高中数学选择性必修二课件：4 3 1 第3课时 等比数列的性质(人教A版)

第3课时等比数列的性质第四章4.3.1等比数列的概念1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性

质简化运算.2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.学习目标在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引伸到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质.导语随堂演练课时对点练一、由等比数列构造新等比数列二、等比数列中任意两项之间的关系三、等比数列中多项之间的关系内容索引一、由等比数列构造新等比数列问题1

结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？提示

等差数列等比数列定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.符号表示an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)

＝q(n≥2，n∈N*)通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1类比差⇒商；和⇒积，积⇒乘方性质等差数列首项a1，公差d等比数列首项a1，公比q把等差数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以d为公差的等差数列把等比数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以q公比的等比数列等差数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是以公差为md的等差数列等比数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是以公比为qm的等比数列性质等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列两个等差数列相加，还是一个等差数列两个等比数列相乘，还是一个等比数列知识梳理pq知识梳理pq注意点：在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q＝－1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成等比数列.例1

如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是A. B.C.{an·an＋1} D.{an＋an＋1}解析取等比数列an＝(－1)n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质.√反思感悟由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q<0的情况.跟踪训练1

设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为A.{an}是等比数列B.a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公

比相同√解析因为Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，所以Ai＝aiai＋1(i＝1,2,3，…，n，…)，则数列{An}的通项为An＝anan＋1.根据等比数列的定义，解析因为Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，所以Ai＝aiai＋1(i＝1,2,3，…，n，…)，则数列{An}的通项为An＝anan＋1.根据等比数列的定义，二、等比数列中任意两项之间的关系问题2结合上面的类比，你能把等差数列里面的an＝am＋(n－m)d类比出等比数列中相似的性质吗？知识梳理等比数列通项公式的推广和变形an＝

.amqn－m例2

在等比数列{an}中：(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝

，求n；解设等比数列{an}的公比为q.再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36得a3＝32，所以n－8＝1，所以n＝9.(2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.反思感悟等比数列的通项公式及变形的应用(1)在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.(2)在已知等比数列中任意两项的前提下，利用an＝amqn－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项.√解析设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，∴a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12，q≠－1，故选C.√解析等比数列{an}中，设其公比为q(q≠0)，a3＝2，∴q4＝4.三、等比数列中多项之间的关系问题3

结合上面的类比，你能把等差数列里面的am＋an＝ak＋al，类比出等比数列中相似的性质吗？提示类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*.推导过程：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1，因为m＋n＝k＋l，所以有aman＝akal.知识梳理设数列{an}为等比数列，则：(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则

.(2)若m，p，n成等差数列，则

成等比数列.注意点：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….ak·al＝am·anam，ap，an例3

已知{an}为等比数列.解在等比数列{an}中，(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；解由等比中项，化简条件得即(a6＋a8)2＝49，∵an>0，∴a6＋a8＝7.(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.解由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.反思感悟利用等比数列的性质解题(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题.(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.跟踪训练3

(1)公比为

的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于A.4 B.5 C.6 D.7解析因为a3a11＝16，所以

＝16.又因为an>0，所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝32，即log2a16＝5.√(2)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝_____.解析方法一因为{an}是等比数列，＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50.因为an>0，所以a2＝

.所以a8＝

.1.知识清单：(1)由等比数列构造新的等比数列.(2)等比数列中任意两项之间的关系.(3)等比数列中多项之间的关系.2.方法归纳：公式法、类比思想.3.常见误区：构造新的等比数列易忽视有等于0的项.课堂小结随堂演练12341.在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为√12342.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么A.{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列B.{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列D.{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列√解析当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列.12343.已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是√解析奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，12344.若正项等比数列{an}满足a1a5＝4，当

取最小值时，数列{an}的公比是____.解析设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，因为a1a5＝4，所以由等比数列的性质可得a2a4＝4，2所以数列{an}的公比是2.课时对点练基础巩固12345678910111213141516√123456789101112131415162.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10等于A.6 B.2 C.2或6 D.－2√解析由题意知a2＋a18＝－6，a2·a18＝4，所以a2<0，a18<0，故a10<0，123456789101112131415163.在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于解析因为a4＝a2·q2，√又因为a1<0，a2>0，所以q<0.123456789101112131415164.在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，则

的值为A.4 B.2 C.－2 D.－4√123456789101112131415165.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为A.2 B. C.3 D.√12345678910111213141516解析方法一依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，方法二依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，故选D.12345678910111213141516√√√1234567891011121314151612345678910111213141516解析设正项等比数列{an}的公比q＞0，∴q2－2q－3＝0，q＞0，解得q＝3.123456789101112131415168.已知数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，则a4(a2＋2a4＋a6)＝____.π2解析因为数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，所以a4(a2＋2a4＋a6)＝(a3＋a5)2＝π2.123456789101112131415169.已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值.12345678910111213141516解∵{an}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64.又∵a3＋a7＝20，∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.此时a11＝a3q8＝4×42＝64.1234567891011121314151610.已知数列{an}为等比数列.(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；解∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，即(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.12345678910111213141516(2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项.12345678910111213141516解设等比数列{an}的公比为q，∵a2－a5＝42，∴q≠1.若G是a5，a7的等比中项，∴a5，a7的等比中项为±3.12345678910111213141516综合运用11.设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2·…·a9)等于A.38 B.39 C.9 D.7√解析因为a4a8＝a5a7＝3a7且a7≠0，所以a5＝3，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析方法一∵a3，a5的等比中项为±a4，∴a4＝2.∴q＝2，12345678910111213141516方法二∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，解得q＝2，1234567891011121314151613.等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于A.±2 B.±4 C.2 D.4√12345678910111213141516解析∵T13＝4T9，∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.又∵{an}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2.1234567891011121314151614.在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于______.－213解析由于{an}是等比数列，而a7＝－2.∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.拓广探究12345678910111213141516解析∵{an}是等比数列，∴a7·a11＝a4·a14＝6，又a4＋a14＝5，16.已知{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝14，数列{bn}满足b1＝1，b4＝6，且{an－bn}是等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；1234567891011121314151612345678910111213141516解设{an}的公差为d，所以an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，故{an}的通项公式为an＝4n－2(n∈N*).设cn＝an－bn，则{cn}为等比数列.c1＝a1－b1＝2－1＝1，c4＝a4－b4＝14－6＝8，12345678910111213141516则cn＝2n－1，即an－bn＝2n－1.所以bn＝4n－2－2n－1(n∈N*).故{bn}的通项公式为bn＝4n－2－2n－1(n∈N*).(2)若任意n∈N*，都有bn≤bk成立，求正整数k的值.12345678910111213141516解由题意得，bk应为数列{bn}的最大项.由bn＋1－bn＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N*).当n<3时，bn＋1－bn>0，bn<bn＋1，即b1<b2<b3；当n＝3时，bn＋1－bn＝0，即b3＝b4；当n>3时，bn＋1－bn<0，bn>bn＋1，即b4>b5>b6>…，所以k＝3或k＝4.备用工具&资料12345678910111213141516则cn＝2n－1，即an－bn＝2n－1.所以bn＝4n－2－