人教版九年级数学上册知识点总结及单元测试卷

人教版九年级数学上册知识点总结及单元测试卷

21.1一元二次方程

知识点-----元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)

的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：

①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式

一般形式：ax2+bx+c=0(aW0).其中，ax?是二次项，a是二次项系数；bx

是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二

次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

21.2降次一一解一元二次方程

21.2.1配方法

知识点一直接开平方法解一元二次方程

如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开

平方。一般地，对于形如x2=a(a10)的方程，根据平方根的定义可解得xl=«,x2=-&.

直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(mW0)形式的方程，如果p20,就可

以利用直接开平方法。

用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根

有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的

式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解

一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次,

把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数；

方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号右

边为非负数，直接开平方求出方程的解。

21.2.2公式法

知识点一公式法解一元二次方程

一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0),如果b2-4ac》0,那么方程的两个

-b±^b-4ac

根为x=工，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们

可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a7^0)的过程。

公式法解一元二次方程的具体步骤：

方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(aWO),一般a化为正值②确定公式中a,b,c

的值，注意符号;

③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac^0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可

求解，若b2-4ac<0,则方程无实数根。

知识点二一元二次方程根的判别式

式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(aW0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，

即△=b2-4ac.

△>0,方程ax2+bx+c=0(a#0)有两个不相等的实数

根

元三次方程△=0,方程ax2+bx+c=0(aW0)有两个相等的实数根

根的判别式

△<0,方程ax2+bx+c=0(aWO)无实数根

21.2.3因式分解法

知识点一因式分解法解一元二次方程

把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求

两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

因式分解法的详细步骤:

移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；

把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平

方公式；

令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；

解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二用合适的方法解一元一次方程

方理论依适用范围

法名称据

直接平方根的形如x2=p或(mx+n)

开平方法意义2=p(p20)

配方完全平方所有一元二次方程

法公式

公式配方法所有一元二次方程

法

因式当ab=0,则一边为0,另一边易于

分解法a=0或b=0分解成两个一次因式的积

的一元二次方程。

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为xl,x2,则有xl+x2=-p,xlx2=q.

bc

若一元二次方程a2x+bx+c=0(aWO)有两个实数根xl,x2,则有xl+x2=,a,xlx2=«

22.3实际问题与一元二次方程

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：

审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的

等量关系。

设：是指设元，也就是设出未知数。

歹U：就是列方程，这是关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等

含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。

解：就是解方程，求出未知数的值。

验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。

答：写出答案。

知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型

数字问题

三个连续整数：若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+lo

三个连续偶数(奇数)：若中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。

三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是

100a+10b+c.

(2)增长率问题

设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长或降

低后的等量关系为a（1±D2=b0

（3）利润问题

利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润

X总销售量；③利润=成本义利润率

（4）图形的面积问题

根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的

代数式表示出来，建立一元二次方程。

二次函数知识点归纳及相关典型题

第一部分基础知识

1.定义：一般地，如果旷=。/+"+。（。也。是常数，“#°）,那么叫做x的二次函数.

2.二次函数y的性质

（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

（2）函数”衣的图像与“的符号关系.

①当a〉。时O抛物线开口向上=顶点为其最低点；

②当a＜（）时O抛物线开口向下O顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是）'轴的抛物线的解析式形式为'（a，0）.

3.二次函数y=ad+"+c的图像是对称轴平行于（包括重合））'轴的抛物线.

4.二次函数y=*+"+c用配方法可化成：尸心-媾+攵的形式，其中

,b.4ac-b2

n=,k=----------

2a4a.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y=以2；②y=ad+女；③

y=a(x—h^.(4)y=a[x—hf+k.⑤y=ax2+匕x+c

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①。的符号决定抛物线的开口方向：当〃＞。时•，开口向上；当。＜。时，开口向下；

时相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作.特别地，)’轴记作直线》=0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数。相同，那么抛物

线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

y=ax2+bx+c=Jx+-^-\+(_A,4tzc-^.)

