2024年高中数学专题4-7重难点题型培优精讲等比数列的概念学生版新人教A版选择性必修第二册

专题4.7等比数列的概念1．等比数列的概念2．等比中项假如在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.

若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=.3．等比数列的通项公式若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0).4．等比数列的通项公式与指数函数的关系等比数列{}的通项公式=可以改写为=，当q>0且q≠1时，等比数列{}的图象是指数型函数y=的图象上一些孤立的点.5．等比数列的单调性已知等比数列{}的首项为，公比为q，则

(1)当或时，等比数列{}为递增数列；

(2)当或时，等比数列{}为递减数列；

(3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；

(4)当q<0时，等比数列{}为摇摆数列(它全部的奇数项同号，全部的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号).6．等比数列的性质设{}为等比数列，公比为q，则

(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，则.

(2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列，则成等比数列.

(3)数列{}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；

数列{}是公比为的等比数列；

数列{}是公比为的等比数列；

若数列{}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列.

(4)在数列{}中，每隔k(k)项取出一项，按原来的依次排列，所得数列仍为等比数列，且公比为.

(5)在数列{}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列.

(6)若数列{}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列.【题型1等比数列的基本量的求解】【方法点拨】依据所给条件，求解等比数列的基本量，即可得解.【例1】（2024·江西·高三阶段练习（文））在等比数列an中，a2+a4=3，A．4 B．±4 C．2 D．【变式1-1】（2024·陕西·高二阶段练习）已知等比数列an中，a2=116，aA．±4 B．±22【变式1-2】（2024·甘肃·高三阶段练习（理））在等比数列an中，a2a4=64，aA．2 B．±2 C．2或43 D．【变式1-3】（2024·云南昆明·高二期末）在等比数列an中，a1+a3=2，A．2 B．3 C．13 D．【题型2等比中项】【方法点拨】依据题目条件，结合等比中项的定义，即可得解.【例2】（2024·黑龙江·高二期中）在等比数列an中，a1=18，q=2，则A．±4 B．4 C．-2【变式2-1】（2024·宁夏·高一期末）若等比数列的首项为4，公比为2，则数列中第2项与第4项的等比中项为（

）A．32 B．-16 C．±32【变式2-2】（2024·广东·高二期中）若数列2,a,8是等比数列，则实数a的值为（A．4 B．- 4 C．【变式2-3】（2024·全国·高三专题练习）数列an为等比数列，a1=1，a5=4，命题p:a3=2，命题q:aA．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【题型3等比数列的通项公式】【方法点拨】结合所给数列的递推关系，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.【例3】（2024·湖南·高二期中）正项等比数列an满足a1=2，a3=8A．2n-1 B．2n【变式3-1】（2024·陕西·高二阶段练习（文））在各项为正的递增等比数列an​中，a1a2aA．2n+1​ B．C．3×2n【变式3-2】（2024·全国·高二课时练习）已知在等比数列an中，a3=4，前三项和S3=12A．an=C．an=4 D．a【变式3-3】（2024·山西太原·高三期末（理））等比数列{an}中，aA．an=C．an=2n或1【题型4等比数列的单调性】【方法点拨】推断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，探讨数列的单调性.②利用定义推断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比较法，即作商比较与的大小，从而推断出数列{}的单调性.【例4】（2024·陕西·高二期中（理））数列an是等比数列，首项为a1，公比为q，则a1q-A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式4-1】（2024·辽宁·高二期中）设等比数列an的首项为a1，公比为q，则anA．a1>0，q>1 B．C．a1lg【变式4-2】（2024·河南·高二阶段练习（理））已知等比数列{an}的公比为q．若{anA．q<-1 B．-1<【变式4-3】（2024·安徽宿州·高二期中）已知等比数列an，下列选项能推断an为递增数列的是(A．a1>0，0<q<1C．a1<0，q=1 D．【题型5等比数列的判定与证明】【方法点拨】只有定义法、递推法(等比中项法)可用于证明等比数列，通项公式法与前n项和公式法只能用于小题中等比数列的判定；在用定义法与递推法(等比中项法)证明等比数列时要留意≠0.【例5】（2024·湖南省高二期中）在数列an中，a1=2(1)求证：an(2)求数列an【变式5-1】（2024·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1=1,an+1【变式5-2】（2024·福建省高三阶段练习）已知数列an满足an+1=12(1)求证：数列bn(2)若cn=-【变式5-3】（2024·全国·高三专题练习）在数列{an}中，已知各项都为正数的数列{(1)证明数列{a(2)若a1=15，【题型6等比数列性质的应用】【方法点拨】对于等比数列的运算问题，可视察已知项和待求项的序号之间的关系，利用等比数列的性质进行求解，这样可以削减运算量，提高运算速度.【例6】（2024·广西·高二阶段练习）在等比数列{an}中，已知a3aA．4 B．6 C．8 D．10【变式6-1】（2024·全国·高三专题练习）己知在等比数列an中，a2a3aA．-2 B．±2【变式6-2】（2024·吉林白山·高二期末）已知等比数列{an}的公比q为整