高中数学选择性必修2课件：5 2 2 导数的四则运算法则(人教A版)

第五章5.2.2导数的四则运算法则能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数.课标要求素养要求在利用导数的运算法则求函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究1导数运算法则法则语言叙述[f(x)±g(x)]′＝____________两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)[f(x)·g(x)]′＝____________________两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数两个函数商的导数，等于分子的导数乘以分母积，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方f′(x)±g′(x)f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)点睛(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导.(2)对于不符合求导公式或四则运算法则求导的函数，可先对其进行恒等变形，再求导.

1.思考辨析，判断正误×(1)若f(x)＝lnx，则f′(e)＝1.(

)√√(4)函数f(x)＝xlnx的导数是f′(x)＝x.(

)提示

f′(x)＝(x)′lnx＋x(lnx)′＝lnx＋1.×2.(多选题)下列求导运算正确的是(

)BCD中，(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，D不正确；BC正确.3.设f(x)＝x3＋ax2－2x＋b，若f′(1)＝4，则a的值是(

)B3.设f(x)＝x3＋ax2－2x＋b，若f′(1)＝4，则a的值是(

)B1课堂互动题型剖析2题型一利用运算法则求函数的导数【例1】

求下列函数的导数.(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；解

法一可以先展开后再求导：y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.法二可以利用乘法的求导法则进行求导：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.解

(2)把函数的解析式整理变形可得：(3)根据求导法则进行求导可得：y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(3e)xln3e－2xln2.解

利用除法的求导法则进行求导可得：解

利用除法的求导法则进行求导可得：利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式.(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.思维升华【训练1】

求下列函数的导数. (1)y＝(x2＋1)(x－1)； (2)y＝3x＋lgx；解

(1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝3x2－2x＋1.角度1求导法则的逆向应用【例2】

已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式.题型二求导法则的应用待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数.思维升华【训练2】

设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式.解

∵f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，角度2求导法则在导数几何意义中的应用解

f′(x)＝3ax2－2x－1.(1)此类问题主要涉及切点，切点处的导数，切线方程三个主要元素，解题方法为把其它题设条件转化为这三个要素间的关系，构建方程(组)求解.(2)准确利用求导法则求出函数的导数是解此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.思维升华因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.1.熟记导数的3个求导法则2.注意1个易错点

应用和、差、积、商的求导法则求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用积或商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形等知识对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错.3.求导的方法

对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题BA3.(多选题)下列运算中错误的是(

)BCD解析

A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′＋(c)′正确；B项中，(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2(x2)′错误；D项中，(cosx·sinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx(sinx)′错误.4.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(

) A.－1 B.－2 C.2 D.0B解析

f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)是奇函数，故f′(－1)＝－f′(1)＝－2.A二、填空题6.函数f(x)＝exsinx的图象在点(0，f(0))处切线的倾斜角为________.③解析

∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，排除图象②④；又a≠0，∴f′(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称，故f′(x)的图象的序号为③.由图象特征可知，f′(0)＝0，∴a2－1＝0，且对称轴x＝－a>0，三、解答题9.求下列函数的导数：10.已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，且在点(1，1)处的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值.解

由抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，得1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0.因为f′(x)＝2ax＋b，且抛物线在点(1，1)处的切线方程为4x－y－3＝0，所以f′(1)＝4，即2a＋b－4＝0.C12.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于(

)A.0 B.－2 C.－4 D.2C解析∵f(x)＝x2＋2xf′(1)，∴f′(x)＝2x＋2f′(1)，取x＝1，得f′(1)＝2×1＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝2×0－4＝－4.13.已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；解f(x)＝x3＋ax＋b的导数为f′(x)＝3x2＋a.由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，由(1)可知f(x)＝x3＋x－16，由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18，∴切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，即y＝4x－18或y＝4x－14.备用工具&资料13.已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；解f(x)＝x3＋ax＋b的导数为f′(x)＝3x2＋a.由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.【训练1】

求下列函数的导数. (1)y＝(x2＋1)(x－1)； (2)y＝3x＋lgx；解

(1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝3x2－2x＋1.题型一利用运算法则求函数的导数【例1】

求下列函数的导数.(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；解

法一可以先展开后再求导：y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.法二可以利用乘法的求导法则进行求导：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x