2024年四川省广元市中考数学试卷

第1页（共1页）2024年四川省广元市中考数学试卷一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）1．（3分）将﹣1在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．32．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a3＝a6 B．a6÷a3＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（ab2）2＝a2b43．（3分）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（）A． B． C． D．4．（3分）在“五•四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（）A．中位数是95 B．方差是3 C．众数是95 D．平均数是945．（3分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于（）A．64° B．60° C．54° D．52°6．（3分）如果单项式﹣x2my3与单项式2x4y2﹣n的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点（m，n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（）A． B． C．2 D．8．（3分）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（）A． B． C． D．9．（3分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，△ABP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边AB的长为（）A．5 B．7 C． D．10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，﹣2）与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2≤x2＜3，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；③a+b＞0；④；⑤b2﹣4ac＞4a2.其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）11．（4分）分解因式：（a+1）2﹣4a＝．12．（4分）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是10﹣18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为秒．13．（4分）点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为．14．（4分）若点Q（x，y）满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标．15．（4分）已知y＝x与y＝（x＞0）的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y＝（x＞0）上点C处，则B点坐标为．16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，则AC+BC的最大值为．三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）17．（6分）计算：（2024﹣π）0+|﹣2|+tan60°﹣（）﹣2．18．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中a，b满足b﹣2a＝0．19．（8分）如图，已知矩形ABCD．（1）尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形．20．（9分）广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识，为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：90≤x≤100；B：80≤x＜90；C：70≤x＜80；D：60≤x＜70；E：90≤x＜60）．并绘制了如下尚不完整的统计图．抽取学生成绩等级人数统计表等级ABCDE人数m2730126其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是120°．（1）样本容量为，m＝；（2）全校1200名学生中，请估计A等级的人数；（3）全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法．求这两人来自同一个年级的概率．21．（9分）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．（1）若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且cosα＝，β＝30°，求该介质的折射率；（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B、C、D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图②，已知α＝60°，CD＝10cm，求截面ABCD的面积．22．（10分）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：价格/类别短款长款进货价（元/件）8090销售价（元/件）100120（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？23．（10分）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n的图象相交于点A（﹣3，a），B（a+，﹣2）两点，O为坐标原点，连接OA，OB．（1）求y1＝与y2＝mx+n的解析式；（2）当y1＞y2时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围；（3）求△AOB的面积．24．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O经过A、C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求⊙O的半径．25．（12分）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．（1）初步探究如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB；（2）尝试应用如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC＝4，求CD的长；（3）创新提升如图4，点E为CD中点，连接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的长．26．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，﹣1），与y轴交于点B（0，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求的最大值及此时点C的坐标；（3）作抛物线F关于直线y＝﹣1上一点的对称图象F′，抛物线F与F′只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线F′对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．

