高中数学选择性必修二课件：再练一课(范围：§4 3)(人教A版)

第四章

数

列再练一课(范围：§4.3)1.已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…，是等比数列，则实数a满足A.a≠1 B.a≠0或a≠1C.a≠0 D.a≠0且a≠1基础巩固12345678910111213141516√解析由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…，是等比数列，则a需满足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1.2.设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于A.3 B.4 C.5 D.6解析3S3－3S2＝3a3＝a4－a3⇒a4＝4a3⇒q＝4.√123456789101112131415163.在各项都为正数的等比数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝18，则a8等于A.192 B.2187

C.192或2187 D.√解析由题意得an＝a1qn－1，a1>0，q>0,3＝a2＝a1q，18＝a3＋a4＝a1q2＋a1q3＝a1q(q＋q2)＝3(q＋q2)，∴0＝q2＋q－6＝(q＋3)(q－2)，123456789101112131415164.(多选)在等比数列{an}中，如果a3和a5是一元二次方程x2－5x＋4＝0的两个根，那么a2a4a6的值为A.8 B.－8 C.16 D.－16√解析因为a3和a5是一元二次方程x2－5x＋4＝0的两个根，所以a3a5＝4，√12345678910111213141516A.580 B.585 C.590 D.595l12345678910111213141516√解析设等比数列{an}的公比为q，∴S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)12345678910111213141516123456789101112131415166.在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝_____，an＝_____________.解析由an＋1＝can知数列{an}为等比数列.又∵Sn＝3n＋k，由等比数列前n项和的特点知k＝－1.∵n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2·3n－1，n＝1时，a1＝S1＝3－1＝2满足上式，∴an＝2·3n－1，n∈N*.－12·3n－1(n∈N*)7.若{an}是等比数列，其中a3，a7是方程2x2－3kx＋5＝0的两个根，且(a3＋a7)2＝2a2a8＋11，则k的值为______.所以(a3＋a7)2＝2a2a8＋11＝2a3a7＋11＝16，123456789101112131415167.若{an}是等比数列，其中a3，a7是方程2x2－3kx＋5＝0的两个根，且(a3＋a7)2＝2a2a8＋11，则k的值为______.所以(a3＋a7)2＝2a2a8＋11＝2a3a7＋11＝16，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516解析设等比数列{an}的公比为q，由S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，123456789101112131415169.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求数列{bn}的通项公式；12345678910111213141516解设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2得d＋q＝3. ①由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6. ②因此数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*.12345678910111213141516(2)若T3＝21，求S3.解由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.解得q＝－5或q＝4.当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.故S3＝21或－6.12345678910111213141516(2)若T3＝21，求S3.解由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.解得q＝－5或q＝4.当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.故S3＝21或－6.1234567891011121314151610.已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.(1)求数列{an}的通项公式；12345678910111213141516解设数列{an}的公差为d，则方法一

a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12.又a1＝2，得d＝2，∴an＝2n，n∈N*.方法二

∵a1＋a3＝2a2，∴a2＝4.又a1＝2，∴d＝4－2＝2.∴an＝2n，n∈N*.(2)令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和公式.解由bn＝an·3n＝2n·3n，得Sn＝2·3＋4·32＋…＋(2n－2)·3n－1＋2n·3n，

①3Sn＝2·32＋4·33＋…＋(2n－2)·3n＋2n·3n＋1，

②①－②得－2Sn＝2(3＋32＋33＋…＋3n)－2n·3n＋1＝3(3n－1)－2n·3n＋1，12345678910111213141516综合运用1234567891011121314151611.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于A.16 B.26 C.30 D.80√12345678910111213141516解析由题意得q>0且q≠1，因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列.设S2n＝x(x>0)，则2，x－2,14－x成等比数列，(x－2)2＝2(14－x)，解得x＝6.由S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，可得(6－2)×(S4n－14)＝(14－6)2，解得S4n＝30.12.已知数列{an}的前n项和为Sn，若首项为－1，且满足an＋1＝Sn－1，则Sn＝_______.123456789101112131415161－2n解析因为an＋1＝Sn－1，所以Sn＋1－Sn＝Sn－1，即Sn＋1＝2Sn－1，所以Sn＋1－1＝2(Sn－1).又S1＝a1＝－1，所以数列{Sn－1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，所以Sn－1＝(－2)·2n－1＝－2n，所以Sn＝1－2n.－2123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516解析令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)，拓广探究1234567891011121314151615.在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为____.解析在由正数组成的等比数列{an}中，a3a4a5＝3π，1234567891011121314151612345678910111213141516解当n＝1时，S1＝a1＝1.12345678910111213141516若a≠0且a≠1，12345678910111213141516备用工具&资料解当n＝1时，S1＝a1＝1.12345678910111213141516解析在由正数组成的等比数列{an}中，a3a4a5＝3π，123456789101112131415162.设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于A.3 B.4 C.5 D.6解析3S3－3S2＝3a3＝a4－a3⇒a4＝4a3⇒q＝4.√12345678910111213141516A.580 B.585 C.590