2025八年级上册数数学(RJ)14.2.2 完全平方公式

2025八年级上册数数学(RJ)14.2.2完全平方公式第十四章整式的乘法与因式分解教学备注学生在课前完成自主学习部分教学备注学生在课前完成自主学习部分14.2.2完全平方公式学习目标：1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.2.灵活应用完全平方公式进行计算.重点：掌握完全平方公式的结构特点.难点：灵活应用完全平方公式进行计算.自主学习自主学习一、知识链接1．填空：(1)4＋(5＋2)＝___________；(2)4－(5＋2)＝___________；(3)a＋(b＋c)＝___________；(4)a－(b－c)＝___________．2．去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的各项都________；如果括号前是________，去掉括号后，括号里的各项都________．213.计算：(1)(x＋1)2＝___________；(2)(x－1)2＝___________；(3)(m＋n)2＝___________；(4)(m－n)2＝___________．二、新知预习问题1计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）（p+1)2=(p+1)(p+1)=___________；（2）（m+2)2=(m+2)(m+2)=___________；（3）（p-1)2=(p-1)(p-1)=___________；（4）（m-2)2=(m-2)(m-2)=___________．2问题2根据上面的规律，你能直接写出下列式子的答案吗？（a+b)2=___________；（a-b)2=___________.要点归纳：（乘法的）完全平方公式：(a＋b)2＝()2＋_____＋(_____)2，(a－b)2＝(_____)2－_____＋(_____)2.即两个数的和（或差）的平方，等于它们的_______，加上（或减去）它们的积的________.填一填：a＋b＋c＝a＋(________)；(2)a－b＋c＝a－(________)．要点归纳：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都________；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都________．三、自学自测1.运用乘法公式计算（x+3）2的结果是（）A．x2+9B．x2-6x+9C．x2+6x+9D．x2+3x+92.在等号右边的括号内填上适当的项：（1）a+b-c=a+（）；（2）a-b+c=a-（）；（3）a-b-c=a-（）；（4）a+b+c=a-（）.3.计算：(1)(x＋6)2；(2)(－a+b)2.四、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学备注配套PPT讲授1.情景引入教学备注配套PPT讲授1.情景引入（见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-18）课堂探究要点探究探究点1：完全平方公式问题1：观察下面两个图形，你能用不同的方式表示图1的面积及图2中Ⅲ的面积吗？用两种方法求图1的面积：S1＝(_________)2，S1＝(_________)2＋_________＋(_________)2.用两种方法求图2中Ⅲ的面积：SⅢ＝(_________)2，SⅢ＝(_________)2－_________＋(_________)2.问题2：观察下列完全平方公式，回答下列问题：(a+b)2=a2+2ab+b2.(a-b)2=a2-2ab+b2.说一说积的次数和项数.2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有什么关系？3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a,b有什么关系？它的符号与什么有关？要点归纳：1.公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次三项式；2.公式右边第一、三项分别是左边第一、第二项的平方．3.另一项是左边两项积的_____倍.4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.典例精析例1：利用完全平方公式计算：(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.方法总结:直接运用完全平方公式进行计算，关键是掌握完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．例2：利用乘法公式计算：(1)982－101×99；(2)20162－2016×4030＋20152.方法总结:运用乘法公式进行简便运算，要熟记乘法公式即平方差公式和完全平方公式的特征，将原式转化为能利用乘法公式运算的形式后，再进行计算．教学备注配套PPT讲授教学备注配套PPT讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片19-23）4.课堂小结(1)x2＋y2的值；(2)(x+y)2的值.方法总结:本题要熟练掌握完全平方公式的变式：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2－4xy.探究点2：添括号法则例4：计算：(1)(a－b＋c)2；(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．方法总结:第1小题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.第2小题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.针对训练1.下列运算中，正确的运算有()①(x＋2y)2＝x2＋4y2；②(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2；③(x＋y)2＝x2－2xy＋y2；④(x－eq\f(1,4))2＝x2－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,16).A．1个B．2个C．3个D．4个2.3ab－4bc＋1＝3ab－()，括号中所填入的整式应是()A．－4bc＋1B．4bc＋1C．4bc－1D．－4bc－13.填空：(1)(a＋b)2＝____________；(2)(a－b)2＝____________；(3)(5＋3p)2＝____________；(4)(2x－7y)2＝____________．4.若a+b=3，ab=2，则（a-b）2=___________.5.运用乘法公式计算：（1）2012；（2）(2a＋3b－1)(1＋2a＋3b)．二、课堂小结完全平方公式公式结构特征常用变形(a+b)2=_________;(a-b)2=_________.(1)公式左边都是____式的____，右边是一个____次____项式；(2)公式右边第一、三项分别是左边____的____，中间一项是左边两项____的____倍．a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;4ab=(a+b)2-(a-b)2.教学备注配套PPT教学备注配套PPT讲授5.当堂检测（见幻灯片24-27）当堂检测1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（）A．a2-4a+4B．a2-2a+4C．a2-4D．a2-4a-42.下列计算结果为2ab－a2－b2的是()A．(a－b)2B．(－a－b)2C．－(a＋b)2D．－(a－b)23.运用完全平方公式计算:(1)(6a+5b)2=_______________；(2)(4x-3y)2=_______________；(3)(2m-1)2=_______________；(4)(-2m-1)2=_______________.4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．