2025版高考物理一轮总复习考点突破第5章万有引力与宇宙航行第14讲万有引力定律及应用相对论考点3万有引力定律的应用

考点3万有引力定律的应用(实力考点·深度研析)1．天体质量和密度的计算运用方法已知量利用公式表达式质量的计算利用运行天体r、TGeq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝eq\f(4π2r3,GT2)r、vGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)M＝eq\f(rv2,G)v、TGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝eq\f(v3T,2πG)利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(GMm,R2)M＝eq\f(gR2,G)密度的计算利用运行天体r、T、RGeq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)当r＝R时ρ＝eq\f(3π,GT2)利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(GMm,R2)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3g,4πGR)2.解答人造地球卫星运行问题的策略(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。(2)两种关系①万有引力供应向心力：Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r。②重力等于万有引力：eq\f(GMm,R2)＝mg(R、g分别是地球的半径、地球表面重力加速度)。(3)四字结论：越高越慢Geq\f(Mm,r2)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))3．人造卫星运行轨道卫星运行的轨道平面确定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道。如图所示。►考向1天体质量和密度的计算[解析]若不考虑地球自转，依据地球表面万有引力等于重力，有Geq\f(m地m,R2)＝mg，则m地＝eq\f(gR2,G)，故A错误；依据太阳对地球的万有引力供应向心力，有eq\f(Gm太m地,L\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,L\o\al(2,2))L2，则m太＝eq\f(4π2L\o\al(3,2),GT\o\al(2,2))，故B正确；由题中数据无法求出月球的质量，故C错误；由m地＝eq\f(gR2,G)和ρ地＝eq\f(m地,V地)，V地＝eq\f(4,3)πR3，可求出地球的平均密度ρ地＝eq\f(3g,4πRG)，故D正确。估算天体质量和密度时应留意的问题(1)利用万有引力供应天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。(2)区分天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面旁边运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq\f(4,3)πR3中的R只能是中心天体的半径。(3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有eq\f(GMm,R2)＝mg。►考向2行星(或卫星)运行参数的确定(2024·浙江卷)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则(D)A．木卫一轨道半径为eq\f(n,16)rB．木卫二轨道半径为eq\f(n,2)rC．周期T与T0之比为neq\f(3,2)D．木星质量与地球质量之比为eq\f(T\o\al(2,0),T2)n3[解析]依据题意可得，木卫3的轨道半径为r3＝nr，依据万有引力供应向心力Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，可得R＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4，可得木卫一轨道半径为r1＝eq\f(nr,\r(3,16))，木卫二轨道半径为r2＝eq\f(nr,\r(3,4))，故A、B错误；木卫三围绕的中心天体是木星，月球的围绕的中心天体是地球，依据题意无法求出周期T与T0之比，故C错误；依据万有引力供应向心力，分别有Geq\f(M木m,nr2)＝meq\f(4π2,T2)nr，Geq\f(M地m,r2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,0))r，联立可得eq\f(M木,M地)＝eq\f(T\o\al(2,0),T2)n3，故D正确。故选D。【跟踪训练】(天体质量和密度的计算)(2024·辽宁卷)在地球上视察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(D)A．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))2 B．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2C.eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))2 D．eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2[解析]设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，依据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得Geq\f(m地m月,r\o\al(2,1))＝m月eq\f(4π2,T\o\al(2,1))r1，Geq\f(m地m日,r\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,T\o\al(2,2))r2，其中eq\f(r1,r2)＝eq\f(R月,R日)＝eq\f(R地,kR日)，ρ＝eq\f(m,\f(4,3)πR3)，联立可得eq\f(ρ地,ρ日)＝eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2，故选D。(天体运行参量分析)(多选)(2024·辽宁高考)如图所示，行星绕太阳的公转可以看作匀速圆周运动，在地面上简洁测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm，则(BC)A．水星的公转周期比金星的大B．水星的公转向心加速度比金星的大C．水星与金星的公转轨道半径之比为sinαm∶sinβmD．水星与金星的公转线速度之比为eq\r(sinαm)∶eq\r(sinβm)[解析]依据万有引力供应向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r＝ma，可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，a＝eq\f(GM,r2)，因为水星的公转半径比金星的小，可知水星的公转周期比金星的小，水星的公转向心加速度比金星的大，故A错误，B正确；设水星的公转半径为r水，地球的公转半径为r地，当α角最大时有sinαm＝eq\f(r水,r地)，同理可知sinβm＝e