2025八年级上册数数学(RJ)15.2.2 第2课时 分式的混合运算1

2025八年级上册数数学(RJ)15.2.2第2课时分式的混合运算1第2课时分式的混合运算1．掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算．(重点)2．能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题．(难点)一、情境导入提出问题：1．说出有理数混合运算的顺序．2．类比有理数混合运算的顺序，同学们能说出分式的混合运算顺序吗？今天我们共同探究分式的混合运算．二、合作探究探究点：分式的混合运算【类型一】分式的化简计算：(1)(eq\f(3a,a－3)－eq\f(a,a＋3))·eq\f(a2－9,a)；(2)(x＋eq\f(x,x2－1))÷(2＋eq\f(1,x－1)－eq\f(1,x＋1))．解析：(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解：(1)原式＝eq\f(3a2＋9a－a2＋3a,（a＋3）（a－3）)·eq\f(（a＋3）（a－3）,a)＝2a＋12；(2)原式＝eq\f(x3,（x＋1）（x－1）)÷eq\f(2x2－2＋x＋1－x＋1,（x＋1）（x－1）)＝eq\f(x3,（x＋1）（x－1）)·eq\f(（x＋1）（x－1）,2x2)＝eq\f(x,2).方法总结：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【类型二】分式的化简求值先化简代数式eq\f(x2－2x＋1,x2－1)÷(1－eq\f(3,x＋1))，再从－4＜x＜4的范围内选取一个合适的整数x代入求值．解析：先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后从x的取值范围内选取一数值代入即可．解：原式＝eq\f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）)÷(eq\f(x＋1,x＋1)－eq\f(3,x＋1))＝eq\f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）)×eq\f(x＋1,x－2)＝eq\f(x－1,x－2)，令x＝0(x≠±1且x≠2)，得原式＝eq\f(1,2).方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.【类型三】利用公式变形对分式进行化简已知a＋eq\f(1,a)＝5，求eq\f(a2,a4＋a2＋1)的值．解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显然现在解不出a的值，如果将eq\f(a2,a4＋a2＋1)的分子、分母颠倒过来，即求eq\f(a4＋a2＋1,a2)＝a2＋1＋eq\f(1,a2)的值，再利用公式变形求值就简单多了．解：因为a＋eq\f(1,a)＝5，所以(a＋eq\f(1,a))2＝25，即a2＋eq\f(1,a2)＝23，所以eq\f(a4＋a2＋1,a2)＝a2＋1＋eq\f(1,a2)＝23＋1＝24.所以eq\f(a2,a4＋a2＋1)＝eq\f(1,24).方法总结：利用x和eq\f(1,x)互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．【类型四】分式混合运算的应用甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果．两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克(a、b为正整数且a≠b)．(1)甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少？(2)谁的购买方式更合算？请说明理由．解析：(1)用总钱数除以总质量即可表示出各自的平均价格；(2)利用作差法求出甲平均价格减去乙平均价格得到差大于0，可得出乙更合算．解：(1)甲的平均价格为eq\f(20a＋20b,20＋20)＝eq\f(a＋b,2)；乙的平均价格为eq\f(20＋20,\f(20,a)＋\f(20,b))＝eq\f(2ab,a＋b)；(2)甲的平均价格－乙的平均价格为eq\f(a＋b,2)－eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(（a＋b）2,2（a＋b）)－eq\f(4ab,2（a＋b）)＝eq\f(（a－b）2,2（a＋b）)，∵a≠b，∴eq\f(（a－b）2,2（a＋b）)＞0，∴甲的平均价格＞乙的平均价格，则乙的购买方式更合算．方法总结：灵活运用作差法判断两个式子的大小，要掌握分式的加减混合运算．三、板书设计分式的混合运算分式混合运算的顺序：先乘方，再乘除，然后加减，遇到括号要先算括号内的．在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号变化复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上增加难度．关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的错误率．