2024年山东省烟台市中考数学试卷

2024年山东省烟台市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。1．（3分）下列实数中的无理数是（）A．23 B．3.14 C．15 D．2．（3分）下列计算结果为a6的是（）A．a2•a3 B．a12÷a2 C．a3+a3 D．（a2）33．（3分）如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（）A．① B．② C．③ D．④4．（3分）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．b+c＞3 B．a﹣c＜0 C．|a|＞|c| D．﹣2a＜﹣2b5．（3分）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一．已知1毫米＝1百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（）A．0.15×103纳米 B．1.5×104纳米 C．15×10﹣5纳米 D．1.5×10﹣6纳米6．（3分）射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为S甲2和S乙2，则S甲2和S乙2的大小关系是（）≈A．S甲2＞S乙2 B．S甲2＜S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．无法确定7．（3分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG．若∠AGF＝α，则∠FAG用含α的代数式表示为（）A．45°-α2 B．90°-α2 C．45°+9．（3分）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？（）A．45尺 B．88尺 C．90尺 D．98尺10．（3分）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF＝23cm，∠E＝60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止．在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）若代数式3x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围为12．（3分）关于x的不等式m-x2≤1﹣x有正数解，m的值可以是13．（3分）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为．14．（3分）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作BD，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．15．（3分）如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，连接AD'，BD'，则△ABD′面积的最小值为．16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x﹣4﹣3﹣115y0595﹣27下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．其中正确结论的序号为．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）17．（6分）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：（mm-3+18．（7分）“山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：0≤t＜2；B组：2≤t＜4；C组：4≤t＜6；D组：6≤t＜8），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，a的值为，D组对应的扇形圆心角的度数为；（3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．19．（8分）根据手机的素材，探索完成任务．探究太阳能热水器的安装素材一太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．素材二某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76°．sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°＝0.94sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01素材三如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．AE为某时刻的太阳光线．问题解决任务一确定使用数据要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择日（填冬至或夏至）时，α为（填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算．任务二探究安装范围利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．20．（8分）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？21．（9分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y=kx的图象交于点A（6，a）．将正比例函数图象向下平移n（n＞0）个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE：CE＝3：2，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接（1）求反比例函数的表达式；（2）求n的值及△BCG的面积．22．（10分）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为；【类比探究】（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出sin∠ECD的值．23．（11分）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是BC上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；（3）若CI＝22，DI=132224．（13分）如图，抛物线y1=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC＝OA，AB＝4，对称轴为直线l1：x＝﹣1．