2024年四川省广元市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）1．（3分）将﹣1在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【解答】解：由题意得﹣1+2＝1，所以﹣1在数轴上对应的点向右平移2个单位，此时该点对应的数是1，故选：B．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a3＝a6 B．a6÷a3＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（ab2）2＝a2b4【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故A不符合题意；B、a6÷a3＝a3，故B不符合题意；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故C不符合题意；D、（ab2）2＝a2b4，故D符合题意；故选：D．3．（3分）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从上面看，是一个正方形，正方形内部有一条捺向的对角线实线．故选：C．4．（3分）在“五•四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（）A．中位数是95 B．方差是3 C．众数是95 D．平均数是94【解答】解：把这组数据从小到大排列为91，92，94，95，95，95，96，故中位数是95，故选项A说法正确，不符合题意；平均数为（91+92+94+95×3+96）＝94，故选项D说法正确，不符合题意．方差为[（91﹣94）2+（92﹣94）2+（94﹣94）2+3×（95﹣94）2+（96﹣94）2]＝，故选项B说法错误，符合题意；众数是95，故选项C说法正确，不符合题意；故选：B．5．（3分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于（）A．64° B．60° C．54° D．52°【解答】解：∵∠AOC＝128°，∴∠ABC＝64°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝180°﹣64°＝116°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADC＝64°．故答案为：A．6．（3分）如果单项式﹣x2my3与单项式2x4y2﹣n的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点（m，n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：因为单项式﹣x2my3与单项式2x4y2﹣n的和仍是一个单项式，所以2m＝4，2﹣n＝3，解得m＝2，n＝﹣1，所以点（2，﹣1）所在的象限为第四象限．故选：D．7．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（）A． B． C．2 D．【解答】解：如图，连接BD，∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，∴∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，又CD＝3，BC＝1，∴BD＝，∴AD＝，故选：A．8．（3分）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（）A． B． C． D．【解答】解：∵A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，B种绿植单价是x元，∴A种绿植单价是3x元．根据题意得：+50＝．故选：C．9．（3分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，△ABP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边AB的长为（）A．5 B．7 C． D．【解答】解：当点P运动到C处时，△ABP的面积y＝6，即AC×BC＝6，即AC×BC＝12，又由图象可知，点P从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动至点B的时间为7s，即AC+BC＝7，∴（AC+BC）2＝49，∴AC2+BC2+2AC×BC＝49，∴AC2+BC2＝25，∵AC2+BC2＝AB2，∴AB＝5．故选：A．10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，﹣2）与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2≤x2＜3，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；③a+b＞0；④；⑤b2﹣4ac＞4a2.其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵抛物线开口向上，﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，故①不符合题意；②∵抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，﹣2），∴函数的最小值y＜﹣2，∴ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根；∴方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；故②符合题意；③∴﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴抛物线的对称轴为直线，且，且，而a＞0，∴﹣3a＜b＜﹣a，∴a+b＜0，故③不符合题意；④∵抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵x＝1时，y＝a﹣b+c＞0，即3a﹣3b+3c＞0，当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，∴12a+4c＞0，∴12a＞8，∴，故④符合题意；⑤：﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴x2﹣x1＞2，由根与系数的关系可得：，，∴＝＝＝，∴，∴b2﹣4ac＞4a2，故⑤符合题意；综上，②④⑤正确，符合题意，正确个数有三个．故选：C．二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）11．（4分）分解因式：（a+1）2﹣4a＝（a﹣1）2．【解答】解：（a+1）2﹣4a＝a2+2a+1﹣4a＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2．故答案为：（a﹣1）2．12．（4分）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是10﹣18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为4.3×10﹣17秒．【解答】解：∵1阿秒是10﹣18秒，∴43阿秒＝43×10﹣18＝4.3×10﹣17．故答案为：4.3×10﹣17．13．（4分）点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为18°．【解答】解：由正五边形的性质可知，BG是正五边形ABCDE的对称轴，∴∠DFG＝90°，∵∠FDG是正五边形ABCDE的外角，∴∠FDG＝＝72°，∴∠BGC＝90°﹣72°＝18°，故答案为：18°．14．（4分）若点Q（x，y）满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标（2，﹣1）（答案不唯一，满足x+y＝1且x≠0，y≠0）．【解答】解：根据题意得：+＝＝，即x+y＝1，当x＝2，y＝﹣1时，“美好点”的坐标为（2，﹣1）（答案不唯一，满足x+y＝1且x≠0，y≠0）．故答案为：（2，﹣1）（答案不唯一，满足x+y＝1且x≠0，y≠0）．15．（4分）已知y＝x与y＝（x＞0）的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y＝（x＞0）上点C处，则B点坐标为（0，4）．【解答】解：由题意，∵A在y＝x上，∴m＝2．∴A（2，2）．又A在反比例函数y＝上，∴k＝2×2＝4．∴反比例函数为y＝．由翻折的性质，BC⊥OA，∴可设BC为y＝﹣x+b，∴B为（0，b）．设直线BC与直线OA的交点为P，∴．∴P（b，b）．又B与C关于直线OA对称，且B（0，b），∴C（b，b）．又C在反比例函数y＝上，∴b×b＝4．∴b＝4或b＝﹣4（舍去）．∴B（0，4）．故答案为：（0，4）．16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，则AC+BC的最大值为5．