高中数学选择性必修2课件：4 3 1 第二课时 等比数列的性质及实际应用(人教A版)

第二课时等比数列的性质及实际应用课标要求素养要求1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.通过推导等比数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究1915年，波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示.我们来数一数图中那些白色的同一类三角形的个数，可以得到一列数：1，3，9，27，……，我们知道这是一个等比数列.问题在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？提示在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq.常用等比数列的性质1.如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有______________.am·an＝ak·ala2·an－1拓展深化[微判断]1.知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列的任意一项.()2.若{an}为等比数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am·an＝ap.()√×3.若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列.()

提示反例：{an}为：1，－1，1，－1，…，{bn}为－1，1，－1，1，…，则{an＋bn}为：0，0，0，0，…，显然不是等比数列.4.若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列.(

)

提示

反例：1，3，2，6，4，12，…显然满足条件，但不是等比数列.××答案C2.在等比数列{an}中，已知a3＝1，a5＝4，a12＝8，则a10＝________.

解析由a3a12＝a5a10得1×8＝4a10，解得a10＝2.

答案

2[微思考]1.在等比数列{an}中，若am·an＝ak·al，是否有m＋n＝k＋l成立？

提示不一定成立，如an＝2，a1a2＝a3a4，但1＋2≠3＋4.2.若数列{an}是各项都是正数的等比数列，那么数列{lgan}还是等比数列吗？

提示是等差数列.[微思考]1.在等比数列{an}中，若am·an＝ak·al，是否有m＋n＝k＋l成立？

提示不一定成立，如an＝2，a1a2＝a3a4，但1＋2≠3＋4.2.若数列{an}是各项都是正数的等比数列，那么数列{lgan}还是等比数列吗？

提示是等差数列.题型一等比数列性质的应用【例1】已知{an}为等比数列.(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.【迁移1】在例1(1)中，添加条件a1a7＝4，求an.解由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4，又由例1(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1，若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3；【迁移2】把例1(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.解

a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，即a1a2a3…a10＝1，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0.规律方法巧用等比数列的性质解题(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法.①基本思路：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解；②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.(2)利用等比数列的性质解题①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.解析

(1)由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2，答案(1)A

(2)16题型二等差数列与等比数列的综合问题【例2】已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值.所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.规律方法解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用.(2)对于解答题注意基本量及方程思想.(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题.(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系.【训练2】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1.故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.当a＝8，q＝2时，所求四个数为0，4，8，16；故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.题型三等比数列的实际应用【例3】某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值. (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解

(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元.(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.规律方法求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要.【训练3】画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________.一、素养落地1.通过学习等比数列性质的应用，提升数学运算素养，通过解决等比数列实际应用问题，提升数学建模素养.2.解决等比数列的问题，通常考虑两种方法： (1)基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，先求公比，后求其他量. (2)数列性质：等比数列相邻几项的积成等比数列、与首末项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等在解题中经常被用到.3.解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列.在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算，不要在运算中出现问题.二、素养训练1.(多选题)若数列{an}是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有(

)解析当c＝0时，{can}不是等比数列，当数列{an}的公比q＝－1时，an＋an＋1＝0，不是等比数列；由等比数列的定义，选项CD中的数列是等比数列.答案

CD2.在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝(

)A.24 B.30C.54 D.108答案C答案14.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________.5.在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.解因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8.备用工具&资料4.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________.2.在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝(

)A.24 B.30C.54 D.108答案C题型二等差数列与等比数列的综合问题【例2】已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值.所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.【迁移2】把例1(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.解

a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10