将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与（1）分别求抛物线y1和y2的表达式；（2）如图1，点F的坐标为（﹣6，0），动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN，求FM+MN+DN的最小值；（3）如图2，点H的坐标为（0，﹣2），动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使∠PEH＝2∠DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2024年山东省烟台市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。1．（3分）下列实数中的无理数是（）A．23 B．3.14 C．15 D．【答案】C【解答】解：23是分数，3.14是有限小数，36415是无限不循环小数，它是无理数；故选：C．2．（3分）下列计算结果为a6的是（）A．a2•a3 B．a12÷a2 C．a3+a3 D．（a2）3【答案】D【解答】解：A．a2•a3＝a2+3＝a5，故选项不符合题意；B．a12÷a2＝a12﹣2＝a10，故选项不符合题意；C．a3+a3＝2a3，故选项不符合题意；D．（a2）3＝a2×3＝a6，故选项符合题意；故选：D．3．（3分）如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【解答】解：若取走标有①的小正方体，则左视图只有上下两个正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意．故选：A．4．（3分）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．b+c＞3 B．a﹣c＜0 C．|a|＞|c| D．﹣2a＜﹣2b【答案】B【解答】解：如图所示，﹣3＜a＜﹣2＜b＜﹣1＜3＜c＜4，|c|＞|a|＞|b|，故C不符合题意，∴b+c＜3，故A不符合题意，a﹣c＜0，故B符合题意，﹣2a＞﹣2b，故D不符合题意，故选：B．5．（3分）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一．已知1毫米＝1百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（）A．0.15×103纳米 B．1.5×104纳米 C．15×10﹣5纳米 D．1.5×10﹣6纳米【答案】B【解答】解：由题意可得1毫米＝1百万纳米＝106纳米，则0.015毫米＝1.5×10﹣2×106纳米＝1.5×104纳米，故选：B．6．（3分）射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为S甲2和S乙2，则S甲2和S乙2的大小关系是（）≈A．S甲2＞S乙2 B．S甲2＜S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．无法确定【答案】A【解答】解：图表数据可知，甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小，即甲的波动性较大，即方差大，∴S甲2＞S乙2．故选：A．7．（3分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解答】解：第一个图形射线OP为∠AOB的平分线；第二个图形射线OP为∠AOB的平分线；第三个图形射线OP为∠AOB的平分线；第四个图形射线OP为∠AOB的平分线；故选：D．8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG．若∠AGF＝α，则∠FAG用含α的代数式表示为（）A．45°-α2 B．90°-α2 C．45°+【答案】B【解答】解：设AC与BD的交点为O，∵正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，∴OD＝OC，∠ODC＝∠OCD＝45°，DE＝CF，∴OE＝OF，∵∠EOF＝∠DOC，OEOD∴△EOF∽△DOC，∴∠OFE＝∠OCD＝45°，∵点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，∴DEBE∵正方形ABCD，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△ABE∽△GDE，∴DGAB∴DG=∴△DEG≌△CFG（SAS），∴GE＝GF，∴∠GEF∴∠FAG故选：B．9．（3分）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？（）A．45尺 B．88尺 C．90尺 D．98尺【答案】C【解答】解：设每天减少x尺布，∵第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，∴5﹣29x＝1，解得：x=4∴5+5-429+5-829+⋯⋯+1＝故选：C．10．（3分）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF＝23cm，∠E＝60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止．在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：如图所示，设EG，HF交于点O，∵菱形EFGH，∠E＝60°，∴HG＝GF，∠HGF＝∠E＝60°，∴△HFG是等边三角形，∵EF=23cm，∠E＝∴∠OEF＝30°，∴EG=2EO∴S菱形EFGH=1当0≤t≤3时，重合部分为△MNG，如图所示，依题意，△MNG为等边三角形，运动时间为t，则NG=tcos∴S=12×当3＜t≤6时，如图所示，依题意，EM＝EG﹣t＝6﹣t（cm），则EK=EMsin∴S△EKJ=1∴S＝S菱形形EFGH﹣S△EKJ=6-33(6-∵EG＝6cm＜BC，∴当6＜t≤8时，S=63cm当8＜t≤11时，同理可得，S=6-33当11＜t≤14时，同理可得，S=33[6-(综上所述，当0≤t≤3时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当3＜t≤6时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当6＜t≤8时，函数图象为一条线段，当8＜t≤11时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当11＜t≤14时，函数图象为开口向上的一段抛物线，故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）若代数式3x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围为x＞【答案】x＞1．【解答】解：∵代数式3x∴x﹣1＞0，解得：x＞1，故答案为：x＞1．12．（3分）关于x的不等式m-x2≤1﹣x有正数解，m的值可以是【答案】0（答案不唯一）．