高中数学选择性必修二课件：习题课 分组求和、倒序相加求和、并项求和(人教A版)

习题课分组求和、倒序相加求和、并项求和第四章§4.3

等比数列1.熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式.2.掌握分组求和、倒序相加法求和、并项求和等数列求和的方法.学习目标随堂演练课时对点练一、分组求和二、倒序相加法求和三、并项求和内容索引一、分组求和例1

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上.(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？解因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，所以an＋1＝3Sn＋1，当n≥2时，an＝3Sn－1＋1.于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)⇒an＋1－an＝3an⇒an＋1＝4an.又当n＝1时，a2＝3S1＋1⇒a2＝3a1＋1＝3t＋1，所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列.(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.解由(1)，可得an＝4n－1，an＋1＝4n，所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n，那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n)反思感悟分组求和的适用题型一般情况下形如cn＝an±bn，其中数列{an}与{bn}一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列{cn}的前n项和，分别利用等差数列和等比数列前n项和公式求和即可.跟踪训练1

已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2.(1)求数列{an}的通项公式；解数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2，所以数列{an}是等差数列，且首项为1，公差为2，因此，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)已知数列{bn}满足b1＝－

，b2＝－

，设cn＝an＋bn，若数列{cn}为等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn.(2)已知数列{bn}满足b1＝－

，b2＝－

，设cn＝an＋bn，若数列{cn}为等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn.二、倒序相加法求和例2

已知数列{an}的通项公式为an＝n－2(n∈N*)，设f(x)＝x＋

，则数列{f(an)}的各项之和为A.36 B.33 C.30 D.27√解得－2<x<8.所以－2<an<8.又因为an＝n－2，所以满足f(an)的an所有的取值为－1,0,1,2，…，7，即a1，a2，…，a9.所以数列{f(an)}的各项之和S＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝f(－1)＋f(0)＋…＋f(7).因为S＝f(7)＋f(6)＋…＋f(－1)，所以2S＝[f(－1)＋f(7)]＋[f(0)＋f(6)]＋…＋[f(7)＋f(－1)]＝6×9＝54.所以S＝27.反思感悟倒序相加法求和适合的题型一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和.反思感悟倒序相加法求和适合的题型一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和.跟踪训练2

在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝__________.解析令S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，则S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°，两式相加可得2S＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝89，故S＝44.5，即sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝44.5.三、并项求和例3

已知数列an＝(－1)nn，求数列{an}的前n项和Sn.解方法一若n是偶数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋[－(n－1)＋n]＝

.方法二可采用分组求和(略).延伸探究若an＝(－1)nn2，求数列{an}的前n项和Sn.解若n是偶数，Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n－1)2＋n2]若n是奇数，Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋(－n2)反思感悟并项求和法适用的题型一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和.跟踪训练3

