高考数学大题精做专题01直线与圆相结合问题(第五篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题01直线与圆相结合问题类型对应典例圆的切线问题典例1直线与圆的取值范围问题典例2直线与圆的位置关系典例3【典例1】【天津市杨村第一中学2020届高三月考】已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过作垂直于轴的直线交该椭圆于，两点，直线的斜率为.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若的外接圆在处的切线与椭圆交另一点于，且的面积为，求椭圆的方程.【典例2】【江苏省2019届高三第二学期联合调研测试】在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆：交于点，，与圆：交于点，．（1）若，求的长；（2）若中点为，求面积的取值范围．【典例3】【广东省广州市普通高中毕业班2020届高三月考】在平面直角坐标系中，动点分别与两个定点，的连线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线与轨迹交于，两点，判断直线与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.【针对训练】1.【江西省南昌市2020届高三检测】如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．求动圆圆心的轨迹的方程；过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别是，若直线与轨迹交于两点，求的最小值．2.【2020届陕西省西北工业大学附属中学高三月考】已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点，且与圆相切．（1）求的值；（2）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设．求证点在定直线上，并求该定直线的方程．3.【重庆市巴蜀中学2020届高三月考】已知圆C过点，圆心在直线上.（1）求圆C的方程；（2）过圆O1：上任一点P作圆C的两条切线，切点分别为Q，T，求四边形PQCT面积的取值范围.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题01直线与圆相结合问题类型对应典例圆的切线问题典例1直线与圆的取值范围问题典例2直线与圆的位置关系典例3【典例1】【天津市杨村第一中学2020届高三月考】已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过作垂直于轴的直线交该椭圆于，两点，直线的斜率为.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若的外接圆在处的切线与椭圆交另一点于，且的面积为，求椭圆的方程.【思路引导】（Ⅰ）先求出左顶点为，右焦点为的坐标，由题意求出的坐标，由斜率公式，根据直线的斜率为，这样可以求出椭圆的离心率；（Ⅱ）由（Ⅰ）,可设出，设的外接圆的圆心坐标为，由，得，求得，求得切线方程，代入椭圆方程，求出,利用点到直线距离和三角形面积公式，代入可求出，求出的值，求得椭圆方程.【详解】（Ⅰ）由题意可知：，设，由题意可知：M在第一象限，且，，，；（Ⅱ）由（Ⅰ）,，所以椭圆方程为：，设的外接圆的圆心坐标为，由，得，求得，，切线斜率为：，切线直线方程为，即代入椭圆方程中,得，，，，到直线的距离，的面积为，所以有，，椭圆方程为：.【典例2】【江苏省2019届高三第二学期联合调研测试】在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆：交于点，，与圆：交于点，．（1）若，求的长；（2）若中点为，求面积的取值范围．【思路引导】（1）先由AB的长度求出圆心O到直线AB的距离，列方程求出直线AB的斜率，从而得到直线CD的斜率，写出直线CD的方程，用垂径定理求CD得长度；（2）△ABE的面积，先考虑直线AB、CD平行于坐标轴的情况，不平行时先由垂径定理求出AB，再在△PME中用勾股定理求出PE，将面积S表示成直线AB斜率k的函数式，再求其范围.解：（1）因为AB＝，圆O半径为2所以点O到直线AB的距离为显然AB、CD都不平行于坐标轴可设AB：，即则点O到直线AB的距离，解得因为AB⊥CD，所以所以CD：，即点M（2,1）到直线CD的距离所以（2）当AB⊥x轴，CD∥x轴时，此时AB=4，点E与点M重合，PM=2，所以△ABE的面积S=4当AB∥x轴，CD⊥x轴时，显然不存在，舍当AB与CD都不平行于坐标轴时由（1）知因为，所以因为点E是CD中点，所以ME⊥CD，所以所以△ABE的面积记，则则综上所述：【典例3】【广东省广州市普通高中毕业班2020届高三月考】在平面直角坐标系中，动点分别与两个定点，的连线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线与轨迹交于，两点，判断直线与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.【思路引导】（1）根据直接法求轨迹方程，（2）先用坐标表示以线段为直径的圆方程，再根据圆心到直线距离与半径大小进行判断.【详解】（1）设动点的坐标为，因为，，所以，整理得．所以动点的轨迹的方程．（2）过点的直线为轴时，显然不合题意．所以可设过点的直线方程为，设直线与轨迹的交点坐标为，，由得．因为，由韦达定理得=，=．注意到=．所以的中点坐标为．因为．点到直线的距离为．因为，即，所以直线与以线段为直径的圆相离．【针对训练】1.【江西省南昌市2020届高三检测】如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．求动圆圆心的轨迹的方程；过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别是，若直线与轨迹交于两点，求的最小值．【思路引导】（Ⅰ）设动圆的半径为，由题动圆与圆内切，与圆外切，则，由此即可得到动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，进而得到动圆圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）设直线上任意一点的坐标是，切点坐标分别是，；则经过点的切线斜方程是，同理经过点的切线方程是，又两条切线，相交于.可得经过两点的直线的方程是，对分类讨论分别求出的值，即可得到的最小值.【详解】（Ⅰ）设动圆的半径为，∵动圆与圆内切，与圆外切，∴，且.于是，，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.从而，，所以.故动圆圆心的轨迹的方程为．（Ⅱ）设直线上任意一点的坐标是，切点坐标分别是，；则经过点的切线斜率，方程是，经过点的切线方程是，又两条切线，相交于.则有，所以经过两点的直线的方程是，①当时，有，，，，则；②当时，联立，整理得；设坐标分别为，，则，所以，综上所述，当时，有最小值．2.【2020届陕西省西北工业大学附属中学高三月考】已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点，且与圆相切．（1）求的值；（2）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设．求证点在定直线上，并求该定直线的方程．【思路引导】（1）设出直线的方程为，由直线和圆相切的条件：，解得；（2）设出，运用导数求得切线的斜率，求得为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得在定直线上；解：（1）依题意设直线的方程为，由已知得：圆的圆心，半径，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，解得或（舍去）．所以；（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，所以，所以，设，则以为切点的切线的斜率为，所以切线的方程为．令，，即交轴于点坐标为，所以，，，．设点坐标为，则，所以点在定直线上．3.【重庆市巴蜀中学2020届高三月考】已知圆C过点，圆心在直线上.（1）求圆C的方程；（2）过圆O1：上任一点P作圆C的两条切线，切点分别为Q，T，求四边形PQCT面积的取值范围.【思路引导】（1）根据条件设圆