2025九年级上册数数学(RJ)第二十一章 一元二次方程周周测4（21.2.3）

2025九年级上册数数学(RJ)第二十一章一元二次方程周周测4（21.2.3）第二十一章一元二次方程周周测4因式分解法一、选择题1、方程的解是（

）A、

B、

C、

D、​2、方程的正确解法是（

）A、化为

B、​

C、化为

D、化为​3、方程正确解法是（

）A、直接开方得

B、化为一般形式​

C、分解因式得

D、直接得或4、经计算整式与的积为，则的所有根为（

）A、

B、

C、

D、​5、关于的一元二次方程的两实根都是整数，则整数的取值可以有（

）A、2个

B、4个

C、6个

D、无数个6、若关于x的多项式含有因式x－3，则实数p的值为（

）A、－5

B、5

C、－1

D、17、关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为（

）A、1

B、－1

C、1或－1

D、​8、三角形一边长为，另两边长是方程的两实根，则这是一个（

）.A、直角三角形

B、锐角三角形

C、钝角三角形

D、任意三角形9、将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x的值为（

）.A、

B、

C、

D、210、若，则的值为（

）.A、－3

B、－1或4

C、4

D、无法计算11、因式分解结果为（

）A、

B、

C、

D、​12、一元二次方程的解是（

）A、1或－1

B、2

C、0或2

D、013、若关于的方程的一个根是0，则另一个根是（

）A、1

B、－1

C、5

D、

14、下面一元二次方程的解法中，正确的是（

）.A、，∴，∴

B、，∴，∴

C、，∴

D、两边同除以x，得x＝115、下列命题：①关于x的方程是一元二次方程；②与方程是同解方程；③方程与方程是同解方程；④由可得或．其中正确的命题有（

）.A、0个

B、1个

C、2个

D、3个二、填空题16、因式分解结果为________，方程的根为________．17、小华在解一元二次方程时，只得出一个根是x＝4，则被他漏掉的一个根是x＝________．18、方程的解是________．19、方程的解是________．20、三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________．三、解答题21、用适当的方法解方程．22、用因式分解法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．23、如果方程与方程有一个公共根是3，求的值，并分别求出两个方程的另一个根．24、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积是小圆形场地的4倍，求小圆形场地的半径．25、如图所示，在长和宽分别是、的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．

(1)用，，表示纸片剩余部分的面积；(2)当＝6，＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求剪去的正方形的边长．