若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n＋1·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a2021等于A.－3027 B.3027 C.－3031 D.3031解析S2021＝(1－4)＋(7－10)＋…＋(6055－6058)＋6061＝1010×(－3)＋6061＝3031.√1.知识清单：(1)分组求和.(2)倒序相加求和.(3)并项求和.2.方法归纳：公式法、分类讨论.3.常见误区：并项求和易忽略总项数的奇偶.课堂小结随堂演练1234√1234解析数列{b2n－1}中的项是数列{bn}中的所有奇数项，已知数列{bn}为等比数列，故其所有的奇数项也构成等比数列，公比为4，首项为1，12342.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且满足an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的共有A.225人 B.255人 C.365人 D.465人√解析当n为奇数时，an＋2＝an，当n为偶数时，an＋2－an＝2，所以a1＝a3＝…＝a29＝1，a2，a4，…，a30是以2为首项，2为公差的等差数列，12343.设Sn为数列{an}的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则Sn的值为A.2n－1 B.2n－1－1C.2n－n－1 D.2n＋1－n－2√1234an＝n＋112342an＝2(n＋1)，所以an＝n＋1.课时对点练基础巩固123456789101112131415161.若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－1)，则a1＋a2＋…＋a10等于A.15 B.12 C.－12 D.－15√解析因为an＝(－1)n(3n－1)，所以a1＋a2＝－2＋5＝3，a3＋a4＝－8＋11＝3，a5＋a6＝－14＋17＝3，a7＋a8＝－20＋23＝3，a9＋a10＝－26＋29＝3，因此a1＋a2＋…＋a10＝3×5＝15.12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415163.已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝3，Sn为其前n项和，则S2021等于A.3030 B.3031 C.3032 D.3033√解析由题意a2＝2，a3＝1，a4＝2…，故奇数项为1，偶数项为2，则S2021＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2019＋a2020)＋a2021＝3×1010＋1＝3031.123456789101112131415164.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，Sn为其前n项和，则S5的值为A.63 B.61 C.62 D.57解析由数列的递推关系可得，an＋1＋1＝2(an＋1)，a1＋1＝2，据此可得，数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，则an＋1＝2×2n－1⇒an＝2n－1，√12345678910111213141516√12345678910111213141516解析∵正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lga1＋lga2021＝0，∴lg(a1·a2021)＝0，即a1·a2021＝1.令T＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2021)，则T＝f(a2021)＋f(a2020)＋…＋f(a1)，∴2T＝f(a1)＋f(a2021)＋f(a2)＋f(a2020)＋…＋f(a2021)＋f(a1)＝2×2021，∴T＝2021.123456789101112131415166.(多选)数列{an}是首项为1的正项数列，an＋1＝2an＋3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是A.a3＝13 B.数列{an＋3}是等比数列C.an＝4n－3 D.Sn＝2n＋1－n－2√√12345678910111213141516解析an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴数列{an＋3}是等比数列，又∵a1＝1，∴an＋3＝(a1＋3)2n－1，∴an＝2n＋1－3，∴a3＝13，123456789101112131415167.在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和.已知数列{an}是等和数列，且a1＝－2，a2022＝8，则这个数列的前2022项的和为_______.606612345678910111213141516解析设等和数列的公和为m.因为a1＝－2，所以a2＝m＋2，a3＝－2，a4＝m＋2，a5＝－2，…，又a2022＝m＋2＝8，所以m＝6，所以S2022＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2021＋a2022)＝1011×6＝6066.123456789101112131415168.设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则

＝______.1033解析∵数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∵{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴bn＝1×2n－1＝2n－1，∴

＝2n－1＋1，123456789101112131415169.已知等差数列{an}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；解设等差数列{an}的公差为d，12345678910111213141516(2)设bn＝an＋2n，求数列{bn}的前n项和Sn.当an＝3n－5时，bn＝(3n－5)＋2n，1234567891011121314151610.已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，且a3＝5，S3＝9.(1)求数列{an}的通项公式；解设等差数列{an}的公差为d，故数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)，即an＝2n－1.12345678910111213141516(2)若bn＝

－1，求数列{bn}的前n项和Tn.解由(1)得bn＝

－1＝3n－1，12345678910111213141516综合运用11.已知{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2021的值为A.1008 B.1009 C.1010 D.1011√12345678910111213141516解析由题意，当n≥2时，可得Sn－1＝Sn－an，因为an＋2Sn－1＝n，所以an＋2(Sn－an)＝n，即2Sn＝an＋n，当n≥3时，2Sn－1＝an－1＋n－1，两式相减，可得2an＝an－an－1＋1，即an＋an－1＝1，所以a2＋a3＝1，a4＋a5＝1，a6＋a7＝1，…，12345678910111213141516√12345678910111213141516所以有a1＝1，所以an＝2n－1(n∈N*)，令2an－n＝bn，所以bn＝2n－n，因此有Sn＝(2－1)＋(22－2)＋(23－3)＋…＋(2n－n)＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516故F(－x)＝－F(x)，12345678910111213141516倒序相加可得2an＝6(n＋1)，即an＝3(n＋1).123456789101112131415166012345678910111213141516…

12345678910111213141516由(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝2×(2n－1)－n＝120，解得n＝6，拓广探究1234567891011121314151615.在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则a1＋a2＋…＋a51＝______.676当n为奇数时，an＋2－an＝0，an＝1；1234567891011121314151612345678910111213141516解①当n为大于或等于3的奇数时，Sn＝[1＋13＋…＋(6n－5)]＋(42＋44＋…＋4n－1)当n＝1时，S1＝a1＝1，上式同样成立.②当n为偶数时，12345678910111213141516备用工具&资料12345678910111213141516解①当n为大于或等于3的奇数时，Sn＝[1＋13＋…＋(6n－5)]＋