北师大版初中九年级数学上册第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定第3课时矩形的性质与判定综合课件

第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定第3课时矩形的性质与判定综合基础过关全练知识点矩形的性质与判定综合1.(2023辽宁庄河期末)下列说法错误的是(

)A.对角线相等的平行四边形是矩形B.四条边相等的四边形是菱形C.矩形的对角线互相垂直D.菱形的对角线互相垂直C解析

A.对角线相等的平行四边形是矩形,故不符合题意;B.四条边相等的四边形是菱形,故不符合题意;C.矩形的对角线互相平分,不一定互相垂直,故符合题意;D.菱形的对角线互相垂直,故不符合题意.故选C.2.(2024内蒙古包头昆都仑期中)如图,将矩形ABCD沿直线AE

折叠,折叠后顶点D恰好落在边BC上的点F处,若AD=5,AB=4,

则EC=

.

1.5解析∵四边形ABCD为矩形,AD=5,AB=4,∴AD=BC=5,DC=AB=4,∵矩形沿AE折叠,使D落在BC上的点F处,∴AD=AF=5,DE=EF,在Rt△ABF中,BF=

=

=3,∴FC=BC-BF=5-3=2,设EC=x,则DE=EF=4-x,在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2,即(4-x)2=

x2+22,解得x=1.5,即EC=1.5.3.(2024山西晋中寿阳月考)如图,▱ABCD中,BE平分∠ABC,

CE平分∠BCD.BF∥CE,CF∥BE.(1)求证:四边形BECF是矩形.(2)若∠ABC=60°,BC=6,求四边形BECF的周长.

解析

(1)证明:∵BF∥CE,CF∥BE,∴四边形BECF是平行四

边形,∵BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,∴∠EBC=

∠ABC,∠ECB=

∠BCD,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∴∠EBC+∠ECB=

(∠ABC+∠BCD)=90°,∴∠BEC=90°,∴平行四边形BECF是矩形.(2)∵BE平分∠ABC,∠ABC=60°,∴∠EBC=30°,由(1)可知,∠BEC=90°,∴CE=

BC=3,∴BE=

=

=3

,∵四边形BECF是矩形,∴CF=BE=3

,BF=CE=3,∴四边形BECF的周长=2(BE+CE)=2BE+2CE=6

+6.能力提升全练4.(2023台湾省中考,23,★★☆)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=

8,且有一点P从B点沿BD往D点移动,若过P点作AB的垂线交

AB于E点,过P点作AD的垂线交AD于F点,则EF长的最小值为

(

)A.

B.

C.5

D.7B解析如图,连接AP、EF,

∵PE⊥AB,PF⊥AD,∴∠AEP=∠AFP=90°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°.∴四边形AEPF为矩形.∴AP=EF.∴要求EF的最小值就是求

AP的最小值.∵点P从B点沿BD往D点移动,∴当AP⊥BD时,AP取最小值.在Rt△BAD中,∵∠BAD=90°,AB=6,AD=8,∴BD=

=

=

=10.当AP⊥BD时,∵S△ABD=

AB·AD=

AP·BD,∴AP=

=

=

.∴EF长的最小值为

.5.(教材变式·P19T2)(2024内蒙古包头昆都仑期中,20,★★☆)

如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=CO,BO

=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.(1)求证:四边形ABCD是矩形.(2)若DF⊥AC,∠ADF∶∠FDC=2∶1,则∠BDF的度数是多

少?解析

(1)证明:∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四

边形,∴∠ABC=∠ADC,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.(2)由(1)知∠ADC=90°,∵∠ADF∶∠FDC=2∶1,∴∠FDC=30°,∵DF⊥AC,∴∠DCO=90°-30°=60°,∵四边形ABCD是矩形,

∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,∴OC=OD,∴∠ODC=∠DCO=60°,∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=30°.素养探究全练6.(推理能力)如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=6cm,点P从

点D出发向点A运动,运动到点A时,停止运动,同时,点Q从点B

出发向点C运动,运动到点C时,停止运动,点P、Q的速度都是

1cm/s,连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为ts.(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形?(2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形?(3)直接写出(2)中菱形AQCP的周长和面积,周长是

cm,面积是

cm2.解析

(1)由题意得BQ=DP=tcm,则AP=CQ=(6-t)cm,∵四边

形ABCD是矩形,∴∠B=90°,AD∥BC,∴当BQ=AP时,四边形

ABQP为矩形,∴t=6-t,解得t=3,故当t=3时,四边形ABQP为矩形.(2)由(1)可得,四边形AQCP为平行四边形,∴当AQ=CQ时,四边形AQCP为菱形,故当AQ2=CQ2,即32+t2=

(6-t)2时,四边形AQCP为菱形,解得