(1)公式法：.I2刈4a，，顶点是2a4a,对称

b

x=-----

轴是直线2a.

(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为'一犷+%的形式，得

到顶点为("，对称轴是直线x=/?.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称

轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线ynaf+H+c中，a，》，。的作用

(1)。决定开口方向及开口大小，这与丁=。/中的。完全一样.

（2）方和。共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线N=ad+"+c的对称轴是直

线

x-----＞0

2。，故：①。=。时，对称轴为）‘轴；②。（即匕同号）时.，对称轴在y轴

々＜0

左侧；③。（即。、匕异号）时，对称轴在卜轴右侧.

（3）C•的大小决定抛物线y=+bx+c与）’轴交点的位置.

当x=O时，y=c,.•.抛物线ka/+以+c与y轴有且只有一个交点（0,c）;

①。=0,抛物线经过原点；②。〉0,与）'轴交于正半轴；③。＜（）,与）’轴交于

负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在）’轴右侧,

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:

函数解析开口方向对称轴顶点坐标

式

%=o(>轴)(0,0)

y=ax1+kx=o（y轴）(0.k)

当a〉。时

x=h3,0)

开口向上

当。＜0时

y=a(x-h)+kx=h3,k)

开口向下

b

y—a£+hx+Cx----

la(

b4ac-h2

2a4a)

11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：y=a/+灰+，..已知图像上三点或三对x、》的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：y=a（x-〃y+勺已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与X轴的交点坐标不、％2,通常选用交点式：y=a{x-x,\x-x21

12.直线与抛物线的交点

（1））‘轴与抛物线，=/+法+'得交点为（o,。）.

（2）与＞轴平行的直线户力与抛物线y=/+灰有且只有一个交点（力，

ah2+Z?/i+c）.

（3）抛物线与x轴的交点

二次函数的图像与X轴的两个交点的横坐标王、当,是对应一元

二次方程ad+8x+c=。的两个实数根.抛物线与X轴的交点情况可以由对应的一元二次方

程的根的判别式判定：

①有两个交点抛物线与*轴相交；

②有一个交点（顶点在X轴上）04=。0抛物线与％轴相切；

③没有交点Q△＜0=抛物线与X轴相离.

（4）平行于龙轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交

点的纵坐标相等，设纵坐标为3则横坐标是以2+"+。=%的两个实数根.

（5）一次函数"履+麻。°）的图像/与二次函数y+灰+《"。）的图像G的交

y干/+n

点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时O/与G有

两个交点；②方程组只有一组解时O,与G只有一个交点；③方程组无解时与G没有

交占/、、、•

（6）抛物线与％轴两交点之间的距离：若抛物线丁=小+"+。与》轴两交点为

43,0）,8（尤2，。），由于匹、々是方程ad+8x+c=O的两个根，故

bc

X]+%2=-----，々=一

aa

AB=%一引=—*2y=J（X|-）2-4X/2

第二十三章旋转

23.1图形的旋转

知识点一旋转的定义

在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度，就叫做图形的旋转,

点。叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。

知识点二旋转的性质

旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段

的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。

理解以下几点：

图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的

距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改

变了图形的位置。

知识点三利用旋转性质作图

旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：

①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转

中心转过一定角度（作旋转角）

③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；④

接：即连接到所连接的各点。

23.2中心对称

知识点一中心对称的定义

中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，

那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

注意以下几点：

中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°

两个图形能够完全重合。

知识点二作一个图形关于某点对称的图形

要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于

对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图

形。

知识点三中心对称的性质

有以下几点：

关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平

分；

关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；

关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或共线)且相等。

知识点四中心对称图形的定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，

那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

知识点五关于原点对称的点的坐标

在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p(x,y)

