高中数学选择性必修2课件：4 2 1 第一课时 等差数列的概念与通项公式(人教A版)

4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第一课时等差数列的概念与通项公式课标要求素养要求1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.体会等差数列与一元一次函数的关系.在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.新知探究观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题.我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；②2020年1月中，每个星期日的日期为5，12，19，26.③问题数列①②③有什么共同的特点？提示从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，都是等差数列.1.等差数列的概念

等差数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一个常数”条件从第____项起每一项与它的________的差都等于____________结论这个数列就叫做等差数列有关概念这个常数叫做等差数列的______，通常用字母____表示2前一项同一个常数公差d2.等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时____叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝________.Aa＋b3.等差数列的通项

(1)通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝_____________. (2)等差数列与一次函数的关系： ①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上. ②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为________，公差为____.a1＋(n－1)d(k＋b)k公式

一般形式：an＝am＋(n－m)d拓展深化[微判断]1.常数列是等差数列.()2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()

提示差都是同一个常数.3.数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列.()

提示{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.√××[微训练]1.已知实数m是1和5的等差中项，则m＝(

)解析由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3.答案

C[微训练]1.已知实数m是1和5的等差中项，则m＝(

)解析由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3.答案

C2.等差数列{1－3n}的公差d等于(

) A.1 B.3 C.－3 D.n

解析

∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5， ∴d＝a2－a1＝－3.

答案

C3.等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝________.解析由题知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.答案

2n－5[微思考]1.如果数列{an}满足an＋1－an＝d(常数)或2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，那么数列{an}是等差数列吗？

提示是等差数列.2.等差数列{an}的单调性与其公差d有什么关系？

提示当公差d＝0时，{an}是常数列；

当公差d>0时，{an}是递增数列；

当公差d<0时，{an}是递减数列.题型一等差数列的通项公式及相关计算【例1】在等差数列{an}中，解

(1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.(2)由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.(3)由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3.(4)由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，解

(1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.(2)由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.(3)由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3.(4)由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，规律方法等差数列通项公式中的四个参数及其关系等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d四个参数a1，d，n，an“知三求一”知a1，d，n求an知a1，d，an求n知a1，n，an求d知d，n，an求a1【训练1】

(1)已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝(

)答案(1)B

(2)B题型二等差中项及其应用【例2】在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.解

∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴该数列为－1，1，3，5，7.规律方法(1)由等差数列的定义知an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即2an＝an－1＋an＋1，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.(2)在设等差数列的项时，可利用上述性质.(2)由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.答案(1)A

(2)B题型三等差数列的判定角度1等差数列的证明【例3－1】

(1)已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差数列.证明因为数列{an}是等差数列，可设其公差为d，则an＋1－an＝d.从而bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d，它是一个与n无关的常数，所以数列{bn}是等差数列.∴an＝n·2n.角度2等差数列的探究【例3－2】数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*). (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.(2)不存在.∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2(2λ－4)，∴λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解，∴λ不存在，即不存在λ使{an}为等差数列.规律方法(1)证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)⇔{an}是等差数列.②等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.(2)若证明一个数列不是等差数列，则只要证明其中特定三项(如前三项a1，a2，a3)不是等差数列即可.一、素养落地1.通过学习等差数列的概念，提升数学抽象素养，通过学习等差数列的证明及相关计算，提升逻辑推理及数学运算素养.2.判断一个数列是不是等差数列的常用方法： (1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列； (2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列； (3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列.

但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.3.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.二、素养训练1.给出下列数列： (1)0，0，0，0，0，…；

(2)1，11，111，1111，…； (3)2，22，23，24，…；

(4)－5，－3，－1，1，3，…； (5)1，2，3，5，8，….

其中是等差数列的有(

) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析数列(1)，(4)是等差数列，故选B.

答案

B2.若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列(

) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为3的等差数列 C.是公差为5的等差数列 D.不是等差

解析

an＋1－an＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{an}是公差为2的等差数列.

答案

A3.在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5＝(

) A.5 B.6 C.8 D.9

解析因为a5是a1和a9的等差中项，所以2a5＝a1＋a9，即2a5＝10，a5＝5.

答案

A4.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是________.

解析

d＝－1－1＝－2，设an＝－89，则－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n＝46.

答案

465.在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.备用工具&资料4.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是________.

解析

d＝－1－1＝－2，设an＝－89，则－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n＝46.

答案

462.若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列(

) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为3的等差数列 C.是公差为5的等差数列 D.不是等差

解析

an＋1－an＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{an}是公差为2的等差数列.

答案

A【训练1】

(1)已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝(

)[微思考]1.如果数列{an}满足an＋1－an＝d(常数)或2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，那么数列{an}是等差数列吗