【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1所示：∵tan∠C＝2，在Rt△BCD中，设DC＝x，则BD＝2x，由勾股定理可得，∴，即，∴，延长DC到E，使EC＝CD＝x，连接BE，如图2所示：∴，∵BD⊥DE，DE＝2x＝BD，∴△BDE是等腰直角三角形，则∠E＝45°，在△ABE中，AB＝5，∠E＝45°，由辅助圆﹣定弦定角模型，作△ABE的外接圆，如图3所示：由圆周角定理可知，点E在⊙O上运动，AE是⊙O的弦，求的最大值就是求弦AE的最大值，根据圆的性质可知，当弦AE过圆心O，即AE是直径时，弦最大，如图4所示：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵∠E＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝5，∴BE＝AB＝5，则由勾股定理可得，即的最大值为，故答案为：．三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）17．（6分）计算：（2024﹣π）0+|﹣2|+tan60°﹣（）﹣2．【解答】解：原式＝1+2﹣+﹣4＝1+2﹣4＝3﹣4＝﹣1．18．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中a，b满足b﹣2a＝0．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝，∵b﹣2a＝0，∴b＝2a，∴原式＝＝．19．（8分）如图，已知矩形ABCD．（1）尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形．【解答】（1）解：如图1所示：（2）证明：如图2设EF与AC的交点为O，由（1）可知，直线EF是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，FA＝FC，∠COE＝∠AOF＝90°，OA＝OC，又∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠ECO＝∠FAO，在△COE和△AOF中，，∴△COE≌△AOF（ASA），∴EC＝FA，∴EA＝EC＝FA＝FC，∴四边形AFCE是菱形．20．（9分）广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识，为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：90≤x≤100；B：80≤x＜90；C：70≤x＜80；D：60≤x＜70；E：90≤x＜60）．并绘制了如下尚不完整的统计图．抽取学生成绩等级人数统计表等级ABCDE人数m2730126其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是120°．（1）样本容量为90，m＝15；（2）全校1200名学生中，请估计A等级的人数；（3）全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法．求这两人来自同一个年级的概率．【解答】解：（1）样本容量为：30÷＝90，∴m＝90﹣27﹣30﹣12﹣6＝15，故答案为：90，15；（2）1200×＝200（名），答：全校1200名学生中，估计A等级的人数有200名；（3）把七年级1人记为A，八年级2人分别记为B、C，九年级2人分别记为D、E，画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中选择的两人来自同一个年级的结果有4种，即BC、CB、DE、ED，∴这两人来自同一个年级的概率＝＝．21．（9分）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．（1）若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且cosα＝，β＝30°，求该介质的折射率；（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B、C、D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图②，已知α＝60°，CD＝10cm，求截面ABCD的面积．【解答】解：（1）∵，∴如图，设，则c＝4x，由勾股定理得，，∴，又∵β＝30°，∴，∴折射率为：；（2）由题意可得α＝60°，折射率为，∴，∴，∵四边形ABCD是矩形，点O是AD中点∴AD＝2OD，∠D＝90°，又∵∠OCD＝β，∴，在Rt△ODC中，设，OC＝3x，由勾股定理得，，∴，∴OD＝＝，∴AD＝2OD＝，∴截面ABCD的面积为：AD×CD＝＝cm2．22．（10分）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：价格/类别短款长款进货价（元/件）8090销售价（元/件）100120（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？【解答】解：（1）由题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，∴．∴．答：长款服装购进30件，短款服装购进20件．（2）由题意，设第二次购进m件短款服装，则购进（200﹣m）件长款服装，∴80m+90（200﹣m）≤16800．∴m≥120．又设利润为w元，则w＝（100﹣80）m+（120﹣90）（200﹣m）＝﹣10m+6000．∵﹣10＜0∴w随m的增大而减小．∴当m＝120时，利润w最大为：﹣10×120+6000＝4800（元）．答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元．23．（10分）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n的图象相交于点A（﹣3，a），B（a+，﹣2）两点，O为坐标原点，连接OA，OB．（1）求y1＝与y2＝mx+n的解析式；（2）当y1＞y2时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围；（3）求△AOB的面积．【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n的图象相交于点A（﹣3，a），B（a+，﹣2）两点∴k＝，∴a＝3，∴点A（﹣3，3），B（，∴k＝﹣3×3＝﹣9，∴y1＝﹣，把A（﹣3，3），B，﹣2）代入y＝mx+n得，解得，∴y2＝﹣；（2）由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为﹣3＜x＜0或；（3）若AB与y轴相交于点C，∴C（0，1），∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC＝＝＝．24．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O经过A、C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴∠COD＝2∠CAB＝90°，∵DE∥CF，∴∠COD+∠EDO＝180°，∴∠EDO＝90°∴DE为⊙O的切线；（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，∵△ACB为等腰直角三角形，AC＝4，∴CH＝AH＝＝2，∵tan∠CFD＝＝2，∴FH＝，在Rt△CFH中，由勾股定理得CF2＝CH2＝FH2，∴，∵tan∠CFD＝＝＝＝2，∴OD＝．故⊙O的半径为．25．（12分）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．（1）初步探究如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB；（2）尝试应用如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC＝4，求CD的长；（3）创新提升如图4，点E为CD中点，连接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的长．【解答】（1）证明：如图2，∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD•AB．（2）解：如图3，设AD＝m，∵点D为AB中点，∴AD＝BD＝m，AB＝2m，由（1）得△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴AC2＝AD•AB＝m×2m＝2m2，∴AC＝m或AC＝m（不符合题意，舍去），