关于原点对称点为(_x,-y)o

第二十四章圆

24.1圆

24.1.1圆

知识点一圆的定义

圆的定义：第一种：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另

一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点。叫作圆心，线段0A叫作半径。第二种：

圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。

比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的

观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二圆的相关概念

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆

分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆

中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2垂直于弦的直径

知识点一圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

知识点二垂径定理

(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，

c

直径为CD,AB是弦，且CDJ_AB,

D

垂是为力AC=BC

AD=BD

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M,

{CD1AB

AM=BMAC=BC

AD=BD

注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须

不是直径，否则结论不成立。

24.1.3弧、弦、圆心角

知识点弦、弧、圆心角的关系

弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,

所对的弦也相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所

对应的其余的各组量也相等。

注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所

对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定

相等。

24.1.4圆周角

知识点一圆周角定理

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半。

圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是

直径。

圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”

是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。

知识点二圆内接四边形及其性质

圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内

接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

24.2点、直线、圆和圆的位置关系

24.2.1点和圆的位置关系

知识点一点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。

用数量关系表示：若设。0的半径是r,点P到圆的距离0P=d,则有：

点P在圆外u>d>门点p在圆上=d=:r；点p在圆内0d<ro

知识点二过已知点作圆

经过一个点的圆（如点A）

以点A外的任意一点（如点0）为圆心，以0A为半径作圆即可，如图，这样的圆可

・01

A・02

・03

经过两点的圆（如点A、B）

以线段AB的垂直平分线上的任意一点（如点0）为圆心，以0A（或0B）为半径作

圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。

B

经过三点的圆

经过在同一条直线上的三个点不能作圆

不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作

圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，作法：连接AB、

BC（或AB、AC或BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点0,以点0

为圆心，以0A（或OB、0C）的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一个。

o

BC

知识点三三角形的外接圆与外心

经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

知识点四反证法

反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，

从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。

反证法的一般步骤：

假设命题的结论不成立；

从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相

矛盾的结论；

由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。

24.2.2直线和圆的位置关系

知识点一直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。

直线与圆的位置关系可以用数量关系表示

若设。。的半径是r,直线1与圆心0的距离为d,则有:

直线1键）0相交dVr守直线1和。。相切Qd=r；直线1和

00相离d>r0

知识点二切线的判定和性质

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆

心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

知识点三切线长定理

切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点

到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心

的连线平分两条切线的夹角。

注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量

的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。

知识点四三角形的内切圆和内心

三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形

叫做圆的外切三角形。

三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。

注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时,

过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。

24.2.3圆和圆的位置关系

知识点一圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系有五种：

如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；

如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种；

如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。

圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：

若设两圆圆心之间的距离为d,两圆的半径分别是rlr2,且rl<r2,则有

两圆笄篇d>rl+r2两哩外切E^l+r2两圆相交r2-rl<d

<rl+r2两圆内切d^o2-rl两圆内含d<r2-rl

24.3正多边形和圆

知识点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连

接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。

知识点二正多边形的性质

正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。

所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经

过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正

n边形的中心就是对称中心。

(〃—2)x180。360。

正n边形的每一个内角等于n,中心角和外角相等，等于丁。

24.4弧长和扇形面积

n兀R

知识点一弧长公式1=而

在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2nR,所以n。的

nnjiR

圆心角所对的弧长的计算公式1=360X2n区=而。

知识点二扇形面积公式

在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=mR2,所以圆

njtR~

心角为n°的扇形的面积为S扇形=丽。

比较扇形的弧长公式和面积公式发现：

生空=4^X1R=J_/R,所以s=L/R

S扇形=36018022»扇形2

知识点三圆锥的侧面积和全面积

圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧

面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为L底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径

12疗I、

为1,扇形的弧长为2nr,因此圆锥的侧面积$圆锥例="了一”。圆锥的全面积为

S圆锥全=5圆锥侧+5底=加+"「

25.1随机事件与概率

25.1.1随机事件

知识点一必然事件、不可能事件、随机事件

在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事

件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发

生的事件称为随机事件。

必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事

件。

知识点二事件发生的可能性的大小

必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有

小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。

25.1.2概率

知识点概率

一般地，对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事

件A发生的概率，记作P(A)o

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等,

m

事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)由m和n的含义可知

m

OWmWn,因此OW〃W1,因此OWP(A)Wl.