答案解析部分一、选择题1、【答案】B

【考点】解一元二次方程-因式分解法

【解析】【解答】如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式为0．

【分析】本题考查直接利用因式分解法的求解．2、【答案】C

【考点】解一元二次方程-因式分解法

【解析】【解答】将方程移项得，以x＋1为整体提取公因式即可得C．

【分析】将x＋1看作整体进行提公因式可以简化计算．3、【答案】C

【考点】解一元二次方程-因式分解法

【解析】【解答】将9和4分别看作3和2的平方，利用平方差公式进行因式分解求方程解．

【分析】公式法中常利用的公式有：平方差公式，与完全平方公式．4、【答案】B

【考点】解一元二次方程-因式分解法

【解析】【解答】整式x＋1与x－4的积为，则为，∴．

【分析】本题考查直接利用因式分解法的求解．5、【答案】D

【考点】解一元二次方程-因式分解法

【解析】【解答】因为－5可以写成无数对整数的和，将其中一对整数相乘即可得到p的值得，所以p的值有无数个．

【分析】本题考查因式分解法的逆向使用．6、【答案】D

【考点】解一元二次方程-因式分解法

【解析】【解答】因为关于x的多项式含有因式x－3，那么x－3＝0即x＝3是一元二次方程的解，将x＝3代入得，解得p＝1．

【分析】本题的关键是多项式含有因式x－3，那么x－3＝0即x＝3是一元二次方程的解．7、【答案】B

【考点】一元二次方程的定义，一元二次方程的解，解一元二次方程-因式分解法

【解析】【解答】将x＝0代人方程得，∴，∴，又∵关于x的方程为一元二次方程，∴m－1≠0即m≠1，∴m＝－1．

【分析】本题先根据0为方程的根列关于出m的方程，解所得的方程求得m的值，再根据一元二次方程的定义将m＝1的情况排除即可．8、【答案】A

【考点】解一元二次方程-因式分解法，勾股定理的逆定理

【解析】【解答】在方程中，∵，∴，∴这个三角形的三边长分别为6，8，10，且，∴这个三角形为直角三角形．

【分析】先解方程求得三角形的另两条边，再利用勾股定理的逆定理可知该三角形为直角三角形．9、【答案】A

【考点】完全平方公式，解一元二次方程-因式分解法，定义新运算

【解析】【解答】根据题意有，∴，∴，∴，∴，∴．

【分析】对于定义新运算的试题，我们可以将字母换成相应位置的式子或数，如在本题中可以认为a＝x＋1等．

10、【答案】C

【考点】解一元二次方程-因式分解法，平方的非负性

【解析】【解答】在方程中，∴，又∵，∴．

【分析】本题的关键在于将看作整体．11、【答案】D

【考点】因式分解-提公因式法

【解析】【解答】将多项式提公因式x－3得．

【分析】本题考查因式分解中的提公因式法．12、【答案】C

【考点】解一元二次方程-因式分解法

【解析】【解答】对所给方程移项得，提公因式x得，∴．

【分析】利用提公因式进行因式分解可以简化求解过程．13、【答案】C

【考点】一元二次方程的解，解一元二次方程-因式分解法

【解析】【解答】将x＝0代人方程得k＝0，∴所给方程为，∴，∴，∴方程的另一个根为5．

【分析】先利用0为方程的一个根求得k的值，进而得到原方程，解方程即可求得另一个根．14、【答案】B

【考点】解一元二次方程-因式分解法

【解析】【解答】A中方程没有化成积为0的两个因式，所以错误；C中没有化成两个因式的积的形式，所以错误；D中同时除以x，将x为0的解漏掉了，所以错误；B将方程化成了两个因式的积为0的形式，所以说法正确．

【分析】用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积等于0的形式．15、【答案】A

【考点】一元二次方程的定义，解一元二次方程-因式分解法

【解析】【解答】①中方程当k＝0时不是一元二次方程；②中x＝1比方程x2＝1少一个解x＝－1；③中方程x2＝x比方程x＝1多一个解x＝0；④中由不能必然地得到x＋1＝3或x－1＝3，因此没有正确的命题．

【分析】同解方程有完全相同的解．二、填空题16、【答案】（x+24）(x-4)；x1=-24，x2=4

【考点】解一元二次方程-因式分解法，因式分解-十字相乘法

【解析】【解答】用十字相乘法得，∴方程可以变为（x+24）(x-4)

，∴方程的根为x1=-24，x2=4.

【分析】可以利用十字相乘进行因式分解，进而解方程．17、【答案】0

【考点】解一元二次方程-因式分解法

【解析】【解答】在方程中，∴，∴，∴被他漏掉的一个根是x＝0．

【分析】可以利用提公因式的方法进行因式分解．18、【答案】

【考点】解一元二次方程-因式分解法

【解析】【解答】将方程移项得，提取公因式x＋2得，∴方程的解为．

【分析】考查提取公因式法的求解，且以x＋2为整体提取公因式．19、【答案】

【考点】解一元二次方程-直接开平方法

【解析】【解答】∵，∴，∴，∴方程的解为．

【分析】将256看作16的平方，利用平方差进行因式分解求方程解．20、【答案】6或10或12

【考点】解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系

【解析】【解答】将所给方程十字相乘进行因式分解得，∴方程的实数根为，当组成的三角形为等边三角形时：边长为2则周长为6，边长为4则周长为12；当组成的三角形为等腰三角形时，只能为：腰长为4，底边为2，那么周长为10，∴三角形的周长为6或10或12．

【分析】一定要依据三角形的三边关系检验能否构成三角形．三、解答题21、【答案】解：，

∴，

∴，

∴，∴．

【考点】解一元二次方程-因式分解法

【解析】【分析】以2t＋3为整体提取公因式．22、【答案】（1）解：，

∴，

∴；

（2）解：，

∴，

∴，

∴；

（3）解：，

∴，

∴，

∴，

∴；

（4）解：，

∴，

∴，

∴．

【考点】解一元二次方程-因式分解法

【解析】【分析】（1）利用十字相乘法进行因式分解；（2）将看作整体进行提公因式进行因式分解；（3）利用平方差公式进行因式分解；（4）将看作整体进行因式分解．23、【答案】解：将代入两个方程得，解得：,

∴；将代入方程得，

∴，

∴，

∴该方程的另一个根为－2；

将代入方程得，

∴，

∴，

∴该方程的另一个根为－5．

【考点】解二元一次方程组，一元二次方程的解，解一元二次方程-因式分解法

【解析】【分析】先根据题意列出关于的二元一次方程组，求得的值，再将其代入所给方程利用因式分解进行求解即可．24、【答案】解：设小圆形场地的半径为r，根据题意得：，

