2022年北京市高考数学（解析版）

2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学

题号一二三总分

得分

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1.已知全集0=01—3<K<3｝,集合4=｛与―2<HW1],则心4=（）

A.（-2.1]B.3）

C.[-2,1）D.（-3,-2]u（l-3）

2.若复数w满足t・z=3-43则团=（）

A.1B.SC.7D.25

3.若直线2x+y—1=0是圆（*—公）2+好=1的一条对称轴，则灯=（）

A.-B.--C.1D.-1

22

4.已知函数代G=磊，则对任意的实数z,有1）

Af（-r）+r（x）=0Bf（-r）-r（r）=0

cr（-x）+r（x）=iD.K-r）-y（r）=^

5.已知函数r（*）=CDS。一sin2、，贝女）

A.rg在（一支一:让单调递减B.其幻在（一%方上单调递增

c.rg在io申上单调递减D.r@）在（£称）上单调递增

6.设&｝是公差不为0的无穷等差数列,则“&｝为递增数列”是“存在正整数阳》,当

□时，4>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

1

7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技

术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和IgP

的关系，其中T表示温度，单位是距P表示压强，单位是加丁.下列结论中正确的是（）

B.当!*=270,P=128时，二氧化碳处于气态

C.当!*=300，P=998711],二氧化碳处于超临界状态

D.当！*=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态

13

8.若（2工一]>=041*+43+42/+。1工+00,则Oo+«l2+j=（）

A.40B.41C.-40D.-41

9.已知正三棱锥P-ASC的6条棱长均为6,S是AASC及其内部的点构成的集合，设集合

r=（Q€S]PQM5},则T表示的区域的面积为（）

A.B.KC.2亢D.3亢

10.在AABC中，AC=3,BC=4.=9CT.P为AABC所在平面内的动点，且"=1,则

港.词的取值范围是1）

A.[-5,3]B.[-3^]C.[-6,4]D.[-4,6]

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.函数,口）=：+用功的定义域是.

2

12.已知双曲线/+：=1的渐近线方程为y=±*则m=.

13.若函数代目=Asinx—V3CDSX的一个零点为g,则A=__:三______.

14.设函数，住)=饿荔：：2若«外存在最小值，则。的一个取值为，。的最大

值为_

15.已知数列的各项均为正数，其前n项的和。满足联5w=9(n=L2…).给出下列四个

结论：

①(a口的第2项小于3;②(/)为等比数列：

③(a3为递减数列;④K)中存在小于2的项.

其有正确结论的序号为.

三、解答题(本大题共6小题，共85.0分)

16.在AABC中，siii2C—V3sin^-

⑴求zC；

(2独=6，且AABC的面积为&四，求△⑷W：的周长.

17.如图，在三棱柱ABC-41/JiG中，侧面底工过耳为正方形，平面BCGbi平面ABfJiAi，

AB=BC=2,M,IV分别为4C的中点.

口坪证：MV//平面BCQSI；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求直线AB与平面所成

3

角的正弦值.

条件①ABJLAfM：

条件®Wtf=总拉.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达至以上(含

950m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙

以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：

甲：930,9.70，9JS5,954,9.48,9.42,9.40，935，930,9N5：

乙：9.78,956,951,936,932,923；

丙：955,9.65,920,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

(2)设*是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计*的数学期望EX：

(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证

明)

4

19.已知椭圆重b>0)的一个顶点为4(0.1)，焦距为

fl>Br

(1)求椭圆E的方程：

(2)过点作斜率为*的直线与椭圆E交于不同的两点U,C,直线剧S，4c分别与工

轴交于点品，M当眼叫=2时，求*的值.

20.已知函数r(x)=bln(i+r).

(1)求曲线y=f3在点［O.f(0))处的切线方程；

(2)设。(0=讨论函数。0)在［6+8)上的单调性；

(3)证明：对任意的s,te(0.+c»)，有+

已知0%02,1为有穷整数数列.给定正整数m，若对任意的me{12….m)，在Q中存

在ttj,Oi+T，+2，QHJ'(/之0)，使得,+flH*i+d+2+…+m则称Q为wi一连续

可表数列.

(1)判断02,1,4是否为5—连续可表数列？是否为6—连续可表数列蹴明理由；

(2)若SOL，叼，…，/为8—连续可表数列，求证：*的最小值为4:

(3)若Q：的，ar-,/为20一连续可表数列，旦01+/+…+4<20,求证：k>7.

5

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查集合的补集运算，属于基础题.

【解答】

解：易得M=(-3.-2]u(i,3).