当A为必然事件时，P(A)=1；当A为不可能事件时，P(A)=0.

25.2用列举法求概率

知识点一用列举法求概率

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相

m

等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=7。

知识点二用列表发求概率

当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所

有可能的结果，通常用列表法。

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件

发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。

知识点三用树形图求概率

当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏

地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出现的次

数和方式，并求出概率的方法。

树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。

在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相

同。

25.3用频率估计概率

知识点

在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但

当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后,

可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。

m

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率需稳定于某一个常数P,那么

事件A发生的频率P(A)=po

新人教版九年级数学上个单元测试卷（含答案）

第二十一章过关自测卷

（100分,45分钟）

一、选择题（每题3分，共21分）

1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=0

11

B.xx=2

C.x2+2x=y2—1

D.3（x+l）2=2（x+1）

2.若一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为0,则下列结论正确的是（）

A.a=0B.b=0C.c=0D.cWO

3.一元二次方程x2-2x-l=0的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

4.方程x2+6x=5的左边配成完全平方式后所得方程为()

A.(x+3)2=14B.(x-3)2=14

C.(x+6)2=12D.以上答案都不对

2

5.已知x=2是关于x的方程^x2—2a=0的一个根，则2a—1的值是()

A.3B.4C.5D.6

6.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3亿元，预计2014

年投入5亿元.设教育经费的年平均增长率为x,根据题意，下面所列方程正确的是()

A.3(1+x)2=5

B.3x2=5

C.3(1+x%)2=5

D.3(1+x)+3(1+x)2=5

7.使代数式x2-6x-3的值最小的x的取值是()

A.0B.-3C.3D.-9

二、填空题(每题3分，共18分)

8.已知x=l是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为.

9.如果方程ax2+2x+l=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是.

10.已知a、B是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式(a-3)(B

-3)=.

11.在一幅长50cm,宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图,

如图1所示，如果要使整个挂图的面积是1800cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x

满足的方程为.

—3

x+2—5

12.已知x是一元二次方程x2+3x—l=0的实数根，那么代数式3f-6xx—2

的值为

13.三角形的每条边的长都是方程x2—6x+8=0的根，则三角形的周长是

三、解答题（14、19题每题12分，15题8分，16题9分，其余每题10分，共61

分）

14.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和

公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程.

①x2—3x+l=0;②（x-1）2=3；③x2—3x=0;@x2-2x=4.

x+1

15.已知关于x的方程x2+kx—2=0的一个解与方程不1=3的解相同.

(1)求k的值；

(2)求方程x2+kx-2=0的另一个解.

16.关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)请选择一个k的负整数值，并求出方程的根.

17.某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测，当每间的年租金定为10万元

时,可全部租出.每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺

每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.

(1)当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？

（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金一各种费

用）为275万元？

18.中秋节前夕，旺客隆超市采购了一批土特产，根据以往销售经验，每天的售价

与销售量之间有如下表的关系:

每千克售价（元）

8765•・0

每天销售量（千

克）0246•・6设当单价从38元/千克下调到

x元/千克时，销售量为y千克.

（1）根据上述表格中提供的数据，通过在直角坐标系中描点、连线等方法，猜测

并求出y与x的函数解析式;

(2)如果这种土特产的成本价是20元/千克，为使某一天的利润为780元，那么

这一天的销售价应为多少元/千克？(利润=销售总金额一成本)

19.如图2,A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别

从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s

的速度向点D移动.

(1)P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33cm2?

AiD

BC

图2

(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm?