【解答】解：原不等式整理得：12x≤1﹣m解得：x≤2﹣2m，∵原不等式有正数解，∴2﹣2m＞0，解得：m＜1，则m的值可以是0，故答案为：0（答案不唯一）．13．（3分）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为6．【答案】6．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，∴2m2﹣4m＝1，m+n=--42=∴3m2﹣4m+n2＝2m2﹣4m+m2+n2＝1+（m+n）2﹣2mn＝1+22﹣2×（-1＝6．故答案为：6．14．（3分）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作BD，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为3．【答案】3．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BF，垂足为M，则BM＝FM，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠E=(6-2)×180°6=120°，AB＝AF＝EF＝DE∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFE=180°-120°2∴∠BFD＝120°﹣30°﹣30°＝60°，在Rt△ABM中，AB＝6，∠ABM＝30°，∴BM=32AB＝3∴BF＝2BM＝63，设这个圆锥的底面半径为r，由题意可得，2πr=60解得r=3故答案为：3．15．（3分）如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，连接AD'，BD'，则△ABD′面积的最小值为203-16【答案】203-16【解答】解：∵在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，∴∠ABC＝60°，CD＝8，∵E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，∴D'E＝DE＝CE=12CD＝∴点D'是以E为圆心，CD为直径圆周上的一点，作出⊙E，如图，过点E作EH⊥AB交直线AB于点H，交⊙E于点G，过点D'作D'M⊥AB于点M，连接EM，∵△ABD′面积=12AB•D'M，AB＝∴△ABD′面积＝4D'M，要求△ABD′面积的最小值，只要求D'M的最小值即可，∵D'M＝D'M+D'E﹣4≥EM﹣4≥EH﹣4，∴D'M的最小值为EH﹣4，过点C作CN⊥AB于点N，则EH＝CN，在Rt△BCN中，∵BC＝10，∠ABC＝60°，CN＝BC•sin60°＝10×32=∴EH＝53，∴D'M的最小值为53-4∴△ABD′面积＝4（53-4）＝203-故答案为：203-1616．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x﹣4﹣3﹣115y0595﹣27下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．其中正确结论的序号为①②④．【答案】①②④．【解答】解：把（﹣4，0），（﹣1，9），（1，5）代入y＝ax2+bx+c得：16a解得a∴abc＞0，故①正确；∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝8，∴y＝﹣x2﹣2x+8，当y＝9时，﹣x2﹣2x+8＝9，∴x2+2x+1＝0，∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线x=∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9），又∵a＜0，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；当x＝﹣1时，函数取最大值9，∵x＝﹣3与x＝1时函数值相等，等于5，∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，故③错误；∵m+(-∴点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）关于对称轴x＝﹣1对称，∴y1＝y2，故④正确；由ax2+（b+1）x+c＜2得ax2+bx+c＜﹣x+2，即﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，画函数y＝﹣x2﹣2x+8和y＝﹣x+2图象如下：由y=解得x1=2∴A（2，0），B（﹣3，5），由图形可得，当x＜﹣3或x＞2时，﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，即ax2+（b+1）x+c＜2，故⑤错误；综上，正确的结论为①②④，故答案为：①②④．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）17．（6分）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：（mm-3+【答案】m-26-2【解答】解：（mm-＝（m2+3=(m-=m根据计算器可得m＝±9-5=±4∵4﹣2m≠0，∴m≠2，当m＝﹣2时，原式=-18．（7分）“山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：0≤t＜2；B组：2≤t＜4；C组：4≤t＜6；D组：6≤t＜8），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，a的值为32，D组对应的扇形圆心角的度数为28.8°；（3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）20，补图见解答；（2）32，28.8°；（3）23【解答】解：（1）抽取额的人数有：10÷20%＝50（人），C组的人数有：50﹣10﹣16﹣4＝20（人），补全统计图如下：（2）a%=1650=32%，即aD组对应的扇形圆心角的度数为：360°×450故答案为：32，28.8°；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8，所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率=819．（8分）根据手机的素材，探索完成任务．探究太阳能热水器的安装素材一太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．素材二某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76°．sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°＝0.94sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01素材三如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．