2025八年级上册数数学(RJ)13.2 第2课时 用坐标表示轴对称2

2025八年级上册数数学(RJ)13.2第2课时用坐标表示轴对称2 第2课时用坐标表示轴对称【教学目标】1.知识与能力：（1）能够作轴对称图形；（2）能够经过探索利用坐标来表示轴对称；（3）能够用轴对称的知识解决相应的数学问题．2.过程与方法：在探索问题的过程中体会知识间的关系，感受函数与生活的联系．3.情感、态度与价值观：培养学生的应用意识和探究精神．【教学重点】（1）能够作轴对称图形；（2）能够经过探索利用坐标来表示轴对称；（3）能够用轴对称的知识解决相应的数学问题．【教学难点】用轴对称知识解决相应的数学问题．【教学过程】创设情境，激发学生兴趣，引出本节课要研究的内容活动1观察图片操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？学生活动设计：学生观察图片，动手操作、观察所画图形，先独立思考，然后进行交流．教师活动设计：教师组织活动，引导学生作以下归纳：由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．活动2问题如图（1），已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形吗？图（1）图（2）学生活动设计：学生进行讨论，然后根据讨论的结果独立作图，最后交流想法．根据轴对称的性质，只需要作出点A、B、C关于直线l的对称点再连接就可以了．教师活动设计：在学生交流的过程中，引导学生探索作对称点的方法．如图（2），作点A关于l的对称点的方法是：（1）过A作l的垂线垂足为O；（2）连接AO并延长到A′，使A′O＝AO，则点A′就是点A关于直线l的对称点．最后进行归纳．几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．活动3二、观察操作，主动探索，研究坐标系内的轴对称活动4问题在平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标间有什么规律？已知点A(2，－3)B（－1，2）C（－6，－5）D（0.5，1）E（4，0）关于x轴对称的点关于y轴对称的点学生活动设计：学生动手画图，观察各个对称点与原来的点之间坐标的关系，经过讨论得出规律．点（x，y）关于x轴对称的点的作标是（x，－y）；点（x，y）关于y轴对称的点的作标是（－x，y）．教师活动设计：组织学生进行探索，观察猜测，然后进行归纳总结．活动5问题如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．学生活动设计：学生根据活动4中发现的规律，首先求出点A、B、C、D关于x轴、y轴的对称点，然后再连接对称点即可．教师活动设计：本活动主要巩固加深学生对利用坐标表示轴对称的理解，所以要特别关注学生对对称点的坐标的求解过程．三、应用提高、拓展创新问题如图所示：要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．教师和学生活动设计：分组讨论，让学生探索：在街道上找一点C，使得AC+BC为最小．通过学生活动，使他们懂得：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小，这时作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．学生自主探索其中的原因（原因：在直线l上取异于点C的点D，由于l垂直平分AA′，所以得到DA=DA′，所以DA+DB=DA′＋DB，根据两点之间线段最短得到DA′＋DB＞A′B，而A′B＝A′C+BC=AC+BC，于是有AD+DB>AC+BC．）四、归纳小结、布置作业小结：1．作轴对称图形；2．用坐标表示轴对称．13．3等腰三角形13．3.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1．理解并掌握等腰三角形的性质．(重点)2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．(难点)一、情境导入探究：如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开得到的△ABC有什么特点？二、合作探究探究点一：等腰三角形的概念【类型一】利用等腰三角形的概念求边长或周长如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是()A．9cmB．12cmC．15cm或12cmD．15cm解析：当腰为3cm时，3＋3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm时，6－3＜6＜6＋3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6＋6＋3＝15(cm)．故选D.方法总结：在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．探究点二：等腰三角形的性质【类型一】利用“等边对等角”求角度等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是()A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．【类型二】利用方程思想求等腰三角形角的度数如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．解析：设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．解：设∠A＝x.∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°.方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.【类型三】利用“等边对等角”的性质进行证明如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.解析：先由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据角平分线定义得到∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠ECB＝eq\f(1,2)∠ACB，那么∠DBC＝∠ECB，再由∠DBC＝∠F，等量代换得到∠ECB＝∠F，于是根据平行线的判定得出EC∥DF.证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE为底角的平分线，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠ECB＝eq\f(1,2)∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补．【类型四】利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC.解析：(1)过A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质得出BG＝CG，DG＝EG即可证明；(2)先证BF＝CF，再根据等腰三角形的性质证明．证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．【类型五】与等腰三角形的性质有关的探究性问题如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D.(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．(3)如果BC＝10，求AB＋AE的长．解析：(1)由△ABC是等腰直角三角形，BE为角平分线，可证得△ABE≌△DBE，即AB＝BD，AE＝DE，所以△ABD和△ADE均为等腰三角形；由∠C＝45°，ED⊥DC，可知△EDC也符合题意；(2)BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，根据角平分线定理可知△ABE关于BE与△DBE对称，可得出BE⊥AD；(3)根据(2)，可知△ABE关于BE与△DBE对称，且△DEC为等腰直角三角形，可推出AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.解：(1)△ABC，△ABD，△ADE，△EDC.(2)AD与BE垂直．证明：由BE为∠ABC的平分线，知∠ABE＝∠DBE，∠BAE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△ABE≌△DBE，∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合，∴A、D是对称点，∴AD⊥BE.(3)∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，∴AE＝DE.在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝DE，,BE＝BE，))∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)，∴AB＝BD.又∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°.又∵ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DE＝DC，∴AB＋AE＝BD＋D