第二十二章过关自测卷

（100分,45分钟）

一、选择题（每题4分，共32分）

1.抛物线y=ax2+bx—3过点（2,4）,则代数式8a+4b+l的值为（）

A.-2B.2C.15D,-15

2.图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在1时一，拱顶（拱桥洞的最高点）

离水面2m,水面宽4m.如图2建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）

图1图2

A.y=—2x2B.y=2x2

C.y=—2x2D.y=2x2

3.把抛物线y='x2-1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线

的解析式为（）

A.y=2(x+l)2-3

B.y=2(x—1)2—3

C.y=2(x+l)2+l

D.y=2（x-l）2+l

4.二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且aWO）中的x与y的部分对应值如下表:

（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为一3；

（2）当一5<xV2时，y<0；

（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧.则

其中正确结论的个数是（）

A.3B.2

C.1D.0

5.若一次函数y=ax+b（ar0）的图象与x轴的交点坐标为（一2,0）,则抛物线

y=ax2+bx的对称轴为（）

A.直线x=lB.直线x=—2

C.直线x=—1D.直线x=-4

6.设一元二次方程（X—1）（X—2）=m（m>0）的两实根分别为a,B,且aVB,

则a,B满足（）

A.1<a<p<2

B.1<a<2<B

C.a<1<B<2

D.aVI且B>2

7.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为(0,—3),则下列说法不正确的是()

A.抛物线开口向上

B.抛物线的对称轴是直线x=l

C.当x=l时，y的最大值为一4

D.抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0)

8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象如图3所示，下列说法错误的是()

A.图象关于直线x=l对称

B.函数y=ax2+bx+c(aWO)的最小值是一4

C.—1和3是方程ax2+bx+c=0(aWO)的两个根

D.当xVl时、y随x的增大而增大

图3

二、填空题(每题4分，共32分)

9.已知抛物线y=—§x2+2,当1WXW5时，y的最大值是

10.已知二次函数y=x2+bx—2的图象与X轴的一个交点为(1,0),则它与x轴的

另一个交点坐标是.

11.已知函数y=(k—3)x2+2x+l的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是.

12.一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关

系式：h=—5(t—1)2+6,则小球距离地面的最大高度是.

13.二次函数y=ax2+bx的图象如图4,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m

的最大值为.

图4图5

2

14.如图5,已知函数y=-x与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象交于点P,点P的纵坐

3_

标为1,则关于x的方程ax2+bx+x=0的解为.

15.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个

正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2.

£

16.如图6,把抛物线y=2x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点

A(—6,0)和原点0(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=^x2交于点Q,

则图中阴影部分的面积为

图6

三、解答题(每题12分，共36分)

17.如图7,已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(1,0),C(0,-3).

(1)求此二次函数的解析式；

(2)在抛物线上存在一点P使4ABP的面积为10,请求出点P的坐标.

图7

18.在平面直角坐标系xOy中，0为坐标原点，已知抛物线y=x2—(k+2)x+4k2+l.

(l)k取什么值时，此抛物线与x轴有两个交点？

(2)若此抛物线与x轴交于A(xl,0)、B(x2,0)两点(点A在点B左侧),且xl+x2=3,

求k的值.

19.已知抛物线yl=ax2+bx+c过点A(1,O),顶点为B,且抛物线不经过第三象限.

(1)使用a、c表示b;

(2)判断点B所在象限，并说明理由;

^冷+81

（3）若直线y2=2x+m经过点B,且与该抛物线交于另一点人求当x》l时

yl的取值范围.

第二十三章过关自测卷

（100分,45分钟）

一、选择题（每题3分，共24分）

1.已知下列命题：①关于一点对称的两个图形一定不全等；②关于一点对称的两

个图形一定是全等图形；③两个全等的图形一定关于一点对称.其中真命题的个数是

（）

A.0B.1C.2D.3

2.〈江苏泰州〉下列标志图（图1）中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

©©VC

ABCD

图1

3.如图2,在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE,将ABCE绕点C顺时针

方向旋转90°得到△DCF,连接EF,若NBEC=60°,则NEFD的度数为（）

图2

A.10°B,15°C.20°D.25°

4.如图3①，将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是

图3②中的（）

图3

5.如图4所示的图案中，绕自身的某一点旋转180。后还能与自身重合的图形的个

数是（）

图4

A.1B.2C.3D.4

6.已知aVO,则点P（―a2,—a+1）关于原点的对称点P'在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

