2021届河北省张家口市高考一模 数学 试题（含答案）

2021届河北省张家口市高三年级一模考试数学试卷

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知4,3都是R的子集，且则BU（a^=（）

A.AB.BC.0D.R

6

2.)

1^3/—

3M3V10

B.—c.D.2

51010

3.小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选

法有（）

A.261种B.360种C.369种D.372种

4.溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH=—lg[/T],其中表示溶液中氢离子的浓

度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在1x10-7.45—1x10-735之间，如果发生波动，就是病理

现象，那么，正常人体血液的pH值的范围是（）

A.[7.25,7.55]B.[7.25,7.45]C.[7.25,7.35]D.[7.35,7.45]

5.己知两条不同的直线/,小和不重合的两个平面a,/?,且/，尸，有下面四个命题:①若，〃，夕，则///加；

②若。//夕，则/_La；③若a_L尸，贝”//«；④若/_La，则，〃//4.其中真命题的序号是()

A.①@B.②③C.②③④D.①④

6.某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔.某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美

术”、“音乐”三个社团的概率依次为"已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为,，假设该同学

25

经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为()

x~V2

7.已知椭圆C：r+T=1(。＞匕＞0)的左焦点为R上顶点为A,右顶点为8,若NQABN0LF的平

ah

分线分别交X轴于点D石，且I3|2+布|2年|2=2|闻|在］，则椭圆。的离心率为()

>/2>/3-145-1

---B.-----C.-----

222

8.设/(x)是R上的奇函数，且/(x)在(ro,0)上是减函数，又/(—4)=0,则不等式

/(X+4)―/(一X-4)〉0的解集是()

x

A.(0,4)B.(―8,T)C.(-4,0)u(0,4)D.(-8,T)u(0,4)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如果平面向量(2,—4),5=(—6,12),那么下列结论中正确的是()

A.出|=3|汗|B.a!!bC.乙与5的夹角为30°D.汗在B方向上的投影为

10.袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记

4次取球的总分数为X,则()

(?、822

A.X~IB.P(X=2)=—C.X的期望E(X)=]D.X的方差O(X)=]

11.已知a>0力>0,且2a+8/?=l,贝U()

A.3"">B.\[u.+2.\[b„1C.log2a+log,b„—6D.<7~+16b~<—

12.已知函数/(x)=x+2tanx,其导函数为/'(x),设g(x)=/'(x)cosx,贝!]()

A.7(x)的图象关于原点对称B./(x)在R上单调递增

C.2万是g(x)的一个周期D.g(x)在(0,']上的最小值为2近

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若P(4,l)为抛物线。：1=2勿5>0)上一点，抛物线C的焦点为凡则|尸产|=.

14.写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列6,=.

15.己知函数/(x)=sin〃x+acos；rx图象的一条对称轴为x=1,则。=，函数/(无)在区

6

间的值域为.

63

16.早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正

四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等.如图，正二十面体是由20个

等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一.如果把sin36。

按3计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于.

5

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

17

已知公比小于1的等比数列｛4｝中，其前"项和为5",%=—,53=—.

48

(1)求；

(2)求证：—„S<1.

2〃

18.(12分)

在E1A6C中，cosB(y/3a-/?sinC)=/?sinBcosC.

(1)求8；

(2)若c=2a,[jABC的面积为2叵，求的周长.

3

19.(12分)

如图，四边形ABCZ)是正方形，/%，平面48。。,/%//£8,且PA=AB=3.

p.

E

（1）求证：CE〃平面P4O；

（2）若BE=」PA,求直线P£）与平面PCE所成角的正弦值.

3

20.（12分）

某电器企业统计了近10年的年利润额y（千万元）与投入的年广告费用x（十万元）的相关数据，散点图如

图，对数据作出如下处理：令4=lnx,,巳=lny.,得到相关数据如表所示：

年广告我用/卜万元

（1）从①y=+②y=■（机＞0,女＞0）；③y=ex?+^+三个函数中选择一个作为年广告费

用x和年利润额》的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由：

（2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程；

（3）预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）

10

参考数据:B3.6788,3.678TB49.787

参考公式：回归方程丫=。+邑中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

b=--------------------，&=y-bT

za-n2

i=l

21.（12分）

22

已知双曲线C:5—］=1（。＞0,。＞0）上一动点尸，左、右焦点分别为£,场，且居（2,0）,定直线

aZr

/：x=』，PM_L/,点M在直线/上，且满足了”=走.

