型解决实际问题的一般步骤（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．（2）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．（3）求模：求解数学模型，得到数学结论．（4）还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．可将这些步骤用框图表示如下：2、常见的函数模型（1）一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等．（2）二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故最优、最省等问题常常是二次函数的模型．（3）分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．【考向精析】考向一：分式型函数模型的应用1.某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（

）A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元【答案】D【解析】由题意可得，故当时，取得最大值，，当且仅当时，等号成立，因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元，当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元.故选：D.2.我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万美元，且当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.（1）写出年利润(万美元)关于年产量(万部)的函数解析式：（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.【答案】（1）；（2）32万部，最大值为6104万美元.【解析】（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得，然后由，将代入即可.（2）当时利用二次函数的性质求解；当时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.所以，解得，当时，，当时，.所以（2）①当时，，所以；②当时，，由于，当且仅当，即时，取等号，所以此时的最大值为5760.综合①②知，当，取得最大值为6104万美元.【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；（3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．3．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.（Ⅰ）将y表示为x的函数；（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【答案】（Ⅰ）y=225x+（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．【详解】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为am则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）．当且仅当225x=时，等号成立．即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．考点：函数模型的选择与应用4．如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米(1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？(2)求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；【答案】(1)(2)，最小面积为48平方米【分析】（1）先表达出AMPN的面积表达式，时解出不等式，即可知AN的取值范围.（2）令，将式子化成对勾函数后求最值.【详解】（1）解：设的长为米（）是矩形由，得，解得或即的取值范围为（2）令，（），则当且仅当，即时，等号成立，此时，最小面积为48平方米考向二：二次函数模型的应用5．某产品的总成本y万元与产量x（台）之间的关系是，，若每台产品的售价为9万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（）A．3台 B．5台 C．6台 D．10台【答案】A【解析】依题意，，即，解得或（舍去），∵，∴.∴生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是3（台）．故选：A．6．把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设两段长分别为，，其中，则这两个正三角形的边长分别为，，面积之和为，由二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，所以．7．某汽车配件厂拟引进智能机器人来代替人工进行某个操作，以提高运作效率和降低人工成本，已知购买x台机器人的总成本为（万元）．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按（1）中求得的数量购买机器人，需要安排m人协助机器人，经实验知，每台机器人的日平均工作量（单位：次），已知传统人工每人每日的平均工作量为400次，问引进机器人后，日平均工作量达最大值时，用人数量比引进机器人前工作量达此最大值时的用人数量减少百分之几？【答案】(1)8台(2)【分析】（1）根据题意将问题转化为对的求解，利用基本不等式即可；（2）先求出一台机器人的最大日工作量，根据最大工作量再求出所需要的人数，通过比较即可求解.（1）由题意．当且仅当，即时，等号成立，所以应购买8台，可使每台机器人的平均成本最低．（2）由，可得当时，，所以时，．每台机器人的日平均工作量最大时，安排的人工数最小为20人，而此时人工操作需要的人工数为，．所以可减少．8．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形的面积为S平方米，当x为何值时，S有最大值，最大值是多少？【答案】(1)15米；(2)当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米.【分析】（1）设篱笆的一面的长为x米，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得，根据二次函数最值的求法求解即可．【详解】（1）设篱笆的一面AB的长为x米，则，由题意得，，解得，，，，所以，的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得，时，S取得最大值，此时，，所以，当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米．考向三：分段函数模型的应用9．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（

）A．120 B．200 C．240 D．400【答案】D【分析】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分和分析讨论求出其最小值即可【详解】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为，当时，，当时，取得最小值240，当时，，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200，综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，故选：D10.吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？【答案】(1)(2)70万盒【分析】（1）根据题意分和两种情况求解即可；（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.【详解】（1）当产量小于或等于50万盒时，，当产量大于50万盒时，，故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为（2）当时，；当时，，当时，取到最大值，为1200．

因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．11．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）表示为养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当时，v的值为2；当时，v是关于x的一次函数.当x＝20时，因缺氧等原因，v的值为0.(1)当时，求函数的表达式；(2)当x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.【答案】(1)(2)x＝10，最大值为12.5千克/立方米【分析】（1）根据题意得建立分段函数模型求解即可；（2）分段求得函数的最值，比较可得答案.【详解】（1）依题意，当时，；当时，是关于x的一次函数，假设，则，解得，所以.（2）当时，；当时，，当时，取得最大值.因为，所以当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5.12．第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元【分析】（1）年利润为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；（2）当时，根据二次函数单调性求最大值；当时，根据基本不等式求最大值，继而求出最大值.【详解】（1）当时，；当时，.所以（2）当时，.当时，取得最大值，且最大值为950.当时，当且仅当时，等号成立.因为，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.13．调查显示，垃圾分类投放可以带来约元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放积分分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于，则额外奖励分（为正整数）.月底积分会按照元/分进行自动兑换.①当时，若某家庭某月产生生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元；②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的%，则的最大值为___________.【答案】【分析】①计算出该家庭月底的积分，再拿积分乘以可得出该家庭该月积分卡能兑换的金额；②设每个家庭每月产生的垃圾为，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为元，分、两种情况讨论，计算的表达式，结合可求得的最大值.【详解】①若某家庭某月产生生活垃圾，则该家庭月底的积分为分，故该家庭该月积分卡能兑换元；②设每个家庭每月产生的垃圾为，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为元.若时，恒成立；若时，，可得.故的最大值为.故答案为：①；②.考向四：函数图象与实际问题的交汇14．（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（