AE为某时刻的太阳光线．问题解决任务一确定使用数据要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择冬至日（填冬至或夏至）时，α为14°（填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算．任务二探究安装范围利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．【答案】（1）冬至，14°；（2）乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．【解答】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即α＝14°，故答案为：冬至，14°；任务二：过E作EF⊥AB于F，则∠AFE＝90°，EF＝54米，BF＝DE，在Rt△AFE中，tanα=∴AF＝EF•tan14°≈54×0.25＝13.5（米），∵AB＝11×3.3＝36.3（米），∴DE＝BF＝AB﹣AF＝36.3﹣13.5＝22.8（米），∴22.8÷3.3≈7（层），答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．20．（8分）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？【答案】（1）y与x的函数关系式为：y＝﹣0.4x2+20x+12000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元；（2）售出64辆轮椅．【解答】解：（1）y＝（200﹣x）（60+4×x＝﹣0.4x2+20x+12000．＝﹣0.4（x2﹣50x+625）+12250＝﹣0.4（x﹣25）2+12250．∵200﹣x≥180，∴x≤20．∴当x＝20时，利润最大，最大利润为：﹣0.4（20﹣25）2+12250＝12240（元）．答：y与x的函数关系式为：y＝﹣0.4x2+20x+12000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元；（2）12160＝﹣0.4（x﹣25）2+122500.4（x﹣25）2＝12250﹣121600.4（x﹣25）2＝90（x﹣25）2＝225．解得：x1＝40（不合题意，舍去），x2＝10．∴售出轮椅的辆数为：60+4×1010答：售出64辆轮椅．21．（9分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y=kx的图象交于点A（6，a）．将正比例函数图象向下平移n（n＞0）个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE：CE＝3：2，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接（1）求反比例函数的表达式；（2）求n的值及△BCG的面积．【答案】（1）反比例函数解析式为y=6x；（2）n＝1，【解答】解：（1）∵点A（6，a）在直线y＝x的图象上，∴A（6，6），∵点A（6，6）在反比例函数y=k∴k＝6，∴反比例函数解析式为y=6（2）正比例函数向下平移n个单位后得到直线BC的解析式为y＝x﹣n．如图，作BG⊥y轴，CH⊥y轴，∴BG∥CH，∴△GBE∽△HCE，∵BE：CE＝3：2，∴BECE设点B（3a，63a），则C（﹣2a，∵点BC在直线y＝x+n的图象上，3a解得a=1∴直线BC解析式为y＝x+1，∵直线BC与BG关于直线BF成轴对称，∴E（0，﹣1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（﹣2，﹣3），∴GD＝4，∴S△BCG＝S△BDG+S△CDG=1222．（10分）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为BE=2【类比探究】（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出sin∠ECD的值．【答案】（1）BE=2CD；（2）BE=2【解答】解：（1）如图，过点E作EM⊥CB延长线于点M，由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADC+∠EDM＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠EDM，∴△ACD≌△DME（AAS），∴CD＝EM，AC＝DM，∵AC＝BC，∴BM＝DM﹣BD＝AC﹣BD＝BC﹣BD＝CD，∴BM＝EM，∵EM⊥CB，∴BE=故答案为：BE=（2）补全图形如图，BE=过点E作EM⊥CB延长线于点M，由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADC+∠EDM＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠EDM，∴△ACD≌△DME（AAS），∴CD＝EM，AC＝DM，∵AC＝BC，∴BM＝DM+BD＝AC+BD＝BC+BD＝CD，∴BM＝EM，∵EM⊥CB，∴BE=（3）如图，过点E作EM⊥CB延长线于点M，由（2）得DM＝AC＝1，EM＝CD＝2，∴CM＝CD+DM＝3，∴CE=∴sin∠23．（11分）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是BC上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；（3）若CI＝22，DI=1322【答案】（1）115°；（2）DI＝AD＝BD，证明见解析；（3）30．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，又∵∠ABC＝25°，∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°，∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，∴∠CEB+∠CAB＝180°，∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°；（2）DI＝AD＝BD，连接AI，∵点I为△ABC的内心，∴∠CAI＝∠BAI，∠ACI∴AD=∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACl，AD＝BD，∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI，∴∠DAI＝∠DIA，∴DI＝AD＝BD；（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心，∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，∵CI=22，∠IFC＝90°，∠ACI＝∴CF＝CI•cos45°＝2＝CP，∵DI＝AD