7.将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面

上，如图5①.在图5②中，将骰子向右翻滚90°,然后在桌面上按逆时针方向旋转90°,

则完成一次变换.若骰子的初始位置为图5①所示的状态，那么按上述规则连续完成10

次变换后，骰子朝上一面的点数是（）

①②

图5

A.6B.5C.3D.2

8.如图6,在RtaABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=2,将AABC绕点C按顺时

针方向旋转n度后，得到△£口（：,此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F,则n

的大小和图中阴影部分的面积分别为（）

V3

A.30,2B.60,2C.60,2D.60,6

BC

图6

二、填空题（每题4分，共24分）

9.如图7,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF,连接AE、BF.将

△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到ABCF,旋转角为a（0°<a<180°）,则

a=.

图7

10.如图8,ZXABC的顶点坐标分别为A(4,6)、B(5,2)、C(2,1),如果将4ABC

绕点C按逆时针方向旋转90°,得到AA，B，C,那么点A的对应点

A,的坐标是

图8

11.如图9,AABC的3个顶点都在5X5的网格(每个小正方形的边长均为1个单

位长度)的格点上，将AABC绕点B顺时针旋转到封BP的位置，且点

A'、C'仍落在格点上，则线段AB扫过的图形的面积是平方单位(结果保

留几).

12.直线y=x+3上有一点P(3,n),则点P关于原点的对称点P'为.

13.如图10,ZkABC是直角三角形，BC是斜边，将AABP绕点A逆时针旋转后，能

与AACP'重合，若AP=3,则PP'的长是.

14.如图11①,在Z\AOB中,ZA0B=90°,0A=3,0B=4.将AAOB沿x轴依次以点A、

B、。为旋转中心顺时针旋转，分别得到图11②、图11③、…，则旋转得到的图11⑩的

直角顶点的坐标为.

图11

三、解答题(17题10分，18题12分，19题14分，其余每题8分，共52分)

15.如图12,在平面直角坐标系中，三角形②③是由三角形①依次旋转后所得的图

形.

(1)在图中标出旋转中心P的位置，并写出它的坐标;

（2）在图中画出再次旋转后的三角形④.

16.如图13所示，（1）观察图①〜④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案

都具有的两个共同特征：

图13

（2）借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中

所给出的两个共同特征.（注意：①新图案与图①〜④的图案不能重合；②只答第（2）问

而没有答第（1）问的解答不得分）

17.如图14,矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称,

(1)四边形BDEG是菱形吗？请说明理由；

图14

(2)若矩形ABCD面积为2,求四边形BDEG的面积.

18.如图15,在平面直角坐标系中，0为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位

长度.正方形ABCD顶点都在格点上，其中，点A的坐标为（1,1）.

（1）若将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°,点B到达点B1,点C到达点

C1,点D到达点D1,求点Bl、Cl、D1的坐标；

图15

（2）若线段AC1的长度与点D1的横坐标的差恰好是一元二次方程x2+ax+l=0的一

个根，求a的值.

19.如图16①所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形

CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至长

方形CE'F'D',旋转角为a.

图16

(1)当点6恰好落在EF边上时，求旋转角a的值;

(2)如图16②，G为BC中点，且0°<a<90°,求证：GD'=E'D；

(3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，ADCD'与ACBD'能否全等?

若能，直接写出旋转角a的值；若不能，说明理由.

第二十四章过关自测卷

（100分,45分钟）

一、选择题（每题4分，共32分）

1.如图1,AB是。。的切线，B为切点，A0与。0交于点C,若NBA0=40°,则N0CB

图1图2

2.如图2是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm,

水面最深地方的高度为2cm,则该输水管的半径为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

3.圆锥底面圆的半径为3cm,其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（）

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

图3图4

4.如图3,边长为a的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心。点

所经过的路径长为（）

A.6aB.5aC.2aHD.6a冗

5.如图4,已知AB是。。的直径，AD切。。于点A,点C是配的中点，则下列结论

不成立的是（）

A.OC//AEB.EC=BC

C.ZDAE=Z