2|PF2\2

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若直线/。的斜率攵=1,且过双曲线右焦点与双曲线右支交于A,6两点，求口/18£的外接圆方程.

22.（12分）

已知函数/（x）=a\nx+—（aGR）.

x

（1）讨论函数/（X）在区间［1,2］上的最小值；

x

p+CCSX

（2）当4=1时•，求证：对任意X€（0,M）,恒有/（x）＜^一丝土成立.

X

2021届河北省张家口市高三年级一模考试数学

参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.D【解析】由Venn图，易知8D（«/D=R.故选D.

.,666卬力

2.A【解析】----=-------=/---=------.故选A.

1-3/|l-3z|JF+E5

3.C【解析】从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动

的选法有C；C；+C；C；+C：C；=369（种）.故选C.

745-735

4.D【解析】依题意，pH,=-1g[1xIO_]=7.45,pH2=-1g[1x10]=7.35,因此，正常人体血

液的pH值的范围是[7.35,7.45].故选D.

5.A【解析】对于①，由/可得///相，故①正确;

对于②，若/，/?,。//用，可得/_Lc,故②正确；

对于③，若lA./3,a10,则有可能/ua,故③错误;

对于④，当/，⑸/_L/〃时，则有可能mu/7,故④错误.

综上，真命题的序号是①②.故选A.

6.D【解析】由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为:，则占-H

+?g卜一¥

1117

所以一（a+份——ab=~,所以。+匕一。6=一，所以该同学一个社团都不进入的概率

2255

P=(l-a)(l-&)4l-|Uy[l-(«+Z>)+«M=|{l-[(«+/?)-aZ?])=|xM-|U^.故选D.

7.C【解析】如下图所示:

因为|AO『+|AE|2—|OE|2=&|AO"AE|,所以由余弦定理得

回三四—西回回=也又如E』O兀

2\AD\-\AE\~2\AD\-\AE\"21心,所以ND4E=45°.因为AD,AE分

别为NOABNQ4E的平分线，所以ZR4尸=2ND4E=90°,所以ABJ_AF.由题意可知，点

F(-c,O),A(0,b),B(a,0),则而=(—c,—切，而=(a,—b).

由福•丽=-ac+/=0,可得〃2_。2_4。=0,即。2+。。一。2=0,在等式c2+ac—〃=0的两边同

时除以标,可得e2+e-l=0,因为0<e<l,解得e=避二L故选C.

2

8.B【解析】因为/(X)是R上的奇函数，且在(—oo,0)上是减函数，所以/(X)在(0,+8)上是减函数,

又因为/(-4)=0,所以"4)=0,则函数/(x)的大致图象如下图所示：

由人+4)-/(*4),°得2+4)]〉o,即2/Q+4),°

XXX

[/(x+4)<0,f/(x+4)>0,f-4<x+4<0,[0<x+4<4,

则《八或八则八或〈八解得一

x<0,[x>0,[x<0,[x>0,

故仆+4)-仆-4)>0的解集是(_&-4).故选B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.AB【解析】因为G=(2,—4),5=(—6,12),所以5=—3H.

在A中，因为5=-31,所以|5|=3|初，故A正确；

在B中，因为5=-3@,所以1//B,故B正确；

在c中，因为5=—3万，所以日与5的夹角为180。，故c错误；

在D中，G在5方向上的投影为吆=(214)・(-6.12)=_2后,故D错误.故选AB.

出।7(-6)2+122

10.ACD【解析】由于每次取球互不影响，故所有结果有4类:

①4次全是白球，X=0,记其概率为P(X=0)=

y(i

②4次只有1次是黑球,x=i,记其概率为p(x=i)=c：§(3

③4次只有2次是黑球，X=2,记其概率为P(X=2)=C：(g)=|y；

④4次只有3次是黑球，X=3,记其概率为。(*=3)=《(|)：=||；

故*~5(4,'],故A正确，B错误；

因为X~8(4,gj,所以X的期望E(X)=4x|=g,故C正确；

/2、?18

因为X~B4,一,所以X的方差。(X)=4x—x—=—,故D正确.故选ACD.

