长春市重点中学2025届九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

长春市重点中学2025届九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）A．③②①④ B．②④①③ C．③①④② D．②③④①2．矩形不具备的性质是（）A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直3．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000，这个数用科学记数法表示（）A． B． C． D．4．下列运算中，正确的是（）．A． B． C． D．5．二次函数的顶点坐标为（）A． B． C． D．6．如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于A、B两点．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．107．抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表：…－3－2－101……－60466…容易看出，是它与轴的一个交点，那么它与轴的另一个交点的坐标为（）A． B． C． D．8．如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（）A．24﹣4π B．32﹣4π C．32﹣8π D．169．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD10．如图，在⊙O中，AB为直径，圆周角∠ACD=20°，则∠BAD等于（）A．20° B．40° C．70° D．80°11．如图，⊙O的弦AB⊥OC，且OD＝2DC，AB＝，则⊙O的半径为（）A．1 B．2 C．3 D．912．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则sin∠BDE的值是（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．若△ABC∽△A′B′C′，且=，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为_______cm.14．小明练习射击，共射击次，其中有次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率约为__________．15．在中，，，则______________.16．在Rt△ABC中，∠C=90，AB=4，BC=3，则sinA的值是______________.17．中，若，，，则的面积为________.18．小芳参加图书馆标志设计大赛，他在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，并与正方形的对角线交于F、G点，制成了图中阴影部分的标志，则这个标志AFEGD的面积是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）先化简，再求值：，其中20．（8分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为（元），请你分别用含的代数式来表示销售量（件）和销售该品牌玩具获得利润（元），并把结果填写在表格中：销售单价（元）销售量（件）销售玩具获得利润（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价应定为多少元．（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？21．（8分）如图是某一蓄水池每小时的排水量/与排完水池中的水所用时间之间的函数关系的图像.（1）请你根据图像提供的信息写出此函数的函数关系式；（2）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？22．（10分）某小区在绿化工程中有一块长为20m，宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度.23．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且与y轴交于点A，与直线交于点B，C（点B在点C的左侧）.（1）求抛物线的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”.①当时，请直接写出“W区域”内的整点个数；②当“W区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围.24．（10分）某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销量y（万件）存在函数关系z=10y+42.1．（1）求y关于x的函数关系式；（2）写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；（年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额）当销售单价x为何值时，年获利最大?最大值是多少?（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于17.1万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元?25．（12分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD．（1）求∠D的度数；（2）若CD=2，求BD的长．26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．（1）求点A的坐标．（2）求抛物线的表达式．（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据相似三角形的判定定理，即可得到答案．【详解】∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∵DF∥AC，∴∠A=∠BDF，∴∆ADE~∆DBF．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形相似的判定定理，掌握“有两个角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键．2、D【分析】依据矩形的性质进行判断即可．【详解】解：矩形不具备的性质是对角线互相垂直，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握性质是解题的关键3、C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将4400000000用科学记数法表示为4.4×109.

故选C.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4、C【解析】试题分析：3a和2b不是同类项，不能合并，A错误；和不是同类项，不能合并，B错误；，C正确；，D错误，故选C．考点：合并同类项．5、D【分析】已知二次函数y＝2x2＋3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．【详解】∵y＝2x2＋3＝2（x−0）2＋3，∴顶点坐标为（0，3）．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，则解析式为y＝a（x−k）2＋h的顶点坐标为（k，h），6、C【分析】设P（a，0），由直线AB∥y轴，则A，B两点的横坐标都为a，而A，B分别在反比例函数图象上，可得到A点坐标为（a，-），B点坐标为（a，），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】设P（a，0），a＞0，∴A和B的横坐标都为a，OP=a，将x＝a代入反比例函数y＝﹣中得：y＝﹣，∴A（a，﹣）；将x＝a代入反比例函数y＝中得：y＝，∴B（a，），∴AB＝AP+BP＝+＝，则S△ABC＝AB•OP＝××a＝1．故选C.【点睛】此题考查了反比例函数，以及坐标与图形性质，其中设出P的坐标，表示出AB的长是解本题的关键．7、C【分析】根据（0，6）、（1，6）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．【详解】∵抛物线经过（0，6）、（1，6）两点，∴对称轴x＝＝；点（−2，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．故选C.【点睛】本题考查了二次函数的对称性，解题的关键是求出其对称轴.8、A【解析】试题分析：连接AD，OD，∵等腰直角△ABC中，∴∠ABD=45°．∵AB是圆的直径，∴∠ADB=90°，∴△ABD也是等腰直角三角形，∴．∵AB=8，∴AD=BD=4，∴S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD=S△ABC-S△ABD-（S扇形AOD-S△ABD）=×8×8-×4×4-+××4×4=16-4π+8=24-4π．故选A．考点：扇形面积的计算．9、D【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【详解】解：由作图知CM=CD=DN，

