高中数学选择性必修二课件：习题课 数列中的构造问题(人教A版)

习题课数列中的构造问题第四章§4.3

等比数列1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法.2.会用构造法公式解决一些简单的问题.学习目标随堂演练课时对点练一、形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式二、形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式三、形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式内容索引一、形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式例1

已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式.解因为an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n，延伸探究

1.本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n＋1”，其余不变，求数列{an}的通项公式.2.本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n－1”，其余不变，求数列{an}的通项公式.反思感悟形如an＝pan－1＋pn(p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤：第一步：等式两边同除以pn，不管这一项是pn－1或pn＋1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来.第二步：写出数列

的通项公式；第三步：写出数列{an}的通项公式.二、形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式例2已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求{an}的通项公式.解∵an＋1＝2an＋1，an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，∴t＝1，即an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列.∴an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1.反思感悟形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步：假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；跟踪训练2

已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.证明数列{an＋4}是等比数列.并求数列{an}的通项公式.解∵a1＝－2，∴a1＋4＝2.∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列.∴an＋4＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－4.三、形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式三、形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式反思感悟形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式的一般步骤类似于形如an＋1＝pan＋q求通项公式的步骤，要注意数列的下标与q的指数的对应关系.跟踪训练3

已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1且a1＝1，求数列{an}的通项公式.解由题意得，an＋1＋A·2n＋1＝3(an＋A·2n)，即an＋1＝3an＋A·2n，故A＝2，所以an＋1＋2n＋2＝3(an＋2n＋1)，所以{an＋2n＋1}是以5为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2n＋1＝5·3n－1，即an＝5·3n－1－2n＋1.1.知识清单：(1)形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式.(2)形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式.(3)形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式.2.方法归纳：构造法.3.常见误区：构造的新的数列的首项易误认为还是a1.课堂小结随堂演练12341.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为A.15 B.23 C.32 D.42解析因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，a4＝23.√12342.下列说法错误的是A.任意等差数列{an}和{bn}，数列{an＋bn}是等差数列B.存在等差数列{an}和{bn}，数列{anbn}是等差数列C.任意等比数列{an}和{bn}，数列{an＋bn}是等比数列D.存在等比数列{an}和{bn}，数列{anbn}是等比数列√1234解析A项，若{an}和{bn}都是等差数列，不妨设an＝k1n＋b1，bn＝k2n＋b2，故可得an＋bn＝(k1＋k2)n＋b1＋b2，则an＋1＋bn＋1＝(k1＋k2)(n＋1)＋b1＋b2，则an＋1＋bn＋1－(an＋bn)＝k1＋k2，故数列{an＋bn}是等差数列，则A正确；B项，设数列{an}是数列1,1,1；数列{bn}是数列2,2,2，故可得数列{anbn}是数列2,2,2，是等差数列，故B正确.1234D项，设数列{an}是数列1,1,1；数列{bn}是数列2,2,2，故可得数列{anbn}是数列2,2,2，是等比数列，故D正确.综上所述，错误的是C.1234√12344.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－3，则an＝__________.－2n－1＋3解析由an＋1＝2an－3得an＋1－3＝2(an－3)，所以数列{an－3}是首项为a1－3＝－1，公比为2的等比数列，则an－3＝(－1)·2n－1，即an＝－2n－1＋3.课时对点练基础巩固12345678910111213141516√123456789101112131415162.已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝2Sn，n∈N*，S2＝4，则a2021等于A.22020 B.42020 C.42021 D.22021√故{Sn}是以2为首项，2为公比的等比数列，故通项公式为Sn＝2×2n－1＝2n，所以a2021＝S2021－S2020＝22021－22020＝22020×(2－1)＝22020.123456789101112131415163.已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋2，则{an}的通项公式为A.an＝2n－1 B.an＝3n－1C.an＝22n－1 D.an＝6n－4所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝3，公比为3的等比数列，所以an＋1＝3×3n－1＝3n，an＝3n－1，故选B.√12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415166.若数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝4an＋2n，则a6等于A.2016 B.2018 C.2020 D.2022√解析因为an＋1＝4an＋2n，所以an＋1＋2n＝4(an＋2n－1)，所以数列{an＋2n－1}是等比数列，首项为2，公比为4，则an＋2n－1＝2×4n－1，可得an＝22n－1－2n－1，则a6＝22×6－1－26－1＝211－25＝2016.12345678910111213141516123456789101112131415163n－1∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，∴an＋1＝3an，∴数列{an}是等比数列，首项为1，公比为3.∴数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝3n－1.123456789101112131415169.已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值；解因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.12345678910111213141516(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列.12345678910111213141516证明因为Sn＝2an＋n－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋n－1－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.1234567891011121314151610.某企业投资1000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润增长率.问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg2≈0.3)12345678910111213141516解设该项目逐年的项目资金数依次为a1，a2，a3，…，an，n∈N*.则由已知得an＋1＝an(1＋25%)－200，12345678910111213141516∵a1＝1000×(1＋25%)－200＝1050，∵lg2≈0.3，∴不等式化为0.1n≥1.2，∴n≥12.故经过12年后，该项目资金可达到或超过翻两番的目标.123456789101112131415综合运用16√12345678910111213141516即2n＋1an＋1－2nan＝2.又21a1＝2，∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列，∴2nan＝2＋(n－1)×2＝2n，1234567891011121314151612.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，则a12等于A.20480 B.49152C.60152 D.89150√12345678910111213141516解析由题意得S2＝4a1＋2，所以a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝8，故a2－2a1＝4，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，因此数列{an＋1－2an}是以a2－2a1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以a12＝12×212＝49152.1234567891011121314151613.(多选)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下列结论正确的是A.数列{Sn＋n}为等比数列B.数列{an}的通项公式为an＝2n－1－1C.数列{an＋1}为等比数列D.数列{Sn＋1－Sn＋1}为等比数列√√12345678910111213141516又S1＋1＝2，所以数列{Sn＋n}是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；所以Sn＋n＝2n，则Sn＝2n－n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－1，但a1≠21－1－1，故B错误；由a1＝1，a2＝1，a3＝3可得a1＋1＝2，a2＋1＝2，a3＋1＝4，由Sn＝2n－n，所以Sn＋1－Sn＋1＝2Sn＋n－1－Sn＋1＝Sn＋n＝2n－n＋n＝2n，故D正确.1234567891011121314151614.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.依此类推，假设n个月后共有老鼠an只，则a12＝_______.2×71212345678910111213141516解析设n个月后共有an

只老鼠，且雌雄各半，所以n＋1个月后的老鼠只数an＋1

满足：所以an＋1＝an＋6an，即an＋1＝7an(n∈N*)，又因为a1＝14≠0，所以数列{an}是以14为首项，7为公比的等比数列，所以an＝a1qn－1＝14×7n－1＝2×7×7n－1＝2×7n，即an＝2×7n(n∈N*)，当n＝12时，a12＝2×712.拓广探究1234567891011121314151615.将一些数排成倒三角形如图所示，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2021，从第二行起，每一个数都等于他“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于1

2

3

…

2019

2020

2021

3

5

7

…

4039

40418

12

…

8080

…

…

…

MA.2021·22018 B.2022·22019 C.2021·22019 D.2022·22020√12345678910111213141516解析记第n行的第一个数为an则a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2，a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2an－1＋2n－2，又每行比上一行的数字少1个，∴最后一行为第2021行，∴M＝a2021＝2022×22019.16.设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用an表示an＋1；123456789101