I3J339

11.ABC【解析】对于A,因为a>0,b>0,且2a转8T，所以2a-8b=2a-(1-2。)=4。-1>一1,

所以3?。-昉〉3-1=_1,所以34-独>也，故A正确；

33

对于B,(A/2674-8/7+2\j2a-Sb=1+2。2a•8),,1+(2。+8b)=2,所以42a夜，

当且仅当2a=助，即。=工,。=^-时取等号，故6+2J&J，故B正确；

416

对于C,log,2a+log2Sb=log,16ab„log,=-2,当且仅当2a=8人，即〃=；,"=上时取

等号，log22a+log28/?=1+log2a+3+log2b„-2,log2a+log2b„-6,故C正确；

对于D,已知a>0力〉0,且2a+8b=l,所以(2。+助产”2(2。/+2(昉>,即L,8a?+128/,则

1+16尸…一，当且仅当2a=8b,即a=—力=一时取等号，故D错误.故选ABC.

8416

12.AC【解析】/(x)=x+2tan尤的定义域是{x|XH仔+Z肛Zez},其关于坐标原点对称，且

/(-%)=-x+2tan(-x)=-x-2tanx=-(x+2tanx)--/(x)，所以/(x)是奇函数，所以/(x)的图象

关于原点对称，故A项正确；

,2,2

由/(x)=x+2tanx,Wf(x)=1+---—，则g(x)=/(X)COSX=COSXH-----.

cosxcosx

f(x)=l+——>0恒成立，所以/(x)在(-&+版■，&+Z万](ZeZ)上单调递增，并不是在R上单调

cos*-%V22)

递增，故B项错误；

2

由g(x)=cosx+----，得函数g(x)的定义域是

COSX

<Rx手N-+k7v,kGZ1,g(x+2乃)=cos(x+2乃)+-----------=cosxd——--=g(x)，故C项正确；

[2Jcos(x+2%)cosx

设/=COSX,当xe0微时，/e(O,l),此时g(x)>3,故D项错误，故选AC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.5

,,8

【解析】由P(4,l)为抛物线。：/=2〃)，(〃>0)上一点，得42=2pxl,可得〃=8,则|P曰4+1&

14.2/?-6(答案不唯一)

【解析】要满足“前3项之和小于第3项”，则4+々<0,则不妨设4=—4,4=一2,则

=-4+(〃-1)x2=2〃一6.

15.>/3[1,2(第一空2分，第二空3分)

【解析】为函数/(x)的对称轴为％=工，

6

由辅助角公式可得/(x)=CT^sin(;rx+e)(tane=。),

所以-j-JiW,即sin工+acos工一J1+4?,即上+近a—J1+Y,两端平方,

6622

11'|„7t「乃2乃

可得a=6.所以/(%)=sin+V3cos7rx=2sinTVX+—由——，z得万尤+一£—,——

63363

所以sin[;rx+m)e，所以2sinj;rx+?]e[l,2],故函数/(x)在区间

上的值域为[1,2].

55百

16.

36%

【解析】由图，知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设其半径为R,正五边形的外接圆半径

O35/

为八正二十面体的棱长为/,则2=sin36。=士，得〃=二，所以正五棱锥的顶点到底面的距离是

r56

而［，解得

h=J/2一平I,所以小户+代疗，即R2W+R—

6

2

/?=今:/.所以该正二十面体的外接球表面积为S球=4万R2=4%X367rj2--r-._r--.।

=----广，而该正一十

111）11

面体的表面积是S正二卜面体=20乂5*/、八《1160。=5石/2,所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的

外接球表面积之比等于更叵

367r

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

⑴解：设等比数列｛4｝的公比为g.