∴，

∴，

∴即，

∴，

∴小圆形场地的半径5m．

【考点】解一元二次方程-因式分解法，一元二次方程的应用

【解析】【分析】能根据实际问题列方程，利用平方差进行因式分解求方程解，会对解进行取舍．25、【答案】（1）解：纸片剩余部分的面积为：，

（2）解：当a＝6，b＝4时，根据题意有：，∴，

∴即，

∴剪去的正方形的边长．

【考点】解一元二次方程-因式分解法

【解析】【分析】能根据实际问题列方程，利用平方差进行因式分解求方程解，会对解进行取舍．第二十一章一元二次方程周周测5一元二次方程的根与系数的关系一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．62．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（）A． B． C．3 D．3．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2013 C．2012 D．20114．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=05．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述何者正确（）A．无解 B．有两正根C．有两负根 D．有一正根及一负根二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）6．设x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=______，x1x2=______．7．若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=______，n=______．8．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么的值为______．9．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=______．10．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则α2+4α+β=______．11．若关于x的方程x2﹣5x+k=0的一个根是0，则另一个根是______，k=______．12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程______．13．若方程x2﹣kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是______．三．解答题：14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积：（1）3x2+2x﹣3=0（2）x2+x=6x+7．15．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，求+的值．16．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．17．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．18．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6【解答】解：∵一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，∴x1+x2=3，x1•x2=﹣1，∴x12x2+x1x22=x1x2•（x1+x2）=﹣1×3=﹣3．故选A．2．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（）A． B． C．3 D．【解答】解：因为α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，所以α+β=，αβ=﹣，又因为（α﹣2）（β﹣2）=αβ﹣2（α+β）+4=﹣﹣2×+4=．故选A3．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2013 C．2012 D．2011【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2014=0的实数根，∴a2+a﹣2014=0，∴a2+a=2014，∴原式=2014+a+b，∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，∴原式=2014﹣1=2013．故选B．4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0【解答】解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α•β=﹣6，α+β=﹣3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，故选：B．5．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述何者正确（）A．无解 B．有两正根C．有两负根 D．有一正根及一负根【解答】解：由判别式△＞0，知方程有两个不相等的实数根，又由根与系数的关系，知x1+x2=﹣=2＞0，x1•x2==﹣＜0，所以有一正根及一负根．故选D．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）6．设x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=，x1x2=﹣．【解答】解：x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=，x1x2=﹣．故答案为：，﹣．7．若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=2，n=﹣24．【解答】解：由根与系数的关系得，﹣3+4=，（﹣3）×4=解得：m=2，n=﹣24，故答案为：2，﹣24．8．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么的值为﹣．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，∴根据韦达定理知，x1+x2=﹣7，x1•x2=﹣8，∴==﹣．故答案是：﹣．9．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=10．【解答】解：∵x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根，∴x22+5x2﹣3=0，∴x22+5x2=3，∵2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，∴2x1•x2+a=4，∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，∴x1x2=﹣3，∴2×（﹣3）+a=4，∴a=10．10．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则α2+4α+β=4．【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，∴α+β=﹣3，α2+3α﹣7=0，∴α2+3α=7，∴α2+4α+β=α2+3α+α+β=7﹣3=4，故答案为：4．11．若关于x的方程x2﹣5x+k=0的一个根是0，则另一个根是5，k=0．【解答】解：设方程的另一个根为t，根据题意得0+t=5，0•t=k，所以t=5，k=0．故答案为5，0．12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程x2﹣5x+6=0（答案不唯一）．【解答】解：∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，∴一元二次方程的两个根的乘积为：3×2=6，∴此方程可以为：x2﹣5x+6=0，故答案为：x2﹣5x+6=0（答案不唯一）．13．若方程x2﹣kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是5．【解答】解：设方程x2+kx+6=0的两根分别为a、b，则方程x2﹣kx+6=0的两根分别为a+5，b+5，根据题意得a+b=﹣k，a+5+b+5=k，所以10﹣k=k，解得k=5．故答案为：5．三．解答题：14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积：（1）3x2+2x﹣3=0（2）x2+x=6x+7．【解答】解：（1）设x1，x2是一元二次方程的两根，所以x1+x2=﹣，x1x2=﹣1；（2）方程化为一般式为x2﹣5x﹣7=0，设x1，x2是一元二次方程的两根，所以x1+x2=5，x1x2=﹣7．15．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，求+的值．【解答】解：∵a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，∴a，b可看作方程x2﹣6x+4=0的两根，∴a+b=6，ab=4，∴原式====7．16．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．【解答】解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2=0；∵原方程有两个实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤；（2）∵x1，x2为一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0的两根，∴y=x1+x2=﹣2m+2，且m≤；因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1．17．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组，解得，∴m=x1•x2=．18．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．【解答】解：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣）2+，∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1•x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1﹣，x2=1+．第二十一章一元二次方程周周测6一、选择题（每题3分，共30分）1．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A．1B．﹣1C．0D．无法确定2．若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A．x2+3x﹣2=0B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=03．一元二次方程（x﹣2）=x（x﹣2）的解是（）A．x=1B．x=0C．x1=2，x2=0D．x1=2，x2=14．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1D．k≥且k≠15．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（）A．（x+2）2=9B．（x﹣2）2=9C．（x+2）2=1D．（x﹣2）2=16．下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2－x＋1＝0B．x2＋x＋1＝0C．(x－1)(x＋2)＝0D．(x－1)2＋l＝07．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．144（1﹣x）2=100B．100（1﹣x）2=144C．144（1+x）2=100D．100（1+x）2=1448．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣29．关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2