初中数学竞赛定理

欧拉(Euler)线:

同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角

形的欧拉线;

且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。

外心重心重心垂心

2.00厘米4.00厘米

九点圆：

任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个

点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；

其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径

的一半。

OA=1.07厘米

08=1.07厘米

0Kl=243厘米

BD=4.87厘米

费尔马点：

已知P为锐角4ABC内一点，当NAPB=/BPC=NCPA=120°时,

PA+PB+PC的值最小，这个点P称为4ABC的费尔马点。

C

BP+CP+AP8E+CE+AE

10.90厘米1151厘米

BE=3.45厘米

尔马点)荽-720。CE=5.00厘米

=720。AE=3.06厘米

-120°BP=4.93厘米

CP=3.63厘米

ETAAP=2.33厘米

海伦(Heron)公式：

海伦(Heron)公式：

1

在Zk/lSC中，边BC、CA.A8的长分别为a、b、(；,若p=,(a+b+c),

,A8C的面积S=Jp(p-a)(p-b)(p—c)

AB=4.00^/

BC=6.09厘米/

1CA=5.00厘米/

—(AB+SC+CA)=7.54MBKDC

P=7.54厘米

AD=3.27厘米

y/p(p-AB)(p-BC)(p-CA)=9.94厘兴—BC-AD=9.94厘米

塞瓦(Ceva)定理：

在4ABC中，过4ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别

交边BC、CA、AB与点D、E、F,则(BD/DC)•(CE/EA)•(AF/FB)=1；其逆亦真。

A

F/\\E票偌)偌A。。

DC=3.79厘米

-------------/_______—CE=2.73隆米

BDJEA=2.8。厘米

AF=3.41厘米

FB=3.60厘米

密格尔(Miquel)点：

若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，

构成四个三角形，它们是AABF、AAED>ABCE>ADCF,

则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

密格尔(Miquel)飞

葛尔刚(Gergonne)点:

△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F,

则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。

西摩松(Simson)线：

已知P为4ABC外接圆周上任意一点，PD±BC,PE±ACPF±AB,D、

E、F为垂足，

则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。

CB

P(托动)

黄金分割：

把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)

与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。

AC2=14.0厘米

7--------------g-----------CB-AB=14.0厘米

AB

帕普斯(Pappus)定理：

已知点Ai、A2、A3在直线11上，已知点Bi、B2、B3在直线12上，

且AlB2与A2B1交于点X,A1B3与A3B1交于点Y,A2B3于A3

B2交于

点Z,则X、Y、Z三点共线。

笛沙格(Desargues)定理：

已知在△ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点0,

BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z,则X、Y、

Z三点共线；其逆亦真

BX

摩莱(Morley)三角形:

在已知4ABC三内角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两

线相交于点D、E、F,则4DEF是正三角形，

这个正三角形称为摩莱三角形。

DE=1.24厘米

EF=1.24厘米

FD=124厘米

帕斯卡(Paskal)定理：

已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G,边BC、EF

延长线交于点H,边CD、FA延长线交于点K,则H、G、K三点共线。

在圆内接四边形中，AB・CD+AD・BC=AC•BD

斯图尔特(Stewart)定理：

设P为4ABC边BC上一点，且BP：PC=n：m,贝ij

m,(AB2)+n,(AC2)=m,(BP2)+n,(PC2)+(m+n)(AP2)

A

AC=7.72厘米

AP=4.75厘米

梅涅劳斯(Menelaus)定理：

在^ABC中，若在BC、CA、AB或其延长线上被同一条直线

截于点X、Y、Z,贝MBX/XC)•(CY/YA)•(AZ/ZB)=1

阿波罗尼斯(Apollonius)圆

一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m:n,则点P的轨迹，是以

定比m:n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波

布拉美古塔(Brahmagupta)定理：

在圆内接四边形ABCD中，AC1BD,自对角线的交点P向一边作垂线,

其延长线必平分对边。

D

A(托动)

BF=4.27厘米

CF=4.27厘米

GD=4.15厘米

GC=4.15厘米

(托动)

F

B（：

广勾股定理:

在任一三角形中，

⑴锐角对边的平方，等于两夹边之平方和,减去某夹边和另一夹边在

此边上的影射乘积的两倍.

⑵钝角对边的平方，等于两夹边的平方和,加上某夹边与另一夹边在

此边延长上的影射乘积的两倍.

加法原理：

做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有Ml种不同的方法，在

第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有M(N)种不同的

方法，那么完成这件事情共有M1+M2++M(N)种不同的方法。

比如说：从北京到上海有3种方法可以直接到达上海，

1：火车ki

2：飞机k2

3：轮船k3,那么从北京-上海的方法N=ki+k2+ks

乘法原理：

做一件事，完成它需要分成n个步骤，

做第一步有ml种不同的方法，

做第二步有m2不同的方法，……，做第n步有不同的方法.那么完成这件

事共有N=ml•m2•m3…mn种不同的方法.

正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形

外接圆的直径)

这一定理对于任意三角形ABC,都有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为三角形外接圆半径)

余弦定理：

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两

边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c三角为A,B,C,则满足

性质：

a2=b2+c2-2bc,CosA

b2=a2+c2-2ac,CosB

C2=a2+b2-2ab,CosC

CosC=(a2+b2-C2)/2ab

CosB=(a2+c2-b2)/2ac

CosA=(c-2+b-2-a'2)/2bc

解析几何中的基本公式

1、两点间距离：若A（x,y）,B（x,y）,则|ABI=4（马一七）？+（为一/）?

2、平行线间距离：若4：Ax+By+C=O,Z2:Ax+By+C=O

nlC,-C21

贝U：d=Y

注意点:X,y对应项系数应相等。

3、点到直线的距离：P(x0,y0),1:Ax+By+C=O

则P到1的距离为一二勺针

y=kx+b

4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式:)(x,y)=O

消y：ax1+bx+c=Q,务必注意A”0

若1与曲线交于A（X[,%）,B（X2,y2）

则：囚3|=，(1+12)(%2—()2

5、若A(xt,%),B(X2,y2),P(x,y)oP在直线AB上，且P分有向线

段AB所成的比为;I,

_%]+AX2Y_/+超

X—

1+2.一2

则…特别地：2=1时，P为AB中点且＜

、,_%+仪

1+22

变形后：几=二二土或几=）工

工2-％y2-y

6、若直线L的斜率为ki,直线12的斜率为k2,则h到12的角为a,ae（O,乃）

适用范围：ki,k2都存在且kik2w—1,tana=—~~—

1+kJ?

若li与12的夹角为，贝肚an9=勺二"