∴∠COM=∠COD，故A选项正确；

∵OM=ON=MN，

∴△OMN是等边三角形，

∴∠MON=60°，

∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；∵∠MOA=∠AOB=∠BON，

∴∠OCD=∠OCM=，

∴∠MCD=，

又∠CMN=∠AON=∠COD，∴∠MCD+∠CMN=180°，

∴MN∥CD，故C选项正确；

∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，

∴3CD＞MN，故D选项错误；

故选D．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．10、C【分析】连接OD，根据∠AOD=2∠ACD，求出∠AOD，利用等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】连接OD．∵∠ACD=20°，∴∠AOD=2∠ACD=40°．∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO=（180°﹣40°）=70°．故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．11、C【分析】根据垂径定理可得AD=AB，由OD＝2DC可得OD=OC=OA，利用勾股定理列方程求出OA的长即可得答案.【详解】∵⊙O的弦AB⊥OC，AB=，∴AD=AB=，∵OD＝2DC，OA=OC，OC=OD+DC，∴OD=OC=OA，∴OA2=(OA)2+()2，解得：OA=3，（负值舍去），故选：C.【点睛】本题主要考查垂径定理及勾股定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；熟练掌握垂径定理是解题关键.12、C【分析】由矩形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，可得BE＝CE＝BC＝AD，由全等三角形的性质可得AE＝DE，由相似三角形的性质可得AF＝2EF，由勾股定理可求DF的长，即可求sin∠BDE的值．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC∵点E是边BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝AD，∵AB＝CD，BE＝CE，∠ABC＝∠DCB＝90°∴△ABE≌△DCE（SAS）∴AE＝DE∵AD∥BC∴△ADF∽△EBF∴＝2∴AF＝2EF，∴AE＝3EF＝DE，∴sin∠BDE＝，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的运用，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、16cm【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，,∴C△ABC：C△A′B′C′=3：4，又∵C△ABC=12cm，∴C△A′B′C′=16cm.故答案为16.14、0.9【分析】根据频率=频数÷数据总数计算即可得答案．【详解】∵共射击300次，其中有270次击中靶子，∴射中靶子的频率为=0.9，∴小明射击一次击中靶子的概率约为0.9，故答案为：0.9【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15、【分析】根据sinA=，可得出的度数，并得出的度数，继而可得的值．【详解】在Rt△ABC中，，∵，∴∴∴=.故答案为：.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.16、【分析】画出图形，直接利用正弦函数的定义进行求解即可.【详解】如图：在Rt△ABC中：sinA=∵AB=4，BC=3∴sinA=故本题答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的定义，注意正弦，余弦，正切定义记清楚.17、【分析】过点A作BC边上的高交BC的延长线于点D，在中，利用三角函数求出AD长，再根据三角形面积公式求解即可.【详解】解：如图，作于点D，则，在中，所以的面积为故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角函数，灵活添加辅助线利用三角函数求出三角形的高是解题的关键.18、6-3【解析】首先过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，由在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，即可求得△BEC与正方形ABCD的面积，由直角三角形的性质，即可求得GN的长，即可求得△CDG的面积，同理即可求得△ABF的面积，又由S阴影=S正方形ABCD-S△ABF-S△BCE-S△CDG，即可求得阴影图形的面积．【详解】解：过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，∵在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，∴AB＝BC＝CD＝AD＝BE＝EC＝2，∠ECB＝60°，∠ODC＝45°，∴S△BEC＝×2×＝，S正方形＝AB2＝4，设GN＝x，∵∠NDG＝∠NGD＝45°，∠NCG＝30°，∴DN＝NG＝x，CN＝NG＝x，∴x+x＝2，解得：x＝﹣1，∴S△CGD＝CD•GN＝×2×（﹣1）＝﹣1，同理：S△ABF＝﹣1，∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△ABF﹣S△BCE﹣S△CDG＝4﹣（﹣1）﹣﹣（﹣1）＝6﹣3．故答案为：6﹣3．【点睛】此题考查了正方形，等边三角形，以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．三、解答题（共78分）19、【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用特殊锐角的三角函数值、负整数指数幂与零指数幂得到a的值，继而将a的值代入计算可得．【详解】原式=[]•（a+1）

