高中数学选择性必修二课件：§4 4 数学归纳法(人教A版)

§4.4

数学归纳法第四章

数

列学习目标XUEXIMUBIAO1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的命题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点数学归纳法1.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当

时命题成立；(2)(归纳递推)以当“

(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当

时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从

开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.n＝kn＝k＋1n＝n0(n0∈N*)n02.数学归纳法的证明形式记P(n)是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：(1)

为真；(2)若

为真，则

也为真.结论：

为真.3.数学归纳法中的两个步骤在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当

时结论成立，即命题

；第二步是证明一种

关系，实际上是要证明一个新命题：

.只要将这两步交替使用，就有

真，

真……

真，

真……，从而完成证明.P(n0)P(k)P(k＋1)P(n)n＝n0P(n0)为真递推若P(k)为真，则P(k＋1)也为真P(n0)P(n0＋1)P(k)P(k＋1)1.应用数学归纳法证明数学命题时n0＝1.(

)2.用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可.(

)3.推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√××2题型探究PARTTWO一、证明恒等式一、证明恒等式(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，那么当n＝k＋1时，上式表明当n＝k＋1时，命题也成立.由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立.反思感悟用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：(1)n＝n0时，等式的结构.(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项.这时一定要弄清三点：①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项.②代数式相邻两项之间的变化规律.③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系.跟踪训练1

求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*).跟踪训练1

求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*).证明(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立.(2)假设当n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1).当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立.综上所述，等式对任何n∈N*都成立.二、证明不等式例2

用数学归纳法证明：(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，

不等式成立，则当n＝k＋1时，所以当n＝k＋1时，不等式也成立.综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立.反思感悟用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明.(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等.∴不等式成立.(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立.∴当n＝k＋1时，不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立.三、归纳—猜想—证明下面用数学归纳法证明猜想正确：(1)当n＝1,2时易知猜想正确.∴当n＝k＋1时猜想也正确.由(1)(2)可知，猜想对任意n∈N*都正确.反思感悟(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”.(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式.∴b2＝2.B3＝b1＋b2＋b3＝2b3，∴b3＝3.∴b4＝4.由此猜想：bn＝n(n∈N*)为数列{bn}的通项公式.下面用数学归纳法证明.(1)当n＝1时，b1＝1，等式成立.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立.即bk＝k，则当n＝k＋1时，即当n＝k＋1时，bk＋1＝k＋1.由(1)(2)知，对任意n∈N*，都有bn＝n.3随堂演练PARTTHREEA.1 B.1＋2

C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋412345√解析当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4.12345√123453.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是A.假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B.假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C.假设n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D.假设n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)12345√解析因为n为正奇数，根据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确.12345(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解析n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.123451.知识清单：(1)数学归纳法的概念.(2)数学归纳法的步骤.2.方法归纳：归纳—猜想—证明.3.常见误区：(1)对题意理解不到位导致n0的取值出错；(2)推证当n＝k＋1时忽略n＝k时的假设.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证A.n＝1 B.n＝2C.n＝3 D.n＝4基础巩固√12345678910111213141516解析由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立.解析因为已知n为正偶数，故当n＝k时，下一个偶数为k＋2.A.n＝k＋1时等式成立

B.n＝k＋2时等式成立C.n＝2k＋2时等式成立

D.n＝2(k＋2)时等式成立12345678910111213141516√3.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时，该命题也成立.现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出A.当n＝6时命题不成立

B.当n＝6时命题成立C.当n＝4时命题不成立

D.当n＝4时命题成立12345678910111213141516√√12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415167.证明：假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立.因此对于任意n∈N*等式都成立.以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为

.缺少步骤归纳奠基1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，那么当n＝k＋1时，所以当n＝k＋1时，等式也成立.根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立.12345678910111213141516证明(1)当n＝2时，(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，则当n＝k＋1时，12345678910111213141516所以当n＝k＋1时不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立.12345678910111213141516∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法A.过程全部正确

B.n＝1验证不正确C.归纳假设不正确

D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确综合运用√12345678910111213141516解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法.1234567891011121314151612.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋

.π解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.1234567891011121314151614.用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为______________________________________

.解析34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.1234567891011121314151681×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1(或25×(34k＋1＋52k＋1)＋56×34k＋1)拓广探究1234567891011121314151615.在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点.则这n条直线将它们所在的平面分成__________

个区域.(n≥2，n∈N*)12345678910111213141516解析(1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立.(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域为k＋1块.12345678910111213141516所以n＝k＋1时命题也成立.由(1)(2)可知，原命题成立.1234567891011121314151616.试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论.解当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立.12345678910111213141516当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边.(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立.根据(1)和(2)，原不等式对于任意n∈N*都成立.12345678910111213141516备用工具&资料解当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N