_11

——,Clj=一，

4相

由,得V~417分

_71117

——，----1---1—q=—,

8包448

_1

——,

4T

解得]或＜一4,（舍去）,4分

q--，=2

2

n-2\

所以“〃；2

=x6分

27

（2）证明：由（1）得4=（；）

2、〃

所以。1-8分

27

因为在R上为减函数，且＞0恒成立，

所以当〃eN*,即“..1时，9分

所以;”S.=1一出＜1.10分

18.(12分)

解：(1)由cos8(Ga-/?sinC)=hsin8cosC,得6。€：058—。＜：0585由。=/?5巾8(：05(7,

即VSt/cosB=Z?sinBcosC+Z?cosBsinC，

V3«cosB=/?sin(B+C),2分

V3tzcosB=/?sinA.3分

由正弦定理，得GsinAcos8=sin8sinA,4分

因为sinAw0,

所以百cos8=sin8,所以tanB二百.5分

TT

因为0<B〈万，所以8=—.6分

3

(2)因为c=2a「ABC的面积为拽,

3

1.D

所以S=-acsmB

ABC223

2月

解得。

亍8分

所以c=2a=逑

9分

3

由余弦定理〃=ci2+c2-2accosB

解得b=2.11分

所以口ABC的周长为。+人+。=冬叵+2+型=2+26.12分

33

19.（12分）

（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，所以5C//AD.1分

又ADu平面PAD,BCu平面PAD，

所以BC//平面B4Z）.2分

因为PA//E5,3分

同理，可证EB//平面PA。，4分

又BCcEB=B,所以平面EBC//平面PAD,5分

又因为CEu平面EBC,所以CE//平面PAD.6分

解：分别以A£>,AB,AP为苍y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系.

因为Q4=AB=3,所以BE=』PA=1,

3

则P(0,0,3),£)(3,0,0),C(3,3,0),E(0,3,1),7分

则PD=(3,0,-3),PC=(3,3,-3),PE=(0,3,-2).8分

设平面PCE的法向量为比=(x,y,z),则由

z

X———，

m-PC=(x,y,z)-(3,3,-3)-3x+3y-3z=°，得3

m-PE-(x,y,z)-(0,3,-2)=3y-2z=0,2z

y=­

3

令z=3,得平面PCE的一个法向量为比=(1,2,3).10分

PDffi(3,0,-3)•(1,2,3)二也

设直线P0与平面PCE所成角为8,贝Usin9=

|孙训3A/2XV14-7

所以直线PO与平面PCE所成角的正弦值为立

12分

7

20.(12分)

解：(1)由散点图知，年广告费用x和年利润额)，的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，所以选择回

归类型y=更好.3分

(2)对¥=〃?•一两边取对数，得Iny=lnm+Zlnx,即t>=ln〃2+U,4分

10

Vuv-\Guv

由表中数据得，*年—=30-5-10x1.5x1.5

6分

。2-246.5-10x1.5x1.53

-1i0nM

i=\

所以=万=l.5-」xl.5=l,所以加=e,7分

所以年广告费用x和年利润额y的回归方程为y=e•户.8分

(3)由(2),知y=6X,

1i10-

令y=e-％3＞10,得炉＞、，得力＞36788,10分

所以x>3.67883a49.787,11分

所以xa49.8（十万元）=498（万元）.

故下一年应至少投入498万元广告费用.12分

21.（12分）

解：（1）由题意，可知世2=亚，设点P（x,y）,

\PM\3

贝苻T+L空

33

X——

2

“3、2

得（x-2）2+y_=§x——,

得炉-4x+4+V=^x2-4x+3

得l+y2=；/,4分

即双曲线的标准方程为二-y2=i.5分

3

（2）由题意，可知直线/o：y=x-2,设4（不乂）,3（工2，%），

y=x-2,

则《尤2可得2/_12%+15=06分

1——3y=1，

则AB中点为M（3,l）口ABg外接圆圆心在AB的垂直平分线上，设为11,

故4方程为y=-x+4,

又由焦点弦长公式，可知|A5|=26.8分

%=—x0+4,

设圆心(七,%)满足/22R/0、22

[(%—3)+(%-1)+3=(/+2)+%,

1

%=修

故45io分

8；V8J32

22.(12分)

(1)解：函数/(x)=alnx+，的定义域是(0,+oo),

X

ax-\

1分

①当④0时，依一1<0,^^<0,则/'(x)<0,

X

则函数/(幻在(0,+8)上单调递减，即函数/(X)在区间［1,2］上单调递减,

故函数/(x)在区间［1,2］上的最小值为/(2)=aln2+1.3分

②