5.计算(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．6.若a+b=5,ab=-6,求a2+b2,a2-ab+b2.7.已知x+y=8,x-y=4,求xy.第十四章整式的乘法与因式分解教学备注学生在课前完成自主学习部分教学备注学生在课前完成自主学习部分14.3.1提公因式法学习目标：1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.重点：理解理解因式分解的意义和概念.难点：掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.自主学习自主学习一、知识链接1.计算：x（x+1）=3a(a+2)=m(a+b+c)=乘法的分配律：a(b+c)=_________________.二、新知预习议一议：观察上面式子的计算结果，x2,x有什么共同点？3a2,6a有什么共同点？ma,mb,mc有什么共同点？多项式x2+x中有共同的因式，多项式3a2+6a中有共同的因式，多项式ma+mb+mc中有共同的因式，要点归纳：多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的____________.想一想：根据等式的性质填空，观察计算结果，这些式子的右边有什么共同点？x2+x=_________，3a2+6a=____________,ma+mb+mc=_____________.要点归纳：把化成的形式，叫作.如果多项式的各项有_______，可以把这个_______提取出来，将多项式写成_______与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.三、自学自测下列等式中，哪些从左到右的变形是乘法运算，哪些是因式分解.①1＋2x+3x2=1+x(2+3x)②3x(x+y)=3x2+3xy③6a2b+3ab2－ab=ab(6a+3b－1)④3xy－4x2y+5x2y2=xy(3－4x+5xy)2四、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学备注配套PPT讲授1.情景引入教学备注配套PPT讲授1.情景引入（见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-8）3.探究点2新知讲授（见幻灯片9-13）4.探究点3新知讲授（见幻灯片14-21）课堂探究要点探究探究点1：因式分解例1：下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个方法总结:因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．辩一辩：在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有___________，不是的，请说明为什么？①am+bm+c=m(a+b)+c____________________________________;②24x2y=3x·8xy____________________________________;③x2-1=(x+1)(x-1)____________________________________;④(2x+1)2=4x2+4x+1____________________________________;⑤x2+x=x2(1+)____________________________________;⑥2x+4y+6z=2(x+2y+3z)____________________________________.探究点2：公因式问题1：如何确定一个多项式的公因式？找一找：3x2-6xy的公因式.多项式3x2-6xy有____项，分别为__________、_________，它们的系数分别是______、_______，最大公约数是____________，它们含有的共同字母是___________，该字母的指数分别为____、_____.该多项式的公因式为______________.方法归纳：正确找出多项式的公因式的步骤：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的_______________.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的________的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中______的一个，即字母最_____次数.填一填：下列各多项式的公因式是什么？将其填在横线上.(1)3x+6y___________;(2)ab-2ac___________;(3)a2-a3___________;(4)4(m+n)2+2(m+n)___________;(5)9m2n-6mn___________;(6)-6x2y-8xy2___________;探究点3：用提公因式法分解因式典例精析例2：把下列各式分解因式(1)8a3b2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.教学备注4.探究点3新知讲授教学备注4.探究点3新知讲授（见幻灯片14-21）方法总结：提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.辩一辩：下列同学分解因式的结果正确吗？不正确的话，请说明理由，并改正.分解因式12x2y+18xy2=3xy(4x+6y).____________（填“正确”或“错误”）理由：_______________________________正解：________________________________分解因式3x2-6xy+x=x(3x-6y).____________（填“正确”或“错误”）理由：_______________________________正解：________________________________-x2+xy-xz=-x(x+y-z)____________（填“正确”或“错误”）理由：_______________________________正解：________________________________易错归纳：(1)提取公因式后，多项式中各项还含有公因式．(2)提取公因式后，漏掉另一个因式中商是1的项；(3)找底数互为相反数的幂的公因式时符号出错；例3：计算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．例4：已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.针对训练1.下列各式变形中，是因式分解的是（）A.a2－2ab＋b2－1＝（a－b）2－1 Ｂ.C．（x＋2）（x－2）＝x2－4 D.x4－1＝（x2＋1）（x＋1）（x－1）2.多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是()A．abcB．3a2b2C．3a2b2cD．3ab3.把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a-4）B．（a+2）（a-2）C．a（a+2）（a-2）D．（a-2）2-44.当a，b互为相反数时，代数式a2+ab-2的值为（）A．2B．0C．-2D．-15.分解因式(1)a2b–2ab2+ab；(2)2（a-b）-4(b-a)；(3)a2b（a－b）＋3ab（a－b）；(4)y2（2x＋1）＋y（2x＋1）2.教学备注配套PPT讲授教学备注配套PPT讲授5.课堂小结6.当堂检测（见幻灯片22-26）因式分解公因式提公因式法分解因式因式分解与______是互逆运算;因式分解的右边是两个或多个整式乘积的形式步骤：1.定__________;2.定__________;3.定__________.步骤：1:找公因式；2:提公因式注意事项：1.公