高中数学选择性必修二课件：4 3 1 第2课时 等比数列的判定与简单应用(人教A版)

第2课时等比数列的判定与简单应用第四章4.3.1等比数列的概念1.体会等比数列与指数函数的关系.2.掌握等比数列的判断及证明方法.3.掌握等比数列中项的设法.学习目标随堂演练课时对点练一、等比数列的通项公式与函数的关系二、等比数列的判定与证明三、等比数列中项的设法内容索引一、等比数列的通项公式与函数的关系问题1

观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？知识梳理等比数列的通项公式与指数型函数的关系(1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝

·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即

.(2)任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为

，公比为

.an＝f(n)kaa注意点：(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0，0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列；(3)a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列；(5)q＝1时，数列{an}为常数列；(6)q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同.例1

已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件√解析当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立；当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0,0<q<1，即必要性不成立；即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件.延伸探究

1.若{an}为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√解析若等比数列{an}是递增数列，可得a1<a3<a5一定成立；反之：例如数列{(－1)n＋12n}，此时满足a1<a3<a5，但数列{an}不是递增数列，所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件.延伸探究

1.若{an}为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√解析若等比数列{an}是递增数列，可得a1<a3<a5一定成立；反之：例如数列{(－1)n＋12n}，此时满足a1<a3<a5，但数列{an}不是递增数列，所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件.2.设{an}是等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√解析设等比数列{an}的公比为q，此时数列{an}不一定是递增数列；所以“a1<a2”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件.反思感悟判断等比数列的单调性的方法(1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列.(2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列.(3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列.√解析∵a7·a14＝a4·a17＝6，a4＋a17＝5，∴a4与a17为方程x2－5x＋6＝0的两个根，解得a4＝2，a17＝3或a4＝3，a17＝2，∵an>an＋1，∴a4＝3，a17＝2，二、等比数列的判定与证明二、等比数列的判定与证明问题2若数列{an}的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？提示不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性.知识梳理证明等比数列的方法qan－1an＋1a1qn－1例2

已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝

(an－1)(n∈N*).(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列.证明当n≥2时，反思感悟判断一个数列是等比数列的常用方法(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，三、等比数列中项的设法例3

有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.所以a3＝216.所以a＝6.由题意知第4个数为12q－6.所以6＋6q＋12q－6＝12，故所求的四个数为9,6,4,2.方法二设后三个数为4－d,4,4＋d，解得4－d＝6.所以d＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.跟踪训练3

有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是_____.解析设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.45解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.1.知识清单：(1)等比数列与函数的关系.(2)等比数列的证明.(3)等比数列中项的设法.2.方法归纳：定义法、分类讨论.3.常见误区：四个数成等比数列时设成

，aq，aq3，未考虑公比为负的情况.课堂小结随堂演练12341.已知等比数列{an}的公比为q，首项a1>0，则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√解析若q<0，则等比数列{an}为摆动数列，由于等比数列{an}为递减数列，则q>0.若a1>0，则an＝a1qn－1>0，由an＋1<an，所以q<1；所以a1>0，等比数列{an}为递减数列⇔0<q<1，所以若a1>0，“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的必要不充分条件.12342.在数列{an}中，如果an＝32－n(n＝1,2,3，…)，那么这个数列是A.公比为2的等比数列 B.公差为3的等差数列C.首项为3的等比数列 D.首项为3的等差数列√解析因为an＝32－n(n＝1,2,3，…)，所以a1＝3，a2＝1，an－1＝33－n(n≥2)，12343.在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于A.(－2)n－1 B.－(－2)n－1C.(－2)n D.－(－2)n√1234解析设公比为q，则a1q4＝－8a1q，又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.12344.在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝an(n∈N*)，则a6＝____.解析∵2an＋1＝an，a1＝2，课时对点练基础巩固12345678910111213141516√解析由公比q<0可知，该等比数列是摆动数列.12345678910111213141516√解析由an＋1－2an＝0知an＋1＝2an，故{an}是等比数列，且q＝2，123456789101112131415163.已知数列{an}对任意的n≥2且n∈N*，满足a＝an－1an＋1，且a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式为A.an＝2n B.an＝2n－1C.an＝n D.无法确定√解析由题意可知数列{an}是等比数列，首项a1＝1，公比q＝2，所以an＝2n－1.123456789101112131415164.等比数列{an}不具有单调性，且a5是a4和3a3的等差中项，则数列{an}的公比q等于A.－1 B.1 C.－2 D.－3√解析∵a5是a4和3a3的等差中项，∴2a5＝a4＋3a3，得2a1q4＝a1q3＋3a1q2，又等比数列{an}不具有单调性，故q＝－1，故选A.123456789101112131415165.若正项数列{an}满足a1＝2，a－3an＋1an－4a＝0，则数列{an}的通项公式an等于A.22n－1 B.2n C.22n＋1 D.22n－3√12345678910111213141516得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0.又{an}是正项数列，由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式，得an＝2×4n－1＝22n－1.123456789101112131415166.(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，

<0.则下列结论正确的是A.0<q<1 B.a7>1C.a8>1 D.Tn的最大项为T7√∴a7>1,0<a8<1，∴A正确；√√B正确；C错误；D，T7是数列{Tn}中的最大项，故正确.123456789101112131415167.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an，则an＝________.2×3n－1解析因为an＋1＝3an且a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an＝2×3n－1.123456789101112131415168.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为____.123456789101112131415169.有四个数，前三个数成等差数列，它们的和为12，后三个数成等比数列，它们的和为19，求这四个数.12345678910111213141516解由于前三个数成等差数列，且它们的和为12，则第二个数为4，设前三个数分别为4－d,4,4＋d，由于后三个数成等比数列，整理得d2＋12d－28＝0，解得d＝2或d＝－14.若d＝2，则这四个数分别为2,4,6,9；若d＝－14，则这四个数分别为18,4，－10,25.因此，这四个数分别为2,4,6,9或18,4，－10,25.1234567891011121314151610.已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列.12345678910111213141516证明由已知，得2a2＝a1＋a3，

①12345678910111213141516即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3).又a1，a3，a5均不为0，∴a1，a3，a5成等比数列.12345678910111213141516综合运用√12345678910111213141516解析∵{an}中的项必然有正有负，∴q<0.又|q|>1，∴q<－1.由此可得{an}的连续四项为－24,36，－54,81.12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151613.在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足A.q>1 B.q<1 C.0<q<1 D.q<0√12345678910111213141516解析先证必要性：∵a1<0，且{an}是递增数列，则此时公比q满足0＜q＜1；再证充分性：∵a1<0,0<q<1，∴an<0，则{an}是递增数列，综上，{an}是递增数列的充要条件是公比q满足0＜q＜1.1234567891011121314151614.已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，

，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为______.102412345678910111213141516解析因为等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，

，2a7成等差数列，所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝

，所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1024.拓广探究12345678910111213141516√12345678910111213141516又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，16.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；1234567891011121314151612345678910111213141516解设数列{an}的公比为q.由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围.12345678910111213141516解bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，由bn＞bn＋1，得(n＋2－λ)·24－n＞