）A．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB．甲从家到公园的时间是30minC．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x【答案】BD【解析】在A中，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确.故选：BD15．（多选）某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（）A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢C．第三年后，这种产品停止生产D．第三年后，年产量保持不变【答案】AC【解析】由题中函数图像可知，在区间上，图像是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确，由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误，在上，图像是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为，因此C正确，D错误.故选：AC16．（多选）某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（

）A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本【答案】BC【解析】由图（1）可设关于的函数为，，，为票价，当时，，则为固定成本；由图（2）知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，固定成本减小，故A错误，B正确；由图（3）知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，即变大，票价提高，不变，即不变，固定成本不变，故C正确，D错误；故选：BC．【巩固检测】1．生命在于运动，运动在于锻炼.其中，游泳就是一个非常好的锻炼方式.游泳有众多好处，强身健体、保障生命安全、增强心肺功能、锻炼意志、培养勇敢顽强精神、休闲娱乐.近几年，游泳池成了新小区建设的标配家门口的“游泳池”，成了市民休闲娱乐的好去处，如图，某小区规划一个深度为，底面积为的矩形游泳池，按规划要求：在游泳池的四周安排宽的休闲区，休闲区造价为元/，游泳池的底面与墙面铺设瓷砖，瓷砖造价为元/.其他设施等支出约为1万元，设游泳池的长为.

(1)试将总造价（元）表示为长度（m）的函数；(2)当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.【解析】（1）因为游泳池的长为，所以游泳池的宽为，铺游泳池的花费为，休闲区的花费为，所以总造价为，其中；（2）由基本不等式可得（元），当且仅当，即时，等号成立.因此，当时，总造价最低，且最低总造价为元.2．因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的.因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计1200元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米．(1)记y为甲工程队整体报价，求的解析式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为元，问是否存在实数t，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x米()，则底面长为米，正面费用为,故，.（2）由题意知,，对任意都成立,即对任意恒成立，令,则，则，而，当且仅当取等号，故，即存在实数，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功.3．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类产品的年收益f(x)(单位：万元)与投资额x(单位：万元)成正比，其关系如图1；投资股票类产品的年收益g(x)(单位：万元)与投资额x(单位：万元)的算术平方根成正比，其关系如图2.(1)分别写出两种产品的年收益f(x)和g(x)的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元?【解析】（1）依题意可设f(x)=k1x(x≥0)，g(x)=k2(x≥0).∵f(1)=k1=，g(1)=k2=，∴f(x)=x(x≥0)，g(x)=(x≥0).（2）设投资债券类产品x万元，股票类产品(20-x)万元，年收益为y万元，则由题意得y=f(x)+g(20x)=(0≤x≤20)，令t=，则x=20t2，[0,2]，∴y==(t2)2+3，[0,2]，∴当t=2，即x=16时，ymax=3.∴投资债券类产品16万元，股票类产品4万元时可获得最大年收益，且最大年收益为3万元.4．甲、乙两城相距100km，在两城之间距甲城xkm处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电，为保证城市安全，核电站距两地的距离不少于10km．已知各城供电费用（元）与供电距离（km）的平方和供电量（亿千瓦时）之积都成正比，比例系数均是=0.25，若甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月，(1)把月供电总费用y（元）表示成x（km）的函数，并求其定义域；(2)求核电站建在距甲城多远处，才能使月供电总费用最小．【解析】（1）由题意知：经化简为，定义域为.（2）将（1）中函数配方为，所以当即核电站距甲城时，月供电总费用最小，为元．．5.某工厂去年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可以选择二次函数或函数（其中为常数）．已知4月份该产品产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数更好，并说明理由．【解析】设二次函数为，由已知得，解之得，所以，当时，，又对函数，由已知得，解之得，所以，当时，.根据四月份的实际产量为万元，而,所以函数作模拟函数较好.6．某厂生产某种零件，每个零件的成本为4元，出厂单价6元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100个时，每多订购一个，零件的出厂单价就降低0.01元，但实际出厂价不低于5元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价降为5元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为元，求函数的表达式；(3)销售商一次订购150个零件时，该厂获得的利润是多少元？若订购500个呢？【解析】（1）设一次订购量为个时，零件的实际出厂单价降为5元，则，解得，所以当一次订购量为200个时，零件的实际出厂单价降为5元．（2）当时，，当时，，当时，，故，．（3）当一次订购150个零件时，出厂单价为元，该厂获得的利润是：元；当一次订购500个零件时，出厂单价为5元，该厂获得的利润是：元，故销售商一次订购150个零件时，该厂获得的利润是225元；若订购500个，该厂获得的利润是500元．7.目前，我国汽车工业迎来了巨大的革