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查复数的基本运算，属于基础题.

【解答】

解：由条件可知z=t2=—4—3i，所以|z|=5.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.

【解答】

解：若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(aO),所以由2“+0—1=0解得

1

a=-•

2

4【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了指数的运算

求出汽_幻，通过运算，判断选项即可

【解答】

6

解：由r任)=盘，可得外一切=备=晶，所以得f(-x)+/w=^=i.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查判断余弦型函数的单调性，二倍角的余弦公式，属于基础题.

【解答】

解：f(r)=cos21—su^x=cos2x-

选项A中：2,£(一七一9,此时汽融单调递增，

选项B中：2KG(一£3,此时先递增后递减，

选项C中：2*6(0?)，此时代幻单调递减，

选项D中：2点(£天，此时f(r)先递减后递增.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查充分必要条件的判断，属于中档题.

【解答】

解：①充分性证明：

若(O|J为递增数列，则有对vneW*,olri.1>all,公差d=4-j.一.)。，

故数列中从某项开始后均为正数且数列递增，则存在正整数阳,，当it>%时，%>0,

充分性成立；

②必要性证明：

若存在正整数阳,，当时，4>0,

va,,=fll+(n-l)d,若dV0,则数列中从某项开始后均为负数，

7

此时无法满足存在正整数%,当时，01t>0,又4,0,

若d>0,止匕时也口为递增数列，则存在正整数%,当时，4>0,可满足

条件，

所以“(o口为递增数列”是“存在正整数No,当取>阳,时，,>0”的充要条件.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查对数运算的实际应用，函数图象的应用，属于中档题.

【解答】

解：4选项：4>lgP=lglO26>3,F=220.由图易知处于固态；

B选项：3>lgP=]gl28>2,r=270,由图易知处于液态；

C选项：lgP=1^987«3.999.T=300,由图易知处于固态：

D选项：3>喊=眄29>2,T=360,由图易知处于超临界状态；

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查二项式，取I和-1代入即可，属于基础题.

【解答】

解：当X=1时，1=J+03+<12++

当X=_1时，51=Of—Os+cfe—fli+oo(2)；

+fl41

0十②,可得ao+a24=

9.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查投影的相关知识，属于基础题.

8

【解答】

解：过点P作底面射影点0,则由题意，CO=26，PC=6；

二P0=2遍>当CO上存在一点Q使得PQ=S,此时Q0=1，则动点Q在以如为

半径，0为圆心的圆里，所以面积为H

10.【答案】D

【解析】

【分析】

解：法一：建立如图所示坐标系,

由题易知，设QO.O)，4(3,0)，见0.4)，vPC=l,二设P(cos04ni^)，0e[O^ir)

PA-PB=(3—CDSO.—sinff)-{—cos0.4—sin0)=-3cos0—4sin0+cos20+sirfO

=1—5sin(64-0(sinr=cos^=^)e[—4>6]

法二：注意：<京，同>=《Y而，或f>|，且以.击=0

r.PAPB

=(PC+CA)(PC+CT)

9

=pt+PCCA+PCCB+CACB

=PC-CPCA-CPCB+CACB

=1-3cos<CP'C4>-4cns<CT>CB>+0

=1-3CDS<CT-M>-4sin<CP-CA>

=1-5sin[<CP.CA>+

其中，.6(。:)，皿=

»-4<PAPB<6

【解答】

本题考查平面向量的数量积计算

法一：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解

法二：利用平面向量的线性运算与数量积运算进行求解

11.【答案】(-8.0)u(OR

【解析】

【分析】

本题考查求函数的定义域，属于基础题.

【解答】

解：依题意解得re(-a>,0)tf(0,l].

12.【答案】-3

【解析】

【分析】

本题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.

【解答】

解：双曲线/+：=1的渐近线方程为V=±晨，故m-3.

10

13.【答案】1

—V2

【解析】

【分析】

本题考查辅助角公式，函数零点的概念，属于基础题.

【解答】

解：由题意知：Asm--^3ais-=^A-^=0，解得4=1.

33322

f(r)=sinx--^cosr=2sin(r-f%)=2sin值一g)=2sin(一：)=一壶.

14.【答案】0(答案不唯一)

1

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的取值问题，题目较难.