=•（a+1）

=，

当a=2cos30°+（）-1-（π-3）0=2×+2-1=+1时，

原式=．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值、负整数指数幂与零指数幂．20、（1）1000-10x，-10x2+1300x-30000；（2）玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；（3）商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，再列出销售量y（件）和销售玩具获得利润（元）的代数式即可；（2）令（1）所得销售玩具获得利润（元）的代数式等于10000，然后求得x即可；（3）、先求出x的取值范围，然后根据（1）所得销售玩具获得利润（元）的代数式结合x的取值范围，运用二次函数求最值的方法求出最大利润即可.【详解】解：（1）∵根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，∴销售量y（件）为：600-10（x-40）=1000-10x；销售玩具获得利润（元）为：[600-10(x-40）]（x-30）=-10x2+1300x-30000故答案为：1000-10x，-10x2+1300x-30000；（2）令-10x2+1300x-30000=10000，解得：x=50或x=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；（3）根据题意得：解得：44≤x≤46由w=-10x2+1300x-30000=-10（x-65）2+12250∵-10<0，对称轴是直线x=65.∴当44≤x≤46时，w随增大而增大∴当x=46时，W最大值=8640（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、不等式组的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质以及二次函数求最大值是解答本题的关键．21、（1）；（2）8m3【分析】（1）根据函数图象为双曲线的一支，可设，又知（12，4）在此函数图象上，利用待定系数法求出函数的解析式；（2）把t=6代入函数的解析式即可求出每小时的排水量.【详解】（1）根据函数图象为双曲线的一支，可设，又知（12，4）在此函数图象上，则把（12，4）代入解析式得：，解得k=48，则函数关系式为：；（2）把t=6代入得：，则每小时的排水量应该是8m3.【点睛】主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．22、人行通道的宽度为1米.【分析】设人行通道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积和为102平方米，列出关于x的一元二次方程，求解即可.【详解】设人行通道的宽度为x米，根据题意得，(20﹣3x)(8﹣2x)＝102，解得：x1＝1，x2＝(不合题意，舍去).答：人行通道的宽度为1米.【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用----面积问题，根据题意，列出一元二次方程，是解题的关键.23、（1）顶点P的坐标为；（2）①6个；②，．【分析】（1）由抛物线解析式直接可求；

（2）①由已知可知A（0，2），C（2+，-2），画出函数图象，观察图象可得；

②分两种情况求：当a＞0时，抛物线定点经过（2，-2）时，a=1，抛物线定点经过（2，-1）时，a=，则＜a≤1；当a＜0时，抛物线定点经过（2，2）时，a=-1，抛物线定点经过（2，1）时，a=-，则-1≤a<-．【详解】解：（1）∵y=ax2-4ax+2a=a（x-2）2-2a，

∴顶点为（2，-2a）；

（2）如图，①∵a=2，

∴y=2x2-8x+2，y=-2，

∴A（0，2），C（2+，-2），

∴有6个整数点；②当a＞0时，抛物线定点经过（2，-2）时，a=1，

抛物线定点经过（2，-1）时，，；∴．当时，抛物线顶点经过点（2，2）时，；抛物线顶点经过点（2，1）时，；∴．∴综上所述：，．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．24、（1）；（2）当x=81元时，年获利最大值为80万元；（3）销售单价定为70元【分析】（1）根据函数图像，可得两点坐标，利用待定系数法求得y关于x的函数解析式；（2）依据题意，年利润=单件利润×销量－年总开支，将y用x表示，可得出w与x的二次函数关系，再利用配方法得到最值；（3）令二次函数的w的值大于等于17.1，求得x的取值范围，根据要使销量最大，确定最终x的值．【详解】（1）根据函数图像，有点(70，1)和(90，3)设函数解析式为：y=kx+b则1=70x+b，3=90x+b解得：k=，b=12∴y=（2）根据题意：w=(x-40)化简得：w=变形得：w=∴当x=81时，可取得最大值，最大值为：80（3）根