第2课时分式的混合运算一、教学目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.二、重点、难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.三、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.五、例题讲解例.计算（1）[分析]这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边..解：====（2）[分析]这道题先做乘除，再做减法，把分子的“-”号提到分式本身的前边.解：====六、随堂练习计算(1)（2）（3）七、课后练习1．计算(1)(2)(3)2．计算，并求出当-1的值.八、答案：六、（1）2x（2）（3）3七、1.(1)(2)（3）2.,-课后反思：15．2.3整数指数幂1．理解负整数指数幂．(重点)2．掌握整数指数幂的运算性质．(难点)3．会用科学记数法表示小于1的正数．(重点)一、情境导入同底数幂的除法公式为am÷an＝am－n，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m＝n或m＜n时，情况怎样呢？二、合作探究探究点一：负整数指数幂的计算下列式子中正确的是()A．3－2＝－6B．3－2＝0.03C．3－2＝－eq\f(1,9)D．3－2＝eq\f(1,9)解析：根据负整数指数幂的运算法则可知3－2＝eq\f(1,32)＝eq\f(1,9).故选D.方法总结：负整数指数幂等于对应的正整数指数幂的倒数．探究点二：整数指数幂的运算【类型一】整数指数幂的化简计算：(1)(x3y－2)2；(2)x2y－2·(x－2y)3；(3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3；(4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.解析：先进行幂的乘方，再进行幂的乘除，最后将整数指数幂化成正整数指数幂．解：(1)原式＝x6y－4＝eq\f(x6,y4)；(2)原式＝x2y－2·x－6y3＝x－4y＝eq\f(y,x4)；(3)原式＝9x4y－4÷x－6y3＝9x4y－4·x6y－3＝9x10y－7＝eq\f(9x10,y7)；(4)原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3＝eq\f(3,1000).方法总结：正整数指数幂的运算性质推广到整数范围后，计算的最后结果常化为正整数指数幂．【类型二】比较数的大小若a＝(－eq\f(2,3))－2，b＝(－1)－1，c＝(－eq\f(3,2))0，则a、b、c的大小关系是()A．a＞b＝cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a解析：∵a＝(－eq\f(2,3))－2＝(－eq\f(3,2))2＝eq\f(9,4)，b＝(－1)－1＝－1，c＝(－eq\f(3,2))0＝1，∴a＞c＞b，故选B.方法总结：关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．【类型三】0指数幂与负整指数幂中底数的取值范围若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是()A．x＞3B．x≠3且x≠2C．x≠3或x≠2D．x＜2解析：根据题意，若(x－3)0有意义，则x－3≠0，即x≠3.(3x－6)－2有意义，则3x－6≠0，即x≠2，所以x≠3且x≠2.故选B.方法总结：任意非0数的0指数幂为1，底数不能为0.【类型四】含整数指数幂、0指数幂与绝对值的混合运算计算：－22＋(－eq\f(1,2))－2＋(2016－π)0－|2－eq\r(3)|.解析：分别根据有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．解：－22＋(－eq\f(1,2))－2＋(2016－π)0－|2－eq\r(3)|＝－4＋4＋1－2＋eq\r(3)＝eq\r(3)－1.方法总结：熟练掌握有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质是解答此题的关键．探究点三：科学记数法【类型一】用负整数指数幂表示科学记数法某一种重量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人，0.000106用科学记数法可表示为()A．1.06×10－4B．1.06×10－5C．10.6×10－5D．106×10－6解析：0.000106＝1.06×10－4，故选A.方法总结：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【类型二】将用科学记数法表示的数还原为原数用小数表示下列各数：(1)2×10－7；(2)3.14×10－5；(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.解析：小数点向左移动相应的位数即可．解：(1)2×10－7＝0.0000002；(2)3.14×10－5＝0.0000314；(3)7.08×10－3＝0.00708；(4)2.17×10－1＝0.217.方法总结：将科学记数法表示的数a×10－n“还原”