【解答】

解：由题意知，函数最值与函数单调性相关，故可考虑以0,2为分界点研究函数的性质,

当a<0时，f(x)=—ax+1，x<a,该段的值域为(一CD.—0z+l)，故整个函数

没有最小值;

当a=0时，r(x)=—ax+1，r<Q该段的值域为｛1｝，而f(r)=(r—2)2，的

值域为［0.+8),故此时rg)的值域为［0.+8),即存在最小值为0,故第一个空可

填写0;

当0<a<2时，r00=—flx+1，r<a,该段的值域为(一亦+工+8),而

f(x)=(r—2)2,x>Q的值域为［0.+<»)，若存在最小值，则需满足一W+1>0，于

是可得0<。41；

11

当a>2时，r(x)=—d+l，x<a,该段的值域为(-a^+i.+s).而

f(x)=(x—2)2，K><1的值域为［(a—2)2.+co),若存在最小值，则需满足

-a2+lX«-2)2，此不等式无解。

综上，a的取值范围是［0.1］，故a的最大值为1.

15.【答案】①②④

【解析】

【分析】

本题考查数列的性质，属于中档题.

【解答】

解：ii=l，可得域=9，又各项均为正，可得叼=3,令«=2可得02(3+02)=9，

可解得勾=至衿<3，故①正确：

当n>2时，由得S^-i=—，于是可得0,=--—，即三=上置，若(a口

■ofe-i®W-i®w-i9

为等比数列，则时001=4,即从第二项起为常数，可检验n=3则不成立，固

②错误：

01t.s(,=9(久=L2…).可得联'=01r+1$+：!，于是管•=言•<〔，所以O|rt-1<On，

于是③正确；

若所有项均大于上，取n>90000,则a■之290G，于是a,->9，与

1CN10C

已知矛盾，所以④正确。

16.【答案】W：(l)sm2C=V35mC^

2sinCcDsC=V3sin。

cosC=虫，■:0<C<H

2

•-ZC=

12

(2);・$3=6"

二：ahsinC=6存

a=4百，

由余弦定理得c2=岸+fe2—2abajsC

0=2存

所以A45C的周长为小行+6

【解析】本题考查了解三角形与三角恒等变换

(1)利用二倍角正弦公式进行计算，根据三角形内角的取值范围即可求解

(2)利用三角形面积公式与余弦定理解三角形，即可求得三角形周长

17.【答案】解：(1邨中点。，连接Bi。，DM

在三棱柱4BC-A$1G中，41Hly/AB'=

因为MM。分别为&/，AC,此的中点，

所以BJt=-AB^DN//AB,DN=^AB

即“M〃DN且/册=DN,

所以四边形UiMWD为平行四边形，因此

又MN6平面BCCtBi，BJ)u平面BCCjBi,

所以及盯严面BCGBQ

(2)选条件①

因为侧面ECG/为正方形，所以CBJ.班女，

又因为平面ITCG/，平面45叫公

且平面BCG/n平面AB/，i=BBr

13

所以CB_L平面4bBiA1,

而ABu平面ABSKi，所以CBJ.4B.

由住）得/D//MM又因为ABJ_lfN，所以AB_Lbi。，

而biDnCB=D,所以4B，平面bcqbi，

又HH1.U平面SCqbi，故

在三棱柱AfiC-A/iG中，BA,EC,8/两两垂直,

故分别以UC,BA,为箕轴，》轴，z轴，如图建立空间直角坐标系,

因为期=此=刖1=2,则见0.0.0)，N(LL0)，

M(0.I2)4(02。)

所以而=(1.1.0)，就=(0.12］，4B=(0.-2X)l

设平面IMfN的法向量W=(.y.z)，

由前W=0,BMn=0>得令x=2,

i=(2,-24)

设直线AS与平面IHHV所成角为6,

则血6=皿限砌=黯=照=g，

所以直线AB与平面bftHV所成角的正弦值为三

3

选条件（2>

因为侧面bcqb]为正方形，所以■_!.!»!，

又因为平面ITCGSi上平面ABSiA],

且平面BCGU1n平面AZHJ/i=BBr

所以CB_L平面4超/&,

而朋U平面ABSMi，所以CBJL4R

14

取AB中点H,连接HJf,HN.

因为N,H分别为41口1，AC,碗的中点,

所以CB//WH,而CB1%,故NH1MH.

又因为4B=BC=2,所以丽=ba=l.

在AMHB,AMHN2,BM=NM,BH=NH,公共边ME,

那么AMHB丝AMHIV,

因此zJfHBMZAfHMugO%即MHJL4S,故Bi»_L4R

在三棱柱AfiC-AibiG中，BA,BC,或左两两垂直,

故分别以SC,BA,RS］为*轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系,

因为Aff=bC=lHJi=2,则B(O.(M))，M(0,12)-A(O2。)，

所以说=(1,£)，就=(0.12：4B=(0.-2X>>

设平面IMf拉的法向量it=(.y.z)，

由曲？W=0BMn=0得令x=2,得过=(2.-2.1)

设直线AS与平面IHfN所成角为6,

则血6=皿限砌=黯=照=g，

所以直线AB与平面IWF所成角的正弦值为弓.

3

【解析】本题考查线面平行的判定，直线与平面所成角的向量求法，属于中档题.

18.【答案】解：(1)由题意得：

设“甲在校运会铅球比赛中获优秀奖”为事件4

比赛成绩达到950m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到95。以上的有：880,9.70955,954

四个.

所以，甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P0)=0.4

15

(2)X所有可能取值为0,1,2,3.

甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P0)=0.4

乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件U，贝=

丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C，则P©=05.

=0)=0而x05x0,=0.15.

P(¥=l)=0.4x0-5x0J5+0.6xOSx05+0_6x0J5x0，=0.4，

P(Y=2)=0.4xOJx05+0.4xOSx0J5+0.6xOSx05=035，

»(X=3)=0.4x05x05=0.1，

EX=Ox0.15+1X0.4+2xOJS+3X0.1=1.4;

(3)丙获得冠军的概率估计值最大.

【解析】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量期望的求解与应用，属

于中档题.

fa=2

,解得b=l,故椭圆E的方程为：±+炉=1；

(€=$<

(2)由题可设直线方程为：y-l=*(»+2>巩与.当)，式以玲，

；y-l=k(r+2)

联立直线和椭圆昉程:下74，可得

(l+4Jtz)xz+(16k2+8k)x+16tz+16k=0,由A>0可得

(16^+8k)2-4X(1+4Jtz)(16tz+16fc)>0，解得看<0,

16

根据韦达是理可得：血+.=0学，rix2=V*

直线AB的斜率为1=誓，4B的直线方程尚产=等＜+1,

令y=0,可得点超的横坐标q=三，同理可得点W的横坐标q=卢-.

则有眼叫=|三-一三_|=|——-上—|=|-5_)|

111l-yi1-yi']-Wi+2)-^i+a)1“\4+2n+z-

==.1烟f)]=2

―UM,+2#.+«i)+4Ir43+2#**一

2

.----------------------―11"+8无)\16k+16fc=0前E

■.■|(r2-rj|=病而产石拓="1+留广-4-升.百声

16kz+16k-16fc2-8k4

皿+2g+34=Hi+2(1+嫡)+4=1T而

1.—

二冏叫=|石2G=1

即|先[=；,两边平方则有卷=；,解解二一4.

故*的值为-4.

【解析】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，属于综合题.

20.【答案】解：(1)由题，f(r)=-ln(l+r)+e»­—=<*(ln(l+x)+—

故尸(0)=e°(ln(l+O)+-1-)=1,/0)=e®ln(l+0)=0,

no

所以曲线y=f(x)在处的切线方程为y=匕

(2)由(1)知，fl(r)=e1r3(1+r)+—xe[0,+co),

则g<x)=6(ln(l+»)+白一占)，

设械工)=111(1+幻+圣一离，xe[0.+8),

则£区=击一舟+舟=藤>°

故M%在[6+8)上递增，

故H*)之丘(0)=1>0,

17

因此。力0>0对任意ze［0,+8)恒成立，

故在［0.+8)上单调递增；

(3)设m(s)=f{s+t)-/(s)-/(t)=尸=(1+s+t)-，ln(l+s)-e*ln(l+t)，

则1n•«)=尸(1^1+s+1)+-i-)-+s)+-i-)=g{s+1)一$6)，

由(2)，。住)在［0.+8)上单调递增，

故$>0,t>0时，曲6)=36+。-36)>双£)一双0)>双0)一双0)=0

因此，m(s)在(0.+co)上递增，

故m(s)>m(0)=/(0+。一六。)-/(Q一-。)=0，

因此，对任意的S,t€{0,+<»).有r(s+t)>f(s)+f«>

【解析】本题将指对函数以乘法的方式联系到一起，构思新颖。第(0)问判断导函数符号可

以求二阶导，

也可以直接放缩处理逸1111)问借助［II)的结论可以快速得到结果.

21.【答案】解：(1)由于2+1=3,1+4=5,故Q为5—连续可表数列.而Q数列无法找到

连续的若干个数和为6,故Q不是6—连续可表数列.

,

(2)当上三3时，至多可以表示,，勾，叼,o1+a